مقصد دوم/جواهر و اعراض/فصل اول/ادامه مساله ششم /تبیین اشکال اختصاصی: نقض و تعمیم

موضوع: مقصد دوم/جواهر و اعراض/فصل اول/ادامه مساله ششم /تبیین اشکال اختصاصی: نقض و تعمیم

این متن توسط هوش مصنوعی پیاده‌سازی و سپس توسط انسان برای مستندسازی و تطبیق با فایل صوتی استاد، بازبینی و تأیید شده است.

بحث ما در صفحه ۱۴۷ و سطر بیستم است.

«و أما قوله و يفتقر في التعميم إلى التناسب فمعناه أنا إذا أردنا تعميم القضية بأن نحكم بأنه لا شي‌ء من الأجسام بمؤلف من أجزاء غير متناهية...» [1]

درباره ترکیب جسم، بعضی‌ها معتقد شدند که جسم مرکب است از اجزای لایتجزا، اما نگفتند که این اجزا نامحدود و نامتناهی است (بلکه قائل به تناهی شدند). ولی بعضی دیگر گفتند که جسم مرکب است از اجزای لایتجزا و در آنجا «لا یتناهی» را هم اخذ کردند؛ یعنی گفتند تعداد این اجزا غیرمتناهی است.

ما با گروه اول بحث کردیم و فارغ شدیم و نتیجه این شد که جسم نمی‌تواند مرکب باشد از اجزای لایتجزا (چه متناهی باشند چه نباشند). اکنون رسیدیم به بحث با گروه دوم.

گروه دوم، هم قائل به لایتجزا بودنِ اجزا هستند و هم قائل به لایتناهی بودنِ آن‌ها.

در اشکالی که بر این‌ها وارد می‌شود، دو نوع اشکال وجود دارد:

۱. اشکال مشترک: یکی اشکالی که بر آن گروه قبلی هم وارد می‌شد؛ یعنی اشکالاتِ اصلِ ترکیب از اجزای لایتجزا (مانند برهان استقامت و دایره) که گفتیم بر این‌ها هم وارد می‌شود.

۲. اشکال مختص: یک اشکال مختصر و اختصاصی هم داشتیم که مختصِ این گروه است.

[تبیین اشکال اختصاصی: نقض و تعمیم]

آن اشکال مختص این است که ما «نقضی» بر شما وارد می‌کنیم. شما یک «موجبه کلیه» ساختید (که همه اجسام دارای اجزای نامتناهی‌اند)؛ ما آن قضیه را نقض می‌کنیم.

اما ما خواستیم که این نقض را «تعمیم» (و تکمیل) بکنیم؛ یا به تعبیر دیگر خواستیم نقض را «تعمیم» بدهیم. برای این کار گفتیم به «تناسب» نیاز داریم.

حالا می‌خواهیم «تناسب» را بیان کنیم و توضیح دهیم که این عبارت به چه معناست. با این توضیح، دیگر احتیاجی به بیان کردن و خواندنِ خودِ عبارت نیست، چون توضیح داده‌ام.

توجه کنید؛ آن‌ها این‌چنین ادعا کرده بودند که: «هر جسمی (کلُ جسمٍ) ـ چه بی‌نهایت بزرگ باشد چه کوچک ـ دارای اجزای نامتناهی است».

ما نمی‌توانستیم همین‌طوری و به صورت ظاهری ادعای آن‌ها را رد کنیم؛ چون ادعایی کرده بودند که قابل شمارش نبود. یعنی ما نمی‌توانستیم اجزا را بشماریم و به آن‌ها بگوییم: «ببینید! ما شمردیم و بی‌نهایت نبود».

لذا ما راه دیگری را پیش گرفتیم؛ گفتیم بیاییم یک جسم را خودمان درست کنیم.

این‌طور گفتیم: ما یک اجزایی را که (به فرض شما) لایتجزا هستند به دست می‌آوریم. این اجزای لایتجزا را کنار هم می‌چینیم و به شما می‌گوییم: «آیا با این اجزا، جسم درست می‌شود یا درست نمی‌شود؟»

* اگر بگویید درست نمی‌شود (جسم تشکیل نمی‌شود)، پس اصلِ ترکیبِ جسم از اجزا غلط است (چون جسم در خارج داریم).

