موضوع: فرق علم ریاضی با جدل/ اشتباه از طریق اخلال به صورت منطقی قیاس، در علم ریاضی نیست/ به چه علت علم ریاضی بعید از غلط است/ فصل 2/ مقاله 3/ برهان شفا.

ان العلوم الریاضیه انما یستعمل فیها فی اکثر الامر الشکل الاول و من ضروبه الضرب الاول[1]

بیان شد که دو گونه غلط در علم راه پیدا می کند. یکی غلطی است که از ناحیه اشتراک لفظ می باشد. یکی هم غلطی است که از ناحیه رعایت نکردن صورت قیاسِ منتج می باشد. قسم اول که غلط از ناحیه اشتراک لفظ بود توضیح داده شد و بیان شد که در ریاضیات کم است و در جدل زیاد است. الان وارد قسم دوم می شود و همین دو مطلب در قسم دوم بیان می شود که اولاً غلط آن چیست ثانیا در ریاضیات کم است و در جدل زیاد است.

مصنف ماهیت این غلط را بیان نمی کند که چه می باشد زیرا در علم منطق شناخته شده است که چه نوع شکلی منتج است و چه نوع شکلی منتج نیست. هر شکلی که منتج نباشد غیر منتج می شود و در مانحن فیه به جای « غیر منتج » تعبیر به « غلط » می کنند یعنی می گویند چنین شکلی غلط است.

مصنف در ابتدا اشاره به این مطلب دارد ولی بحثش این نیست که معنای غلطِ قسم دوم چیست؟ زیرا معنایش روشن است لذا از ابتدا وارد این بحث می شود که غلط در ریاضی کمتر است و در جدل بیشتر است.

توضیح: در ریاضیات غالباً شکل اول مورد استفاده قرار می گیرد و شکل اول بدیهی الانتاج است و کمتر در آن غلط راه پیدا می کند. در شکل اول که چهار ضربِ منتج دارد بیشتر از ضرب اول و احیاناً از ضرب دوم استفاده می شود. ضرب اول این است که صغری، موجبه کلیه باشد کبری هم موجبه کلیه باشد. ضرب دوم این است که هر دو کلی است ولی صغری، موجبه است و کبری، سالبه است چون در شکل اول، ایجابِ صغری شرط می شود. بنابراین نمی توان سالبه کلیه را صغری قرار داد بلکه باید کبری قرار داد. ضرب سوم این است که صغری، موجبه جزئیه باشد و کبری، موجبه کلیه باشد ضرب چهارم این است که صغری، موجبه جزئیه باشد و کبری، سالبه کلیه باشد. ضرب سوم و چهارم خیلی در ریاضی مورد استفاده نمی باشد اما دوتای اول در علم ریاضی مورد استفاده هستند که هر دو مقدمه کلی هستند ولی در ضرب اول هر دو مقدمه علاوه بر کلی بودن، موجَب هستند و در ضرب دوم هر دو مقدمه کلی هستند ولی اولی موجَب و دومی سالب است. ضرب اول و ضرب دوم از شکل اول کم هستند که مبتلا به اشکال و اشتباه شوند نوعاً در اینگونه اَشکال، شرائط رعایت می شود.

نکته: ما اشتباه در ریاضیات را به حدّ صفر می رسانیم نه اینکه بگوییم در ریاضی اصلاً اشتباه نیست. علتش این است که بشر فعالیت می کند و ممکن است که در یک جا اشتباه کند مثلاً چیزی هست که موجبه کلیه نیست ولی آن را موجبه کلیه می گیرد. بیشتر جاها ممکن است از طریق مواد، اِشکال شود و الا از طریق صورت اشکال وارد نمی شود یعنی از ابتدا ریاضی دان دنبال این است که یک قیاس کامل را در مسأله‌. وقتی قیاس کامل را مطرح می کند یا به صورت ضرب اول از شکل اول است یا ضرب دوم از شکل اول است البته ضرب اول بیشتر از ضرب دوم است. یعنی از ابتدا که شروع به طرح قیاس می کند همه حدود قیاس را ملاحظه می کند و طرح می کند چون غرضش این است که مطلب را با بهترین دلیل بیان کند. برخلاف جدلی که می گوید باید از این گردنه عبور کرد و خصم را مغلوب کرد. جدلی کار ندارد که از چه چیز استفاده می کند؟ می خواهد شکل اول یا دوم باشد. ظنی باشد یا یقینی باشد؟ چه ضربی باشد؟ لذا در وقت تشکیل قیاس همه‌. به این جهت زیاد به اشتباه برخورد می کند.

