موضوع: بیان قول گروهی که قائلند می توان بین خط مستقیم و مستدیر مقایسه انجام داد و جواب اول مصنف از آنها/ مقایسه پذیری حرکات و عدم مقایسه پذیری حرکات/ فصل 5/ مقاله 4/ فن 1/ طبیعیات شفا.
فان قال قائل انا نعلم یقینا ان القوس اعظم من الوتر و الوتر اصغر منه[1]
بحث در مقایسه پذیری حرکات بود. اشاره شد که اگر مسافت ها مقایسه پذیر باشند حرکت ها هم بالتبع مقایسه پذیر می شوند پس اگر مسافت ها مقایسه پذیر باشند بالفعل، حرکات هم مقایسه پذیرند بالفعل، و اگر مسافت ها مقایسه پذیر باشند بالقوه، حرکات هم مقایسه پذیرند بالقوه. و اگر مسافت ها مقایسه پذیر نباشند نه بالقوه و نه بالفعل، حرکات هم مقایسه پذیر نیستند نه بالقوه و نه بالفعل .
در ادامه، به بحث از خط مستدیر و مستقیم رسیده شد که در مسافت هستند و بیان شد که اینها بالفعل مقایسه پذیر نیستند. اما شاید بالقوه مقایسه پذیر باشند. چنانچه مثلث و مربع، بالقوه مقایسه پذیر بودند. سپس مصنف این مطلب را هم رد کرد و گفت بالقوه هم مقایسه پذیر نیستند. البته بعداً بیان می شود که علی وجه بعید مقایسه پذیر هستند.
مطلبی که در این جلسه بیان می شود می تواند یک مطلب جدید باشد و می تواند مرتبط به بحث قبل باشد.
بیان قول قائل: گوینده ای می گوید بین خط مستقیم و خط مستدیر می توان مقایسه کرد و یکی را بزرگتر و یکی را کوچکتر دید. این مقدار مقایسه را می توان انجام داد. اما آنچه را که ما بر آن توانایی نداریم این است که مقایسه انجام بدهیم و هر دو را مساوی ببینیم. زیرا مساوی دیدن به انطباق است و ما نمی توانیم مستقیم را بر منحنی یا منحنی را بر مستقیم منطبق کنیم.
مشکلی که در باب استقامت و انحناء است تساوی می باشد و الا اثبات زیاده و نقیصه، مشکل ندارد. مثلا یک دایره کشیده می شود و وتر آن رسم می گردد وترِ آن از قوسش کوچکتر است و قوس از وتر بزرگتر است پس زیاده و نقیصه روشن است.
سپس این قائل، این مطلب را اضافه می کند « که اساسِ بحث همین قسمت است » و می گوید اگر زیاده و نقیصه داشته باشید حتما تساوی هم دارید چون تساوی بین زیاده و نقیصه است اگر دو طرف را قبول دارید وسط را هم باید قبول کنید و لازم نیست منطبق کنید تا تساوی بدست آید تا بگویید انطباق مستقیم بر مستدیر و انطباق مستدیر بر مستقیم ممکن نیست بلکه وقتی در جایی نقیصه و زیاده باشد مساوات هم هست ولو مساوات تشخیص داده نشود.
در اینصورت می توان گفت که خط مستقیم و مستدیر مقایسه پذیرند زیرا هم زیاده و نقیصه در آنها راه دارد هم تساوی در آنها راه دارد. و وقتی در مسافت، مقایسه پذیری امکان داشت در حرکت هم امکان دارد.
این مطلبی که گفته شد را بهتر است یک اشکال مستقل قرار دهید زیرا مصنف در عبارت قبل از « ان قال قائل » اصرار دارد بر اینکه خط مستقیم و مستدیر مقایسه پذیر نیستند چون انطباق ممکن نیست. اما ا ین قائل می گوید خط مستقیم و مستدیر مقایسه پذیر هستند. زیرا در مقایسه پذیری لازم نیست که حتما انطباق ممکن باشد. اگر انطباق هم ممکن نباشد زیاده و نقیصه را می دانیم. مساوات را هم از زیاده و نقیصه استخراج می کنیم و بدست می آوریم ولو نتوانیم درجه مساوات را تعیین کنیم.