* اگر بگویید درست می‌شود، معلوم است که تعداد اجزا چند تا بوده است. بی‌نهایت که نبود؛ چند تا بود؟ مثلاً سه تا گذاشتیم از این جهت (طول)، یا مثلاً دو تای دیگر بگذاریم که عرض را درست کنند، و تعدادی هم برای عمق. مثلاً برای تشکیل این جسم، ۶ تا جزء لازم شد.

می‌گوییم: «دیدید؟ این جسم از اجزای متناهی تشکیل شد».

بنابراین، شما گفتید «همه اجسام از اجزای نامتناهی تشکیل شده‌اند»؛ الان ما یک جسم (حداقل یک جسم) پیدا کردیم که از اجزای متناهی تشکیل شده است. همین برای رد شما کافی است و می‌گوییم کلیتِ کلامِ شما با این یک موردی که ما پیدا کردیم، نقض شد.

[لزوم تعمیم نقض: برهان تناسب]

توجه کنید؛ ما فقط این را قبول نداریم که «تمام اجسام از اجزای نامتناهی تشکیل می‌شوند» (یعنی فقط نفی کلیت نمی‌کنیم)؛ بلکه ما قبول نداریم که «هیچ جسمی» از اجزای نامتناهی تشکیل شود. ما مدعی هستیم که همه اجسام، اگر بخواهند از اجزا تشکیل شوند، باید اجزایشان متناهی باشد.

پس ما این نقض را باید «تعمیم» بکنیم. یعنی نه اینکه فقط یک موردِ نقض پیدا کنیم، بلکه می‌گوییم «همه موارد» چنین است و نتیجه می‌گیریم که «هیچ جسمی که اجزایش بی‌نهایت باشد نداریم»، بلکه همه اجسام (بر فرض ترکیب) مرکب از اجزای متناهی‌اند.

این کار (تعمیم دادن) دلیل می‌خواهد؟ پس احتیاج به «تعمیم» دارد.

یعنی نقضِ اول تمام شد (چون آن‌ها گفته بودند جسم مرکب است از اجزای لایتناهی، و ما ثابت کردیم که بعضی اجسام مرکب‌اند از اجزای متناهی، پس ادعای کلیِ آن‌ها رد شد)؛ ولی ما به این نقضِ جزئی راضی نمی‌شویم. اصلاً می‌خواهیم ثابت کنیم که یک جسمی که دارای اجزای لایتناهی باشد، نداریم. همه اجساممان اگر مرکب از اجزا باشند، اجزایشان متناهی است (کم و زیادش مهم نیست).

پس باید آن نقض را تأمین بدهیم؛ یعنی همه را از قبیلِ همان نقضی که گفتیم (جسمِ ساخته شده از اجزای متناهی) بدانیم.

چکار کنیم که تعمیم پیدا کند؟ می‌گوید احتیاج به «تناسب» داریم.

[آغاز تبیین برهان تناسب]

حالا می‌خواهیم وارد بحث «تناسب» بشویم.

ماتن می‌فرماید: این جسمی که الان ما به دست آوردیم و از اجزای متناهی تشکیل شده بود، ما مقدارِ این را می‌دانیم (چون خودمان ساختیم). حال این جسم را برمی‌داریم و با اجسام دیگر می‌سنجیم.

در ادامه بحث، ما مقدار اجزاء را شمارش نمی‌کنیم (که بگوییم چند تاست)، بلکه مقدار را ملاحظه می‌کنیم. یعنی می‌گوییم: این جسم دارای مقدار است؛ آن جسمِ دیگر (که خصم می‌گوید) هم دارای مقدار است. پس این جسم از حیث مقدار با جسم دیگر مقایسه می‌شود.