مصنف می فرماید جدلی کثیراً از شکل دوم استفاده می کند چون شکل دوم غلط انداز است و می تواند مخاطب را به غلط بیندازد و او را گرفتار مغالطه کند و غالباً از شکل دومی که مقدمتین آن موجه هستند استفاده می کند در حالی که این خلاف است و منتج نیست زیرا در شکل دوم آنچه که لازم است اختلاف مقدمتین در کیف است. آن شعری که به صورت رمزی گفته شده این است: « خِین کُب ثانی ». لفظ « خین » یعنی « اختلاف مقدمتین » و لفظ « کب » یعنی « کلیت کبری ». در شکل ثانی، اختلاف مقدمتین در سلب و ایجاب لازم است که غالباً رعایت نمی شود مثل « کل انسان ضاحک » و « کل انسان کاتب ». هر دو قضیه، موجبه است نتیجه می گیرد « کل ضاحک کاتب » در حالی که این شکل همه جا منتج نیست. اگرچه در بعضی جاها منتج است مثلاً در جایی که اصغر و اکبر هر دو کلی باشند و مساوی در صدق باشند یعنی اینطور گفته شود « کل انسان ضاحک » و « کل انسان ناطق » در اینجا در یک مقدمه « انسان » با « ناطق » تساوی دارد و در مقدمه دیگر « انسان » با « ضاحک » تساوی دارد به عبارت بهتر: در صغری و کبری، موضوع و محمول تساوی داشته باشند یا لااقل موضوع و محمول در کبری تسای داشته باشند تا موضوع و محمول، جابجا شود و شکل‌ ثانی به شکل اول برگردد. وقتی شکل ثانی به شکل اول برگشت نتیجه می دهد با اینکه مقدمتین موجبه است زیرا در شکل اول اشکال ندارد که مقدمتین موجبه باشد. شکل دوم است که اشکال دارد مقدمتین موجبه باشد.

توجه کنید وقتی کبری کلی بود ولی موضوع و محمولش مساوی نبودند اگر بخواهید این را عکس کنید عکس موجبه کلیه، موجبه جزئیه می شود. در اینصورت کبرایی که موجبه جزئیه باشد نمی تواند کبرای شکل اول قرار بگیرد. پس این شکل به شکل اول برنمی گردد. اما اگر موضوع و محمول کبری در شکل دوم مساوی باشند اگر بخواهید این را عکس کنید به صورت منطقی عکس نمی شود بلکه عکس لغوی می شود. در عکسِ منطقی اگر موجبه کلیه بخواهد عکس شود تبدیل به موجبه جزئیه می شود اما در عکسِ عرفی و لغوی اگر موجبه کلیه بخواهد عکس شود تبدیل به موجبه کلیه می شود. این در وقتی است که بین موضوع و محمول، تساوی باشد در اینصورت می توان کلی را به کلی عکس کرد و لازم نیست کلی را به جزئی عکس کرد. برای تشکیل دادن قضیه بین دو متساوی، از موجبه کلیه استفاده می شود و گفته می شود « کل انسان بشر و کل بشر انسان ».

در منطق گفته شده که موجبه کلیه به دو صورت است در یک صورت بین موضوع و محمول آن تساوی است. این، عکس کلی می شود و در یک صورت بین موضوع و محمول آن تساوی نیست. این، عکس کلی نمی شود و چون قانون منطقی کلی است می گوید همه جا عکسِ جزئی کن چون همه جا عکس جزئی صادق است ولی عکس کلی صادق نیست. اما جایی که عکس کلی صادق است آنجایی است که موضوع و محمول مساوی باشند.