ظاهر قضیه حکم می کند که حق با همین گوینده است چون فرض کنید دو خط داریم که یکی ناقص از دیگری است. این ناقص را می خواهیم امتداد بدهیم و بزرگ کنیم تا از آن خط دیگری بزرگتر شود. در اینصورت وقتی که خط کوچک امتداد داده می شود ولو حواسِ ما نباشد و نتوانیم اندازه بگیریم اما به یک جایی رسیده می شود که واقعا این دو خط مساوی می شوند و وقتی از تساوی عبور می کند خط کوچک، بزرگتر می شود و نمی توان از نقیصه به سمت زیاده رفت بدون اینکه به تساوی رسید. با این طریق می توان قول این قائل را تایید کرد.
مصنف دو جواب بیان می کند.
توضیح عبارت
فان قال قائل انا نعلم یقینا ان القوس اعظم من الوتر و الوتر اصغر منه
ما یقینا می دانیم که قوس اعظم از وتر خودش است و وتر هم اصغر از قوس خودش است « نه اینکه هر وتری از هر قوسی کوچکتر است و هر قوسی از هر وتری بزرگتر است بلکه قوس با وتر خودش ملاحظه می شود ».
فاذا وُجِد تفاوت فی الصغر و الکبر فبالحری ان یکون هناک مساواه
« یکون » تامه است.
وقتی تفاوت در صغر و کبر یافت شد سزاوار این است که در اینجا که زیاده و نقیصه مطرح است تساوی هم وجود داشته باشد. و احتیاج به انطباق ندارد. شما گفتید با انطباق نمی توان مساوات را تعیین کرد این قائل می گوید ما با انطباق نمی خواهیم مساوات را تعیین کنیم از راه دیگر تعیین می کنیم « که راه عقلی است یعنی اگر تفاوت به زیاده و نقیصه است مساوات هم هست زیرا وقتی خط ناقص را می خواهیم بزرگ کنیم به طوری که از خطِ بزرگ، بزرگتر شود. در این فاصله به تساوی این دو خط رسیده می شود و بعداً خط کوچک، بزرگتر از خط بزرگ می شود ».
صفحه 277 سطر 11 قوله « و قد اجاب »
مصنف دو جواب می دهد.
جواب اول: ممکن است زیاده و نقیصه داشته باشیم ولی اصلا مساوات نداشته باشیم. نه اینکه مساوات داشته باشیم ولی راه انطباق نداشته باشیم و نمی توانیم منطبق کنیم تا بفهمیم، بلکه اصلا مساوات نداشته باشیم. یک مثالی خود مصنف می زند و یک مثال هم مرحوم صدرا می زند.
مثال مرحوم صدرا: مرحوم صدرا می گوید همین وتر و قوس را ملاحظه کنید که به قول شما وتر کوچکتر است و قوس بزرگتر است. کاری انجام می دهیم تا وتر از قوس بزرگتر شود به این صورت که اندازه وتر را بزرگتر می کنیم. اما این دو هیچ وقت مساوی نمی شوند چون یکی منحنی و یکی مستقیم است و تساوی این دو ممکن نیست شما نقیصه را امتداد می دهید تا بزرگتر از آن زیاده شود و از مراحلی عبور کردید که هیچکدام از آن مراحل، تساویِ مستقیم با منحنی نبود. دو چیزی که قابل مقایسه نیستند چگونه مقایسه شدند و تساوی فهمیده شد؟ توجه کنید اشکالی را که قبلا وارد کردید نگویید. یعنی نگویید با متر اندازه می گیریم. چون فرض این است که این دو را می خواهیم ببینیم تساوی دارند یا ندارند؟ نه اینکه از طریق دیگر بخواهیم متوجه شویم. اگر با متر هم اندازه گیری کنید کافی نیست زیرا اگر خط منحنی را با متر اندازه گیری کنید متر، « اگر پارچه ای باشد » وقتی آن را خم می کنید چروک می خورد ولی چروکش کم باشد و نمود نداشته باشد اما تاثیر گذار است. در حالی که وقتی دارید خط مستقیم را متر می کنید متر کاملا باز است و هیچ چروکی در آن نیست، فقط یک راه دارید و آن این است که متر را بر روی طرف باریکش قرار دهید نه طرف پهنش، در اینصورت متر را خم کنید، اگر طرفِ پهنِ متر را قرار دهید مسلما چروک می خورد. پس به قول مرحوم صدرا اصلا اتفاق نمی افتد که این دو خط مستقیم و منحنی با هم مساوی شوند. پس از نقیصه به سمت زیاده رفتیم ولی تساوی اتفاق نیفتاد.