اصلاً کاری نداریم که این چند مقدار است یا آن چند مقدار؛ بلکه «کنترلِ مقدار» می‌کنیم. مقدارِ این جسم محدود است، مقدارِ آن جسم هم محدود است. پس هر دو دارای مقدار هستند و باید ثابت شود که در وقتی که مقدار ملاحظه می‌شود، هر دو دارای مقدار متناهی هستند. به همین جهت گفته می‌شود که مثلاً مقدار این جسم، نصف مقدار آن جسم است، یا سه برابر آن است. پس مقادیر با هم مقایسه می‌شوند.

در مقایسه در مقدار مشکلی نداریم. مقداری که نصفِ مقدارِ دیگر است، از نصفِ اجزاء تشکیل شده است (البته به شرطی که اجزایشان مساوی باشد). یعنی اگر فرض کنیم اجزای تشکیل‌دهنده مشابه هم باشند، چون مقدارشان مساوی است، پس باید تعداد اجزایشان هم مساوی باشد.

حال اگر ما بخواهیم مقدار را زیاد کنیم، باید چه کنیم؟ باید جزء زیاد کنیم. یک ذره اضافه می‌کنیم، مقدار زیاد می‌شود؛ دوباره یک ذره اضافه می‌کنیم، مقدار باز هم زیاد می‌شود. پس راهِ اضافه کردنِ مقدار، اضافه کردنِ جزء است.

اگر خواستیم این مقدار را کم کنیم، باید جزء کم کنیم. چون جسم از اجزاء تشکیل شده است. به قول شما (خصم)، اگر از این مقدار کم کنید، باید اجزاء کم کنید؛ و اگر بخواهید زیاد کنید، باید اجزاء را زیاد کنید.

پس یک «رابطه مستقیم» هست میان مقدار و اجزاء؛ به این معنا که هرچقدر اجزاء بیشتر شود، مقدار بیشتر می‌شود و هرچقدر اجزاء کمتر شود، مقدار کمتر می‌گردد.

اگر مقدار اضافه شد، معلوم می‌شود که اجزاء اضافه شده است؛ و اگر مقدار کم شد، معلوم می‌شود که اجزاء کم شده است.

به این ترتیب، اگر ثابت کردیم که میان دو جسم «نسبتِ مقداری» برقرار است، میان آن‌ها «نسبتِ اجزایی» هم می‌توانیم برقرار کنیم. یعنی همان‌طور که این مقدار با آن مقدار سنجیده می‌شود، می‌توانیم اجزاء را با اجزاء بسنجیم.

وقتی مقداری با مقدار دیگر سنجیده شد و هر دو «متناهی» بودند، می‌گوییم اجزاء را با اجزاء می‌سنجیم. ممکن نیست که میان دو مقدارِ متناهی، رابطه‌ای غیرمتناهی برقرار باشد (اگر مقدار متناهی است، نسبت هم متناهی است).

پس نسبتِ آن جسم (جسمِ مفروضِ ما) با آن جسمِ دیگر (جسمِ مورد ادعای خصم)، نسبتِ مقدارِ متناهی به مقدارِ متناهی است. بنابراین، نسبتِ اجزای متناهی و اجزای متناهی هم خواهد بود.

توضیح استدلال:

۱. اگر یک طرفِ نسبت، این جسمی باشد که ما ساختیم (و ثابت کردیم که از اجزای متناهی تشکیل شده بود).

۲. و طرفِ دیگرِ نسبت، جسمِ دیگری باشد (که خصم مدعی عدم تناهی اجزای آن است).

۳. چون مقدارِ جسمِ ما متناهی است و مقدارِ جسمِ او هم متناهی است (چون همه اجسامِ خارجی محدودند).

۴. پس نسبتِ میانِ مقادیر، متناهی است.

۵. چون نسبتِ مقدار به مقدار، عیناً همان نسبتِ اجزاء به اجزاء است؛ پس نسبتِ اجزای ما به اجزای او نیز باید متناهی باشد.

۶. وقتی یک طرفِ نسبت (اجزای جسمِ ما) متناهی است، لازم است که طرفِ دیگر (اجزای جسمِ او) هم متناهی باشد.

