موضوع : شرح اُکر ثاوذو سیوس

صدرٌ: فصل مشترک دو دایره نقطه ای است که دو دایره در آن نقطه با هم مماس باشند.

تعریف دو دایره متماس: دو دایره متماس دایره های هستند که در فصل مشترک ( در نقطه واحدی ) با هم مماس باشند.

به عبارت دیگر دو دایره مماس دایره های هستند که نقطه ای از سطح یکی با نقطه ای از سطح دیگری مماس باشد.

تعریف دوایر متماس: دوایری که دو به دو در یک نقطه ار سطحشان با هم مماس باشند را دوایر متماس گویند.

این مماس بودن دایره ها در دایره های موجود در کره نیز صدق می‌کند.

*شکل ا*

مفروض:

الف: دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( د،ه،ز ) متوازی [1] و در یک کره قرار دارند.

ب: دو نقطه ( ح‌ ) و ( ط ) دو قطب دایره ( ا،ب،ج ) می‌باشند.

مدعا: دو نقطه مذکور علاوه بر اینکه قطب دایره ( ا،ب،ج ) هستند قطب دایره موازی آن یعنی دایره

( د،ه،ز )‌ نیز می‌باشند.

بیان مدعا به صورت کلی: هر گاه در کره ای دایره های متوازی وجود داشته باشند قطب های آنها مشترک می‌باشد ( دو نقطه ای که قطب یک دایره هستند قطب دایره های دیگر نیز می‌باشند.

آماده کردن شکل برای استدلال:

دو نقطه ( ح ) و ( ط ) که قطب دایره (‌ ا،ب،ج )‌ هستند را به هم وصل می‌کنیم تا خط ( ح،ط ) بدست آید.

اثبات مدعا:

الف: خط ( ح،ط ) به شهادت شکل ۱۱ مقاله اول [2] بر دایره ( ا،ب،ج ) عمود است و از مرکز این دایره و مرکز کره ای که دایره در آن واقع شده است می‌گزرد.

ب: از آنجا که فرض ما این بود که این دو دایره متوازی و در یک کُره واحد قرار دارند لذا به عکس شکل ۱۴ مقاله ۱۱ اصول[3] خط ( ح،ط ) همانگونه که بر دایره (‌ا،ب،ج ) عمود است بر دایره (‌د،ه،ز ) نیز عمود می‌باشد. و چون این دو دایره متوازی و در یک کُره قرار دارند اگر این عمود از مرکز یکی از دایره های موجود در این کُره و مرکز خود کُره عبور کند قهرا از مرکز دایره های دیگر نیز عبور خواهد کرد.

نکته: ما این مطلب یعنی عمود بودن خط ( ح،ط ) بر دایره دوم و گذشت از مرکز آن را از عکس شکل ۱۴ مقاله ۱۱ اصول استفاده کردیم اما عکس این شکل در اصول اثبات نشد لذا برای اثبات مدعای خود لازم است این عکس را ثابت کنیم تا مطلوب ما ثابت شود.

اثبات عکس شکل ۱۴ مقاله ۱۱ اصول:

بر خط ( ح،ط ) که بر دایره ( ا،ب،ج ) عمود است خطی را که مماس با سطح این دایره است و از مرکز آن عبور می‌کند عمود می‌کنیم. خط دیگری را موازی با این عمود جدید روی سطح دایره ( د،ه،ز) بر مرکز آن عمود می‌کنیم [4] . این خط که با سطح دایره ( ذ،ه،ز ) مماس است چون با خطی که با سطح دایره ( ا،ب،ج ) مماس است موازی می‌باشد به شهادت مدعای سوم شکل ۲۹ مقاله اول اصول[5] با خط ( ح،ط ) که بر دایره ( ا،ب،ج ) عمود است زاویه قائمه تشکیل می‌دهد. لذا هم آن دو خط بر ( ح،ط )‌عمود اند هم ( ح،ط ) بر آن دو خط عمود است.

از عمود بودن خط (‌ ح،ط ) بر خطی که که مماس با دایره ( د،ه،ز ) است معلوم می‌شود که خط ( ح،ط ) بر مرکز دایره ( د،ه،ز )‌ نیز عمود است و هو المطلوب.