مصنف بیان می کند که این مطلب مربوط به ماده قضیه است نه صورت قضیه یعنی ماده قضیه طوری است که موضوع و محمولش مساوی اند. اما صورت قضیه این است که موجبه کلیه می باشد. موجبه کلیه در این ماده اینگونه است که موضوع و محمول با هم مساوی اند اما همین موجبه کلیه اگر در ماده دیگر برود که موضوع و محمول با هم مساوی نباشند صورتِ کلیت محفوظ است ولی ماده محفوظ نیست. اینکه گاهی می توان قضیه را عکس است به خاطر ماده قضیه است نه هیئت آن. هیئت قضیه فرق نمی کند زیرا در هر دو کلیه است. آن ماده ای که می گوید « کل انسان ناطق » قابل عکس کلی است ولی آن ماده ای که می گوید « کل انسان حیوان » قابل عکس کلی نیست.

خلاصه: در ریاضیات اشتباه دوم « که از طریق تنظیم قیاس است » کم رخ می دهد مصنف تعبیر به « ندره نادره » می کند یعنی اشتباه را اینقدر کم می کند که دوبار از کلمه « ندره » استفاده می کند تا بفهماند اشتباه تقریباً ملحق به صفر است اما در جدل اشتباه زیاد است زیرا جدل مقید نیست که از ضربِ اولِ شکل اول یا ضربِ دوم شکل اول استفاه کند بلکه از هر ضرب و شکلی که شد استفاده می کند. ولی اکثراً از شکل دوم استفاده می شود که از موجبتین تشکیل شده باشد و این شکل اشتباه است مگر اینکه کبرایش کلی باشد به این صورت که موضوع و محمولش هم مساوی باشند. علت اینکه فقط در این صورت نتیجه می دهد این است که می توان آن را به شکل اول برگرداند.

توضیح عبارت

ان العلوم الریاضیه انما یستعمل فیها فی اکثر الامر الشکل الاول و من ضروبه الضرب الاول

« الشکل الاول » و « الضربُ الاول » نائب فاعل « یستعمل » است. « فی اکثر الامر »: یعنی « غالباً ».

در علوم ریاضی غالباً از شکل اول استفاده می شود و از ضروبِ شکل اول، از ضرب اول استفاده می شود. « شکل اول، 4 ضربِ آن منتج است اما 12 ضرب دیگر منتج نیست از بین این 4 ضرب، ضرب اول مهم است ».

و ربما استعمل الضرب الثانی

گاهی هم ضرب ثانی مورد استفاده قرار می گیرد.

ضرب اول آن است که از دو موجبه کلیه تشکیل می شود و ضرب دوم آن است که صغری، موجبه کلیه و کبری، سالبه کلیه است.

فلا تقع فیه مغالطه بتالیف القیاس الا فی الندره النادره جدا

ضمیر « فیه » چون مذکر آمده به « علم » برمی گردد ولی اگر مؤنث آمده بود به « ریاضیات » یا « علوم » برمی گشت.

این عبارت تفریع بر « ربما استعمل الضرب الثانی » نیست بلکه تفریع بر دو خط قبل است یعنی به اینصورت معنا می شود: چون در علوم ریاضی از شکل اول « چه ضرب اول چه ضرب دومش » استفاده می شود در این علم ریاضی مغالطه ای از طریق تألیف قیاس « مغالطه از طریق اشتراک قبلاً بحث شد » رخ نمی دهد مگر خیلی کمِ کم.

« الا فی الندره النادره جداً: لفظ « جداً » به معنای « خیلی » است و معنای عبارت می شود « خیلی کمِ کم ».

و اما الجدل فکثیراً مّا تستعمل فیه قیاسات غیر منتجه سهواً وانخداعاً

« سهواً » قید « تستعمل » است.

اما در جدل کثیراً استعمال می شود قیاساتی که منتج نیستند و مصنف می فرماید بیشترِ قیاساتِ غیر منتجی که استفاده می کنند شکل ثانی است که مرکب از موجبتین باشد و در منطق گفته شده منتج نیست.

نکته: کسی که در صدد اقامه برهان است و ما یشبه البرهان را به جای برهان می گذارد به آن، مغالط می گویند. آن کسی که در صدد جدل است و ما یشبه الجدل را به جای جدل می گذارد به آن مشاغِب گفته می شود. هر دو در مسیری که می روند مرتکب غلط شدند که یا سهواً به غلط افتادند یا خواستند مقابلشان را به غلط بیندازند. به هر دو مغالطه گفته می شود ولی یک سفسطه می شود یکی مشاغبه می شود. پس در جدل هم مغالطه است ولی اسم آن را مغالطه نمی گذاریم بلکه مشاغبه می گذاریم.