عبارت مرحوم صدرا این است « انه یصح ان یصیر اصغر المقدارین اعظم من الاعظم » یعنی اصغر المقدارین می تواند از آن بزرگ، بزرگتر شود « بدون ان یصیر مساویا له » این، اصل مدعا است « کما اذا فرضنا درجه واحده من الدائره یزید بحرکه الفرجار الی ان یبلغ نصف الدور » یعنی یک ذره از قوس داریم که با حرکت پرگار زیاد می کنیم تا به نصف دور برسد. .... و قد کانت اصغر منه لا محاله این قوس کوچک اعظم از قطر می شود در حالی که قبلا کوچکتر از قطر بود اما الان که نیم دایره شد از قطر بزرگتر شد بدون اینکه در این وسط، مساوی با قطر شود. توجه کنید که معنا ندارد گفته شود منحنی با مستقیم مساوی است مثل اینکه گفته شود خط با سطح مساوی است. این دو، دو چیز هستند و قابل مقایسه نیستند. بله خطی از آن سطح را می توان با این خط مقایسه کرد.
در خط هم که یکی خط منحنی و یکی خط مستقیم است قابل مقایسه نیستند. اگر قابل مقایسه بودند تساوی ممکن بود.
مثال مصنف: مصنف سه زاویه حاره را ملاحظه می کند که عبارتند از اصغر الحوادّ، اعظم الحوادّ و حادّه بینهما. در شکل 15 مقاله 3 از کتاب تحریر اصول الهندسه و الحساب « یا تحریر اصول اقلیدس » اصغر الحوادّ و اعظم الحواد معین شده است. دایره ای را رسم کنید و قطر آن را هم رسم کنید و بر انتهای قطر عمودی وارد کنید. این عمود از بیرون دایره مماس با محیط دایره می شود. به وسیله این قوس و خط عمود، زاویه حاده درست می شود که یک ضلع آن همان خط عمود است و ضلع دیگرش قوس دایره است. اقلیدس در شکل 15 م 3 ثابت می کند که اصغر الحواد است به اینصورت که نمی توان خط دیگری بین خط عمود مستقیم و خط قوس دایره قرار داد یعنی شکاف اینقدر باریک است که خط دیگر در آن قرار نمی گیرد. از اینجا نتیجه گرفته می شود که اصغر الحوادّ است. زاویه ای هم در درون دایره بر اثر برخورد قطر به قوس تشکیل می شود. این قوس، یک انحناء مختصری دارد که اگر آن انحناء نبود زاویه ای که از برخورد قطر با قوس تشکیل می شد زاویه قائمه بود. این زاویه، اعظم الحوادّ است به طوری که اگر یک ذره این قوس به سمت استقامت برده شود زاویه قائمه تشکیل می شود. سپس یک زاویه حاده ای تشکیل بدهید که از دو خط مستقیم بوجود آمده باشد این زاویه حاده ای، از آن اصغر الحواد بزرگتر است و از آن اعظم الحواد کوچکتر است و بین این دو قرار دارد. اگر این زاویه حاده که از دو خط مستقیم تشکیل شده است را به سمت قائمه ببرید از اعظم الحواد بزرگتر می شود. این زاویه از اعظم الحواد عبور کرد و رد شد اما مساوی با آن نشد چون آن ضلع مستقیم که باز می شود هیچ وقت ضلع منحنی نمی شود.
بین اعظم الحواد و قائمه چه مقدار فاصله است؟ می توان گفت به اندازه یک نقطه فاصله است البته نقطه غیر قابل انقسام است. چه وقتی می توان زاویه متوسط را مساوی با اعظم الحواد کنید؟ وقتی که دهانه این زاویه متوسط را طوری باز کنید که به اندازه جزء لا یتجزی با قائمه فاصله داشته باشد. اما نمی توان جزء لا یتجزی پیدا کرد و فاصله با قائمه را به این مقدار قرار داد. زیرا هر چقدر این دهانه زاویه باز شود باقیمانده ای که می خواهد از حاده به قائمه منتقل کند قابل انقسام است « و جزء لا یتجزی وجود ندارد پس هیچ وقت به جزء لا یتجزی رسیده نمی شود تا بعداً گفته شود با اعظم الحواد مساوی شد.