ج: از آنچه گفته شد معلوم شد خط ( ح،ط ) که از دو قطب دایره (‌ ا،ب،ج ) گذشته است از مرکز کره بر سطح دایره ( د،ه،ز ) عمود شده است.

درنتیجه به شهادت شکل ۸ مقاله ۱عمود [6] ( ح،ط ) از دو قطب دایره ( د،ه،ز ) نیز گذشته است . یعنی دو نقطه ( ح،ط )‌دو قطب دایره (‌ د،ه،ز ) نیز می‌باشند. و هو المطلوب.

*شکل ب*

مفروض:

الف: ‌دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( د،ه،ز ) درون کره ای واحد قرار دارند.

ب: قطب های این دو دایره مشترک می‌باشند. (به عبارت دیگر دو نقطه ( ح ) و ( ط ) قطر برای هر دو دایره می‌باشند.

مدعا: این دو دایره متوازی هستند.

بیان مدعا به صورت کلی:

دایره های که در کُره واحدی قرا دارند و قطب های آنها مشترک است متوازی هستند.

آماده کردن شکل برای استدلال:

دو نقطه ( ح ) و (ط ) را که دو قطب برای این دایره ها هستند را به هم وصل می‌کنیم تا خط ( ح،ط ) پدید آيد.

اثبات مدعا:

الف: طبق فرض خط ( ح،ط ) از قطب های دو دایره ( ا،ب‌،ج ) و ( د،ه،ز ) عبور کرده است. در نتیجه این خط به شکل ۱۱ مقاله اول [7] بر سطح هر یک از دو دایره مذکور عمود است.

ب: چون خط ( ح،ط ) بر سطح دو دایره مذکور عمود است پس دو دایره نام برده شد به شکل ۱۴ مقاله ۱۱ اصول [8] با هم موازی اند و هو المطلوب.

اقول: در این اقول مطلبی که از شکل اول و دوم این مقاله استفاده می‌شود که ما آن را استبانه شکل دوم می‌نامیم مطرح می‌شود و آن استبانه این است:

اگر چند دایره با دایره واحده ای موازی باشند خود آن دایره ها نیز با هم موازی اند.

دلیل: در شکل اول این مقاله ثابت شد که این دایره ها قطب های مشترک دارند . و در شکل دوم ثابت شد که این دایره ها با هم موازی اند. لذا نتیجه می‌گیریم که خود آن دایره ها نیز با هم موازی اند.

*شکل ج*

مفروض:‌

الف: دو دایره (‌ ا،ب،ج) و ( د،ه،ج )

اولاً در کُره ای محاط شده اند.

ثانیاً دایره عظمیه ( ا،ج،ه ) را در نقطه واحدی یعنی ( ج ) قطع کرده اند.

به عبارت دیگر این دو دایره بر دایره عظمیه ( ا،ج،ه ) وارد شده اند . به این صورت که از همان نقطه ای که یکی وارد شده است دیگری نیز از همان نقطه وارد شده است و آن نقطه ( ج ) است.

نکته: قبلا بیان شد که دو دایره تنها در یک نقطه با هم مماس می‌شوند اما اگر دایره ای بخواهد دایره دیگر را قطع کند حتما از دو نقطه آن عبور می‌کند. درما نحن فیه بحث در صورتی است که این دو دایره مفروض دایره عظیمه را قطع کرده اند لذا هر کدام دو نقطه تقاطع با دایره عظیمه دارند که ما یک نقطه را محل ورود آن دو دایره در روی عظمیه فرض کرده ایم و نقطه دیگر را نقطه خروج گرفته ایم.

باید توجه کرد که ممکن است نقطه ورود این دو دایره بر عظیمه یکی باشد و نقطه خروجشان متفاوت باشد یا بالعکس موردشان متفاوت و خروجشان یکی باشد. همچنین ممکن است نقطه ورود و خروج آن دو دایره بر عظیمه متفاوت باشد. اما فرض بحث ما فعلا در موردی است این دو دایره در یک نقطه واحد عظیمه را قطع کنند. یعنی نقطه ورود آنها یکی باشد یا بالعکس.