ترجمه: اما در جدل کثیراً استعمال می شود قیاساتی که منتج نیستند.

« سهوا و انخداعا »: چون لفظ « انخداع » آمده اشکالی نداردکه لفظ واو بکار رفته اما اگر لفظ « خدعه » بود حتما باید « او » می آمد. سهو و فریب خوردن را می توان با هم جمع کرد لذا با واو عطف آمده است یعنی بر اثر فریب خوردن، سهواً این اشتباه حاصل شده است و قیاسی تشکیل شده که منتج نبوده است اما اگر لفظ « خدعه » باشد باید « او » بیاید و معنا این می شود: من سهواً گرفتار شدم یا خدعه کردم و خواستم دیگری را گرفتار کنم.

لانه متصرف فی الاشکال و فی الضروب

این عبارت، دلیل برای « کثیراً ما » است. ضمیر « لانه » به « جدل » برمی گردد.

ترجمه: « چرا کثیراً ما اشکال و اشتباه در جدل پیش می آید؟ » چون جدل متصرف در اَشکال و ضروب است « یعنی فقط در شکل اول تصرف نمی کند و فقط در ضرب اول و دوم از شکل اول تصرف نمی کند بلکه در تمام اَشکال و ضروب تصرف می کند ».

و یستعمل الحقیقی و المظنون و خصوما التألیف الکائن من الموجبتین فی الشکل الثانی

جدلی، هم مقدمات حقیقی که عقلی اند می آورد هم مقدمات ظنی می آورد خصوصاً تصرف می کند در تألیفی که حاصل می شود از دو موجبه در شکل ثانی « زیرا در شکل ثانی، از مقدمه‌اینچنین قیاسی که به شکل ثانی باشد و از موجبتین تشکیل شود منتج نیست مگر در جایی که کبری اولا کلی باشد و ثانیا موضوع و محمولش هم مساوی باشند.

فانه کثیرا مّا یستعمل فی الجدل

ضمیر « فانه » به « شکل ثانی که کائن از موجبتین باشد » برمی گردد.

ترجمه: شکلِ ثانی که کائن از موجبتین باشد کثیراً در جدل استعمال می شود.

کمن یُرید منهم مثلا ان یبین ان النار کثیره الاضعاف فی النسبه بان یقول « النار سریعه التولید و التزید » و « کثیر الاضعاف فی النسبه التولد و التزید » فینتج « ان النار کثیره الاضعاف فی النسبه »

کسی که بخواهد این نتیجه را بگیرد که « ان النار کثیره الاضعاف فی النسبه » اینگونه می گوید « النار سریعه التولد و التزید » که صغری است و « کثیرالاضعاف فی النسبه سریع التولد و التزید » که کبری است.

« کثیره الاضعاف فی النسبه »: این همان تصاعد است. تصاعد به دو قسم تقسیم می شود:

1ـ تصاعد عددی: اگر بخواهید عدد 2 را تصاعد عددی بدهید عدد 2 به آن اضافه می کنید و 4 می شود. دوباره عدد 2 به آن اضافه می کنید و عدد 6 بدست می آید. دوباره عدد 2 به آن اضافه می کنید و عدد 8 بدست می آید. دوباره عدد 2 به آن اضافه می کنید و عدد 10 بدست می آید.

2ـ تصاعد هندسی: مثلاً اگر عدد 2 را بخواهید تصاعد هندسی کنید عدد 2 را در 2 ضرب می کنید می شود 4، حاصل را در 2 ضرب می کنید عدد 8 بدست می آید. حاصل را در 2 ضرب می کنید عدد 16 بدست می آید، حاصل را در 2 ضرب می کنید عدد 32 بدست می آید. حاصل را در 2 ضرب می کنید عدد 64 بدست می آید.