چرا؟ چون داریم این جسمی را که خودمان ساختیم (و مقدارش متناهی است)، می‌سنجیم با اجسامِ دیگری که آن‌ها هم مقدارشان متناهی است. اگر مقدار متناهی است، اجزاء هم لزوماً متناهی است. زیرا نسبتِ مقدار به مقدار، با نسبتِ اجزاء به اجزاء یکی است.

مثال: اگر نسبتِ مقدار به مقدار، نسبتِ «نصف» یا «دو برابر» (که نسبت‌های متناهی هستند) باشد، نسبتِ اجزاء به اجزاء هم همین‌طور است.

به این بیان، با ساختنِ یک جسم (که اجزایش متناهی بود) و با مقایسه و تناسب بستنِ آن با بقیه اجسام، ثابت می‌کنیم که بقیه هم اجزایشان متناهی است.

ما به این نسبت می‌گفتیم: «این، نصفِ آن است» یا «آن، دو برابرِ این است». با همین تناسب و نسبت بستن، تحریم می‌کنیم (حکم می‌کنیم) که: چون مقدارِ این جسم با مقدارِ آن جسم نسبتی دارد، نتیجه می‌گیریم که میان اجزای این جسم و اجزای آن جسم هم همان نسبت برقرار است.

و چون اجزای جسمِ ما متناهی است، اجزای آن جسمی هم که آن‌ها فکر می‌کردند نامتناهی تشکیل شود، نامتناهی نخواهد بود (نداریم).

پس «تعمیم دادنِ نقض» از طریقِ «تناسب» صورت می‌گیرد؛ بدین‌گونه که نسبت می‌دهیم جسم اول را به جسم دوم در مقدار. ان‌شاءالله مطلب روشن شده باشد.

[تطبیق با متن کتاب]

در صفحه ۱۴۷ هستیم.

«و أما قوله و يفتقر في التعميم إلى التناسب

که گفتیم سببِ تعمیم است (و گفتیم در تعمیم نیاز به تناسب داریم)، معنایش این است که:

«فمعناه أنا إذا أردنا تعميم القضية» (هنگامی که بخواهیم تعمیم دهیم آن قضیه‌ای را...).

یعنی آن قضیه‌ای را که بر اثرِ نقض به دست آوردیم (که ثابت کردیم جسمی با اجزای متناهی وجود دارد)، اگر بخواهیم تعمیم دهیم. بأن نحكم بأنه لا شي‌ء من الأجسام بمؤلف من أجزاء غير متناهية

در ادامه بحثِ تعمیم، مقصود آن است که ما می‌خواهیم آن نقضِ جزئی را تعمیم دهیم. زیرا در نهایت می‌خواهیم یک قضیه کلی بسازیم.

وقتی می‌خواهیم مدعای خصم را با این جزء (جسمِ ساخته‌شده) نقض کنیم، اکنون مدعای ما در حدّ یک «نقضِ جزئی» است. حال باید این نقضِ جزئی را تعمیم دهیم تا مدعای ما به‌صورت کامل ثابت شود.

فمعناه أنا إذا أردنا تعميم القضية بأن نحكم بأنه لا شي‌ء من الأجسام بمؤلف من أجزاء غير متناهية

معنای تعمیم این است و مفاد کلام ما چنین است که: اگر اراده کنیم که آن قضیه‌ای را که حکایتگرِ نقضِ قضیه جزئیه بود، تعمیم دهیم و قضیه جزئیه را به قضیه کلیه تبدیل کنیم، چگونه باید آن را کلی کنیم؟

به این صورت حکم می‌کنیم که: «جمیع اجسام، هیچ‌کدام از اجزای غیرمتناهی تشکیل نشده‌اند؛ بلکه همه اجسام مرکب‌اند از اجزای متناهی». یا می‌گوییم: «همه اجسام مرکب‌اند از اجزای متناهی» و یا می‌گوییم: «هیچ‌کدام از اجسام مرکب نیستند از اجزای نامتناهی».