در فرض ما نقطه ورود این دو دایره بر دایره عظیمه نقطه ( ج ) و نقطه خروج دایره (‌ا،ب،ج ) نقطه ( ا ) و نقطه خروج دایره ( د،ه،ج ) نقطه ( ه )‌ می‌باشد .

باید توجه داشت وقتی می‌گوییم این دو دایره در یک نقطه دایره عظیمه را قطع کرده اند مراد این نیست که نقطه تقاطع دیگری با عظیمه ندارند بلکه می‌خواهیم بیان کنیم بحث ما در فرض اول است نه فرض دوم.

ثالثاً: قطب های این دو دایره روی دایره عظیمه قرار گرفته است. یعنی دایره عظیمه از قطب های این دو دایره عبور کرده است[9]

ب: در سه دایره مذکور سه فصل مشترک که همگی آنها به شکل ۳ مقاله ۱۱ اصول خط هستند داریم.

یکی خط (‌ ا،ج ) که فصل مشترک بین دایره ( ا،ب،ج ) و دایره عظیمه ( ا،ج،ه) است و چون قبلا بیان شد که این خط دایره ( ‌ا،ب،ج ) را نصف می‌کند قطر این دایره نیز محسوب می‌شود.

دومی خط ( ه،ج ) است که فصل مشترک بین دایره ( د،ه،ج ) و دایره عظیمه (‌ ا،ج،ه ) است که به بیان مذکور قطر دایره ( د،ه،ج ) است.

سومی خط ( ز،ج،ح )‌است که از نقطه (‌ ج ) عبور کرده است. یعنی بر دو خط ( ا،ج ) و ( ه،ج ) آنهم نه بر خودشان بلکه بر طرفشان وارد شده است و فصل مشترک بین دو دایره (‌ ا،ب،ج ) و ( د،ه،ج ) گشته است.

با توجه به این مفروضات مدعای ما این است:

دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( د،ه،ج ) با هم در نقطه ( ج ) مماس شده اند.

بیان مدعا به صورت کلی:

هر دو دایره ای که در کره ای آنچنان واقع شوند که

اولاً دایره عظیمه آن کره را مشترکا در نقطه ای قطع کنند

ثانیاً قطب هایشان روی آن دایره عظیمه قرار بگیرد متماس خواهند بود.

اثبات مدعا:

الف: دایره عظیمه ( ا،ب،ه ) طبق فرض هم از دو قطب دایره ( ا،ب،ج ) گذشته است هم از دو قطب دایره

( د،ه،ج ) لذا به شکل ۱۶ مقاله اول [10] بر این دو دایره عمود است و آنها را نصف کرده است . به بیان دیگر هر یک از این دو دایره در فصل مشترکی که با دایره عظیمه ( ا،ج،ه ) دارند نصف شده اند. و چون خطی که منصِّف دایره است قطر دایره است پس این دو فصل مشترک دو قطر این دو دایره غیر عظیمه هستند ( خط ( ا،ج ) قطر دایره ( ا،ب،ج ) و خط ( ه،ج ) قطر دایره ( د،ه،ج ) است.

ب: در شماره ( الف) معلوم شد که دایره عظیمه ( ا،ج،ه ) بر هر یک ای دو دایره غیر عظیمه عمود است. در نتیجه هر یک از این دو دایره نیز بر این عظیمه عمود هستند لذا به شکل ۱۹ مقاله ۱۱ اصول[11] فصل مشترک این دو دایره که خط ( ز،ح ) است بر سطح دایره ( ا،ه،ج ) عمود می‌باشند.

ج: وقتی خط ( ز،ح ) بر سطح دایره عظیمه ( ا،ج،ه ) عمود باشد به عکس دومین صدر مقاله ۱۱ اصول [12] بر تمام خطوطی که مماس با این سطح رسم می‌شوند نیز عمود است. در نتیجه خط ( ز،ح ) که بر سطح دایره عظیمه عمود است بر هر یک از دو خط ( ا،ج ) و ( ج،ه ) که مماس با سطح دایره عظیمه ( ا،ج،ه ) هستند نیز عمود است.

و چون این دو خط ( ا،ج، ) ( ج،ه ) دو قطر دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( ج،د،ه ) هستند پی خط ( ز،ح ) بر قطر این دو دایره ( بر طرف دو قطر دو دایره مذکور ) عمود است.