تصاعد عددی، عدد 2 را با 5 مرتبه صعود تبدیل به 10 کرد اما تصاعد هندسی عدد 2 را با 5 مرتبه صعود تبدیل به 64 کرد. اگر ادامه بدهید تفاوت فاحشی بین تصاعد هندسی و تصاعد عددی پیدا می شود. لذا سعی دارند که بگویند این شیء به صورت تصاعد هندسی بالا می رود مصنف هم در اینجا می خواهد تصاعد هندسی درست کند و می گوید « کثیره الاضعاف فی النسبه ». به کلمه « النسبه » توجه کنید. عدد 2 که در ابتدا بود نسبتش به 4، نصف است و نسبت 4 به 8، نصف است و نسبت 8 به 16، نصف است و نسبت 16 به 32، نصف است و نسبت 32 به 64، نصف است.

پس « کثیره الاضعاف فی النسبه » یعنی نسبت ها باید ضعف هم بشوند. در این توضیحی که برای عدد 2 و 4 و 8 و... داده شد همه نسبت ها، نصف گرفته شد. و این نسبت ها، اضعاف نبود. برای توضیح بهتر اینگونه می گوییم: عدد 2، نصف چهار است و همین 2، رُبع هشت است و همین عدد 2، ثُمن 16 است. ثُمن، نصف ربع است و « ربع »، نصفِ « نصف » است و اگر از آن طرف بگویید اینطور گفته می شود که نصف، ضعفِ ربع است و ربع، ضعف ثمن است. یعنی اضعاف در این نسبت بالا برده می شوند به عبارت دیگر نسبت ها ضعف می شوند. این کار در تصاعد هندسی اتفاق می افتد. « کثیره الاضعاف فی النسبه » یعنی تصاعد هندسی دارند.

با این توضیحات معلوم شد که اصطلاحِ « تصاعد هندسی » با اصطلاح « کثیره الاضعاف فی النسبه » یکی است. در ریاضیات قدیم تعبیر به « کثیره الاضعاف فی النسبه » می کردند امروزه به آن « تصاعد هندسی » می گویند.

توضیح مثال: آتش وقتی که روشن می شود می بینید این طرف هیزم را سوزاند وقتی یک مدت بگذرد تمام هیزم را می گیرد و در فضا که یک شعله‌ این مطلب را هم می توان طبق مبنای ذیمقراطیس توضیح داد هم طبق مبنای مشهور و مشاء توضیح داد یعنی گفته شود جسم آتش به تصاعد هندسی پیش رفته و بزرگ شده. اما اگر با مبنای ذیمقراطیس بیان شود واضحتر بیان می گردد. ذیمقراطیس می گوید آتش از ذرات مثلثی شکل تشکیل شده است. مثلث دارای سه نوک تیز است که بین این نوک ها، خطِ تیز است. به همین جهت وقتی دست خودتان را داخل آتش بگذارید دست را می سوزاند. سوختن به معنای پاره شدن است زیرا این مثلث ها دست را پاره می کنند نه اینکه چیز خاصی به نام حرارت باشد. وقتی آتش زیاد می شود این مثلث ها به تزاید هندسی بالا می روند مثلاً فرض کن ابتدا چهار مثلث است بعداً 4×4 می شود 16 سپس 4×16 می شود 64 و همینطور ادامه پیدا می کند. پس این مثلث ها تضاعف و تزید در نسبت پیدا می کنند نه اینکه در اجتماع، تضاعف و تزید پیدا کنند که تصاعد عددی شود.

نکته: علت اینکه در مبنای ذیمقراطیس روشن تر است این می باشد که در مبنای ذیمقراطیس از عدد استفاده شد و گفته شد « 4 مثلث ». اما در مبنای مشاء از عدد استفاده نشد و گفته شد این حجم، تصاعد هندسی پیدا می کند.

در این مثال قیاس به اینصورت تشکیل می شود:

مقدمه اول: « النار سریعه التولد و التزید »: یعنی نار به سرعت « نه به بطوء، چون اگر به بطوء، تزید و تصاعد پیدا کند تزید عددی می شود بلکه به سرعت » تولد و تزید پیدا می کند یعنی وقتی آتش را ملاحظه می کنید می بینید یکدفعه خیلی زیاد شد معلوم می شود که با تصاعد هندسی بالا می رود نه با تصاعد عددی.

مقدمه دوم: « کثیر الاضعاف فی النسبه سریع التولد و التزید ». چون حدوسط یعنی « سریع التولد والتزید » در هر دو مقدمه، محمول قرار گرفته لذا این شکل، شکل ثانی می شود.