[مبنای تعمیم: تناهی ابعاد در تمامی اجسام]

به هر حال، چرا آن کلیتی را که می‌خواهیم به دست بیاوریم، می‌توانیم به دست آوریم؟ و طریقِ به دست آوردنِ چنین تعمیمی چیست؟

فطريقه أن ينسب هذا المؤلف الذي ألفناه من‌ الأجزاء المتناهية إلى بقية الأجسام

طریقِ آن، چنین توجیه و تبیینی است که: نسبت‌سنجی میانِ این‌ها (اجسام) را محقق کنیم؛ به‌طوری که خودمان انجام دادیم.

مثلاً از هر چند تا جزء که متناهی بودند، جسمی را تألیف کردیم (الّفناه من الاجزاء المتناهیة)[2] . همین که از اجزای متناهی جسمی درست شد، این جسم را نسبت‌سنجی می‌کنیم با بقیه اجسام؛ بقیه اجسامی که آن‌ها (خصم) می‌گویند مرکب از اجزای نامتناهی هستند.

بعد از تألیف، این‌طور می‌گوییم: «کلُّ جسمٍ فانّه متناهٍ» (هر جسمی متناهی است).

چرا؟ چون این مطلب را در بحث «تناهی ابعاد» ثابت کردیم که هر جسمی، ابعادش متناهی است. ما جسمی که نامتناهی‌الابعاد باشد، نداریم. پس همه اجسام ابعادشان متناهی است؛ در نتیجه مقدارشان متناهی است.

پس هر جسمِ مفروضی در مقامِ نسبت‌سنجی، دارای مقدار متناهی است.

فله إلى هذا المؤلف نسبة و هي نسبة متناهي المقدار إلى متناهي المقدار

اگر جسمی نامتناهی (در مقدار) باشد، نمی‌توانیم آن را با این جسمِ متناهی (که ساخته‌ایم) بسنجیم و بگوییم: «این جسمِ نامتناهی چند برابرِ این جسمِ متناهی است؟»

هیچ معنایی ندارد که بگوییم نامتناهی چند برابرِ یک شیء محدود است. اگر یک طرفِ نسبت نامتناهی باشد، نسبت برقرار نمی‌شود.

اما چون معلوم است که همه اجسام را می‌توانیم به یکدیگر بسنجیم و بگوییم: «مقدارِ این، مثلِ مقدارِ آن است» یا «یکی بیشتر است» یا «چند برابر است»، پس باید هر دو طرف متناهی باشند.

اگر بخواهیم چند برابر کنیم، باید طرفین متناهی باشند. و چون ما تناهی ابعاد را ثابت کردیم، چنین سنجشی برقرار است.

«کلُّ متناهٍ» (هر متناهی‌ای).

یعنی هر جسمی به این جسمِ مؤلَّف (که ما ساختیم) نسبتی دارد. این نسبت قابل سنجش است. هیچ نامتناهی‌ای با متناهی سنجیده نمی‌شود (نسبتِ محصّل ندارد).

خلاصه وقتی‌که یکی از آن‌ها نامتناهی باشد، سنجش از بین می‌رود. اما چون سنجش هست، پس هر دو متناهی‌اند.

[نتیجه‌گیری: سرایت تناهی از مقدار به اجزاء]

خب، پس می‌توانیم آن جسمی را که ساختیم و از اجزای متناهی تشکیل شده است، نسبت بدهیم به هر جسمِ دیگری. چه نسبتی درست می‌شود؟

هي نسبة متناهي المقدار إلى متناهي المقدار

نسبتی که بین این جسمِ ساخته‌شده و بین جسم‌هایی که گمان می‌کنیم (نامتناهی‌اند) برقرار می‌شود، «نسبتِ مقدارِ متناهی به مقدارِ متناهی» است. یعنی یک جسمی که مقدارش متناهی است و یک جسم دیگر که آن هم مقدارش متناهی است.

پس هر دو جسم با هم سنجیده می‌شوند. از طرفی هم گفتیم: «با هر چه اجزاء بیشتر شود، مقدار بیشتر می‌شود و هر چه اجزاء کمتر شود، مقدار کمتر می‌شود».