پس به استبانه شکل ۱۵ مقاله ۳ اصول [13] معلوم می‌شود که خط ( ز،ح ) فصل مشترک این دو دایره غیر عظیمه است و از این فصل مشترک بودن نتیجه گرفته می‌شود خود این دو دایره با هم مماس هستند و هو المطلوب.

*شکل ج*

مفروض:‌

الف: دو دایره (‌ ا،ب،ج) و ( د،ه،ج )

اولاً در کُره ای محاط شده اند.

ثانیاً دایره عظمیه ( ا،ج،ه ) را در نقطه واحدی یعنی ( ج ) قطع کرده اند.

به عبارت دیگر این دو دایره بر دایره عظمیه ( ا،ج،ه ) وارد شده اند . به این صورت که از همان نقطه ای که یکی وارد شده است دیگری نیز از همان نقطه وارد شده است و آن نقطه ( ج ) است.

نکته: قبلا بیان شد که دو دایره تنها در یک نقطه با هم مماس می‌شوند اما اگر دایره ای بخواهد دایره دیگر را قطع کند حتما از دو نقطه آن عبور می‌کند. درما نحن فیه بحث در صورتی است که این دو دایره مفروض دایره عظیمه را قطع کرده اند لذا هر کدام دو نقطه تقاطع با دایره عظیمه دارند که ما یک نقطه را محل ورود آن دو دایره در روی عظمیه فرض کرده ایم و نقطه دیگر را نقطه خروج گرفته ایم.

باید توجه کرد که ممکن است نقطه ورود این دو دایره بر عظیمه یکی باشد و نقطه خروجشان متفاوت باشد یا بالعکس موردشان متفاوت و خروجشان یکی باشد. همچنین ممکن است نقطه ورود و خروج آن دو دایره بر عظیمه متفاوت باشد. اما فرض بحث ما فعلا در موردی است این دو دایره در یک نقطه واحد عظیمه را قطع کنند. یعنی نقطه ورود آنها یکی باشد یا بالعکس.

در فرض ما نقطه ورود این دو دایره بر دایره عظیمه نقطه ( ج ) و نقطه خروج دایره (‌ا،ب،ج ) نقطه ( ا ) و نقطه خروج دایره ( د،ه،ج ) نقطه ( ه )‌ می‌باشد .

باید توجه داشت وقتی می‌گوییم این دو دایره در یک نقطه دایره عظیمه را قطع کرده اند مراد این نیست که نقطه تقاطع دیگری با عظیمه ندارند بلکه می‌خواهیم بیان کنیم بحث ما در فرض اول است نه فرض دوم.

ثالثاً: قطب های این دو دایره روی دایره عظیمه قرار گرفته است. یعنی دایره عظیمه از قطب های این دو دایره عبور کرده است[14]

ب: در سه دایره مذکور سه فصل مشترک که همگی آنها به شکل ۳ مقاله ۱۱ اصول خط هستند داریم.

یکی خط (‌ ا،ج ) که فصل مشترک بین دایره ( ا،ب،ج ) و دایره عظیمه ( ا،ج،ه) است و چون قبلا بیان شد که این خط دایره ( ‌ا،ب،ج ) را نصف می‌کند قطر این دایره نیز محسوب می‌شود.

دومی خط ( ه،ج ) است که فصل مشترک بین دایره ( د،ه،ج ) و دایره عظیمه (‌ ا،ج،ه ) است که به بیان مذکور قطر دایره ( د،ه،ج ) است.

سومی خط ( ز،ج،ح )‌است که از نقطه (‌ ج ) عبور کرده است. یعنی بر دو خط ( ا،ج ) و ( ه،ج ) آنهم نه بر خودشان بلکه بر طرفشان وارد شده است و فصل مشترک بین دو دایره (‌ ا،ب،ج ) و ( د،ه،ج ) گشته است.

با توجه به این مفروضات مدعای ما این است:

دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( د،ه،ج ) با هم در نقطه ( ج ) مماس شده اند.