نتیجه: « ان النار کثیره الاضعاف فی النسبه». این نتیجه از شکل ثانی گرفته شده که هر دو طرفش موجبه است و این، صحیح نیست. این در جدل راه پیدا می کند و باعث خطا و سهو می شود.

ترجمه: مثل کسی از جدلیین که مثلاً می خواهد نتیجه بگیرد « ان النار کثیره الاضعاف فی النسبه » لذا در تنظیم قیاس اینگونه می گوید « النار سریعه التولد و التزید » و « کثیر الاضعاف فی النسبه سریع التولد و التزید » یعنی نار به سرعت تزید و تولد پیدا می کند و اضافه می شود « توجه کنید لفظ ـ سریعه ـ به خاطر این آمد که نظر به تصاعد هندسی دارد ». از طرف دیگر تصاعد هندسی هم سریع التولد و التزید است. نتیجه گرفته می شود که نار هم تصاعد هندسی دارد.

نکته: خیلی از مصنف عجیب است که در این عبارتش، نتیجه را قبل از قیاس گفته و دوباره نتیجه را تکرار کرده است.

فان هذه الصوره غیر منتجه فی الحقیقه و ان کانت قد تعد منتجه فی الظاهر

«هذه الصوره »: یعنی شکل ثانی مؤلف من موجبتین.

« فی الحقیقه »: یعنی « واقعاً ».

ترجمه: این صورت واقعاً منتج نیست « ولو در خیالِ جدلی منتج است یا در خیالِ آن مخاطبی که این جدلی در خیال او متصرف می کند منتج است ولی حقیقتاً و واقعاً منتج نیست » ولو نزد جدلی منتج است در ظاهر.

و انما یمکن ان تصح لها نتیجه فی بعض المواضع بسبب الماده اذا کانت المقدمه متساویه الموضوع و المحمول

ضمیر « لها» به « هذه الصوره » برمی گردد.

این صورت دوم که مؤلف از دو موجبه است را در یک حالت می توان منتج قرار داد و آن جایی است که شکل، شکل ثانی باشد و مؤلف از دو موجبه باشد ولی کبری اولاً کلی باشد ثانیاً موضوع و محمولش مساوی باشند در اینصورت منتج است زیرا اینچنین شکل ثانی به شکل اولِ واجد شرایط و منتج برمی گردد.

ترجمه: ممکن است که صحیح شود برای این صورت « یعنی برای شکل ثانی مؤلف از موجبتین » نتیجه ای در بعضی مواضع آن هم به سبب ماده اش « نه به سبب صورت و هیئتش، زیرا هیئت و صورتش همانطور که در منطق گفته شده غیر منتج است اما ماده چون ماده‌ زمانی که مقدمه « یعنی کبری، هم کلی است هم » متساوی الموضوع و المحمول باشد « چون کلی است می تواند کبری در شکل اول واقع شود و چون موضوع و محمولش مساوی است وقتی عکس می شود از کلیت بیرون نمی آید و می تواند در کبرای شکل اول استفاده شود ».

فیمکن ان تُعکَس کبراها کلیةً فترجع الی الشکل الاولی

ترجمه: ممکن است که کبرای اینچنین صورتی عکسِ کلی شود « نه عکس جزئی، توجه کنید که به اعتبار تساوی موضوع و محمول عکس می شود نه به اعتبار خود قضیه عکس شود زیرا به اعتبار خود قضیه که کلی است اگر بخواهد عکس شود عکسِ موجبه کلیه، موجبه جزئیه می شود اما عکس آن به اعتبار موضوع و محمولش که با هم تساوی دارند موجبه کلیه می شود زیرا در جایی که دو شیء تساوی دارند دو موجبه کلیه صادق است مثل کل انسان بشر و کل بشر انسان » در اینصورت رجوع به شکل اول می کند « وقتی رجوع به شکل اول کرد منتج می شود پس این قیاس که تا الآن منتج نبود به این صورت که آن را به شکل اول برگردانید منتج می شود و اگر به شکل اول برگردانده نشود فی الواقع منتج است چون در واقع به شکل اول برمی گردد.

تا اینجا معلوم شد که جدلی کثیراً به اشتباه می افتد زیرا کثیراً از چنین قیاسِ غیر منتجی استفاده می کند بر خلاف ریاضی.