معنای این سخن آن است که: اگر مقدار بیشتر شد، معلوم می‌شود اجزاء بیشتر است؛ و هر جا مقدار کمتر شد، معلوم می‌شود اجزاء کمتر است.

پس میان اجزاء و مقدار، «رابطه مستقیم» برقرار است.

اگر نسبتِ دو مقدار، نسبتِ «متناهی به متناهی» بود، نسبتِ اجزایشان هم باید «متناهی به متناهی» باشد.

اگر نسبتِ مقدار به مقدار، متناهی است، نسبتِ اجزاء به اجزاء هم متناهی است.

شما جسمی (جسمِ مؤلَّفِ ما) داشتید که اجزایش متناهی بود؛ هر جسمِ دیگری را که در برابرِ آن آوردیم و دارای نسبت بود، دیگر اجزایش متناهی خواهد بود. همچنان که مقدارش متناهی بود، اجزایش هم متناهی بود.

بدین ترتیب متوجه شدیم که شما تمامِ اجسام را متناهی‌الاجزاء کردید؛ یعنی آن نقض را «تعمیم» دادید. مدعایی که درست مقابلِ کلیتِ خصم است، ثابت شد.

لكنا نعلم أن المقدار يزيد بزيادة الأجزاء و ينقص بنقصانها

در وهم و ذهنِ ما این است که مقدار اضافه می‌شود با زیادهِ اجزاء و ناقص می‌شود با نقصانِ اجزاء (رابطه مستقیم). بنابراین مقدار با مقدار یک نسبتی دارد که به اجزاء برمی‌گردد.

حالا اگر مقدارِ یکی نامتناهی بود، نسبتِ مقدارِ نامتناهی به متناهی داشتیم و نسبتِ اجزای نامتناهی به اجزای متناهی. اما چون نسبتِ مقدار به مقدار، نسبتِ «متناهی به متناهی» است، لاجرم نسبتِ اجزاء به اجزاء هم متناهی خواهد بود.

فنسبة المقدار إلى المقدار كنسبة الأجزاء إلى الأجزاء لكن نسبة المقدار إلى المقدار نسبة متناه إلى متناه فكذا نسبة الأجزاء إلى الأجزاء.

ما اکنون نسبتِ «متناهی به متناهی» را داریم. نسبتِ مقدار به مقدار؛ یعنی نسبتِ مقداری که در جسمِ ساخته‌شده‌ی ما هست به مقدارِ هر جسمِ دیگری، نسبتی است «متناهی به متناهی».

این جسمِ ساخته‌شده‌ی ما با هر جسمِ دیگری سنجیده شود، نسبتِ متناهی به متناهی دارد.

و چون نسبتِ مقدار به مقدار متناهی است، این نسبت در «اجزاء» هم باید باشد. اگر نسبتِ مقدار، متناهی است، باید نسبتِ اجزاء هم متناهی باشد.

بنابراین، اگر این جسم را به هر جسمِ دیگری نسبت بدهی، دو مقدارِ متناهی پیدا می‌شود (چون ابعاد نامتناهی نداریم). و همچنین اگر به هر جسمِ دیگری نسبت داده شود، «اجزای متناهی» پیدا می‌شود (چون نسبتِ اجزاء تابعِ نسبتِ مقدار است).

نتیجه: پس جسمی که از اجزای نامتناهی تشکیل شده باشد، ما نداریم.

ما در موردِ همه جسم‌ها، این «نقض» را وارد بر خصم کردیم. بعد، نقض را «تعمیم» دادیم.

یعنی: اول ماجرای آن‌ها (ادعای خصم) به‌صورت «موجبه کلیه» بود (که همه اجسام اجزای نامتناهی دارند). ما اکنون «نقیضِ کلی» (سالبه کلیه) را داریم که شاملِ همین کلام و تمام موارد می‌شود (که هیچ جسمی اجزای نامتناهی ندارد).

بقیه مطالب ان شاء الله جلسه آینده.