بیان مدعا به صورت کلی:

هر دو دایره ای که در کره ای آنچنان واقع شوند که

اولاً دایره عظیمه آن کره را مشترکا در نقطه ای قطع کنند

ثانیاً قطب هایشان روی آن دایره عظیمه قرار بگیرد متماس خواهند بود.

اثبات مدعا:

الف: دایره عظیمه ( ا،ب،ه ) طبق فرض هم از دو قطب دایره ( ا،ب،ج ) گذشته است هم از دو قطب دایره

( د،ه،ج ) لذا به شکل ۱۶ مقاله اول [15] بر این دو دایره عمود است و آنها را نصف کرده است . به بیان دیگر هر یک از این دو دایره در فصل مشترکی که با دایره عظیمه ( ا،ج،ه ) دارند نصف شده اند. و چون خطی که منصِّف دایره است قطر دایره است پس این دو فصل مشترک دو قطر این دو دایره غیر عظیمه هستند ( خط ( ا،ج ) قطر دایره ( ا،ب،ج ) و خط ( ه،ج ) قطر دایره ( د،ه،ج ) است.

ب: در شماره ( الف) معلوم شد که دایره عظیمه ( ا،ج،ه ) بر هر یک ای دو دایره غیر عظیمه عمود است. در نتیجه هر یک از این دو دایره نیز بر این عظیمه عمود هستند لذا به شکل ۱۹ مقاله ۱۱ اصول[16] فصل مشترک این دو دایره که خط ( ز،ح ) است بر سطح دایره ( ا،ه،ج ) عمود می‌باشند.

ج: وقتی خط ( ز،ح ) بر سطح دایره عظیمه ( ا،ج،ه ) عمود باشد به عکس دومین صدر مقاله ۱۱ اصول [17] بر تمام خطوطی که مماس با این سطح رسم می‌شوند نیز عمود است. در نتیجه خط ( ز،ح ) که بر سطح دایره عظیمه عمود است بر هر یک از دو خط ( ا،ج ) و ( ج،ه ) که مماس با سطح دایره عظیمه ( ا،ج،ه ) هستند نیز عمود است.

و چون این دو خط ( ا،ج، ) ( ج،ه ) دو قطر دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( ج،د،ه ) هستند پی خط ( ز،ح ) بر قطر این دو دایره ( بر طرف دو قطر دو دایره مذکور ) عمود است.

پس به استبانه شکل ۱۵ مقاله ۳ اصول [18] معلوم می‌شود که خط ( ز،ح ) فصل مشترک این دو دایره غیر عظیمه است و از این فصل مشترک بودن نتیجه گرفته می‌شود خود این دو دایره با هم مماس هستند و هو المطلوب.

*شکل د*

مفروض:

الف: دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( ج،د،ه ) که هر دو در کره ای واقع شده اند با هم در نقطه ( ج ) مماس هستند.

ب: نقطه ( ز ) قطب یک دایره و نقطه ( ح ) قطب دایره دیگر است ( از هر کدام از دو دایره قطبی مطرح شده و قطب دیگر نادیده گرفته شده است.

ج: دایره عظیمه ای از این دو قطب این دو دایره متماسه گذشته است.

مدعا: این دایره عظیمه همانطور که از دو قطب این دایره متماسه گذشته است از نقطه تماس این دو دایره یعنی از نقطه ( ج ) نیز می‌گزرد.

بیان مدعا به صورت کلی:

هر گاه دایره عظیمه کُره ای از قطب های دایره های مماس در آن کره عبور کند از نقطه تماس آن دو دایره نیز عبور خواهد کرد.

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: دایره عظیمه ( ز،ب،ح ) را به گونه ای رسم می‌کنیم که از دو نقطه ( ز ) و ( ح ) یعنی از دو قطب دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( ج،د،ه ) عبور کند. اما از نقطه تماس این دو دایره یعنی نقطه ( ج ) عبور نکند.

ب: با قطب قرار دادن نقطه ( ح ) و به بُعد ( ح،ب ) دایره ( ب،ط،ک ) را رسم می‌کنیم. مشخص است که دایره ( ج،د،ه ) با دایره ( ب،ط،ک ) موازی است زیرا قطب هر دوی آنها نقطه ( ح ) است. لذا به شهادت شکل ۲ مقاله ۲ [19] این دو دایره متوازی می‌باشند.