توضیح عبارت
و قد اجاب عن هذا بعض المحصلین
« تحصیل » در عبارات مشاء به معنای « تحقیق » است.
اینکه مصنف تعبیر به « بعض المحصلین » کرده نشان می دهد که مصنف از این جواب بدش نمی آید.
فقال قد یکون بین شیئین تناسب الزیاده و النقصان مع استحاله ان یقع بینهما مناسبه المساواه
ترجمه: گاهی بین دو شیء تناسب زیاده و نقصان است « تناسب، طرفینی است. نسبت این خط به آن خط، نسبت نقصانی است و نسبت آن خط به این خط نسبت زیاده است. لذا تعبیر به تناسب شده است » ولی مناسبتِ مساوات بین آن دو برقرار نیست « لفظ مناسبت، صیغه مفاعله است و طرفینی می باشد یعنی این با آن مساوی است و آن با این مساوی است ».
فانا نعلم یقینا ان زاویه مستقیمه الخطین حاده هی اعظم من زاویه حاده عن قوس و مستقیم و اصغر من اخری
ترجمه: ما می دانیم یقینا که زاویه ای که مستقیمه الخطین و حاده است « یعنی از دو خط مستقیم تشکیل شده و حاده می باشد » بزرگتر است از زاویه حاده ای که از یک قوس و یک خط مستقیم تشکیل شده « اشاره به همان شکل 15 مقاله 3 کتاب تحریر اقلیدس می کند » و اصغر از زاویه دیگر « یعنی اعظم احواد » است.
و یستحیل ان تکون من قبیل مستقیمه الخطین زاویه مستقیمه لشیء من قبیل الاخری
« زاویه » اسم تکون است.
نسخه صحیح « مساویة لشیء » به جای « مستقیمه لشیء » هست.
مراد از « الاخری » اعظم الحواد است یعنی آن که از قوس و قطر تشکیل شده.
ترجمه: محال است که زاویه حاده ای پیدا کنید که از قبیل مستقیمه الخطین باشد و مساوی باشد با یکی از زاویه هایی که از قبیل اعظم الحواد هستند.
و انما قلنا ان الحاده المستقیمه الخطین اعظم من زاویه منهما لان الزاویه القوسیه توجد بالفعل فی تلک و زیاده اخری
« واو » به معنای « مع » است و ضمیر « منهما » به قوس و مستقیم برمی گردد. چرا گفتید زاویه حاده ای که از دو خط مستقیم تشکیل شده باشد اعظم از اصغر الحواد است و اصغر از اعظم الحواد است؟ توجه کنید که مصنف اشاره به معنای زیاده می کند. یعنی وقتی گفته می شود این خط زیاده بر آن خط است یعنی مثل آن را دارد مع اضافه » این زاویه متوسطه « یعنی زاویه مستقیمه الخطین » آنچه را که اصغر الحواد دارد مثل آن را دارد مع اضافه ». اما چرا اعظم الحواد بزرگتر از زاویه متوسط است؟ زیرا اعظم الحواد، مثل زاویه متوسط را دارد مع اضافةٍ. و هر جا که مثل با زیاده باشد زیاده صادق است.
ترجمه: ما می گوییم زاویه حاده ی مستقیمه الخطین اعظم است از زاویه ای که از قوس و مستقیم تشکیل شده است « که همان اصغر الحواد است » زیرا زاویه قوسیه « که همان اصغر الحواد است » یافت می شود در آن « یعنی حاده ی مستقیمه الخطین » همراه با زیاده.
و انما کانت الاخری اعظم من مستقیمه الخطین لان مستقیمه الخطین توجد بالفعل فیها و زیاده
واو به معنای مع است.
ترجمه: و اُخری « یعنی اعظم الحواد » اعظم از مستقیمه الخطین است زیرا که مستقیمه الخطین، بالفعل در آن اُخری یافت می شود به همراه زیاده.
فهذا جواب
آنچه بعض محصلین گفتند جواب اول بود که تمام شد.

---