اثبات مدعا با توجه به مطالب بیان فوق:

مقدم: اگر دایره عظیمه ای به دو نقطه ( ز ) و ( ح ) که دو قطب داو دایره ( ا،ب،ج ) و ( ج،د،ه ) هستند بگذرد و از نقطه ( ج ) که نقطه تماس این دو دایره است عبور نکند.

تالی: لازم می‌آید که دو دایره متقاطعه متماس باشند.

و لکن التالی باطل : متماس بودن دو دایره متقاطعه باطل است.

فالملزوم مثله: لذا اگر دایره عظیمه ای از نقطه ( ز ) و ( ح ) عبور کند از نقطه ( ج ) نیز عبور خواهد کرد.

به عبارت دیگر هر گاه دایره عظیمه ای از دو قطب دو دایره متماس عبور کند باید از نقطه تماس آنها نیز عبور کند.

بیان ملازمه: دایره عظیمه ای که از که از قطب های این دو دایره متماس عبور کرده است اگر از نقطه ( ج ) که نقطه تماس دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( ج،د،ه ) است نگذرد از نقطه دیگری مثلا از نقطه ( ب‌ ) متقاطع می‌شوند. و اگر از نقطه ( ب ) که که محل تقاطع دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( ب،ط،ک ) است بگذرد چون این دو دایره در نقطه ( ب ) دایره عظیمه ( ز،ب،ح ) را به صورت مشترک قطع کرده اند دایره عظیمه ( ز،ب،ح ) نیز از قطب هر یک از دو دایره ( ا،ب،ج )‌ و ( ب،ط،ک ) عبور کرده است لذا به شکل ۳ مقاله ۲ [20] نقطه ( ب ) نقطه تماس دو دایره مذکور می‌باشد. در نتیجه لازم می‌اید که نقطه تقاطع همان نقطه تماس باشد ( دو دایره متقاطع متماسه شوند)

خلاصه: اگر دایره ا عظیمه ای از دو قطب دو دایره متماسه عبور کند باید از نقطه تماس آن دو نیز عبور کند و هو المطلوب.

نکته: در ضمن استدلال مذکور گفتیم: دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( ب،ط،ک ) در نقطه ( ب ) متقاطع می‌باشند.

اکنون می‌گوییم: این دو دایره در صورتی متقاطع می‌شوند که نقطه ( ب ) روی دایره (‌ ج،د،ه ) نباشد و الا واضح است که در این صورت دایره ( ب،ط،ک ) که به بعد ( ح،ب ) رسم شده است نمی‌تواند دایره ( ا،ب،ج ) را قطع کند و در نتیجه دلیل در این صورت تمام نمی‌شود. لذا اگر نقطه ( ب ) روی دایره ( ج،د،ه ) باشد برای تمام شدن دلیل باید با قطب قرار دادن نقطه ( ز ) و به بعد ( ز،ب ) دایره ( ب،ط،ک ) را رسم کنیم تا این دو دایرره بتواند دایره ( ج،د،ه ) را قطع کند و استدلال تمام شود.

*شکل ه*

مفروض :

الف: دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( ج،د،ه ) را که در کره ای واقع شده اند و در نقطه ( ج ) با هم تماس دارند را داریم.

ب: نقطه ( ز ) قطب یکی از این دو دایره و نقطه ( ح ) قطب دایره دیگر است.[21]

ج: دایره عظیمه ای که قوس ( ز،ک،ح ) آن رسم شده است از نقطه ( ز ) که قطب دایره است و از نقطه

( ج ) که نقطه تماس دو دایره است عبور کرده است.

مدعا: این دایره عظیمه علاوه بر عبور از نقطه ( ج ) که نقطه تماس است و نقطه ( ز ) که قطب یکی از دو دایره است از نقطه سوم یعنی نقطه ( ح ) که قطب دیگر است نیز می‌گذرد.

بیان مدعا به صورت کلی:

هر گاه دو دایره متماسه در کره ای واقع شوند و دایره عظیمه ای از نقطه تماس آن دو و از دو قطب یکی از آن ها عبور کند این دایره عظیمه از دو قطب دایره دیگر نیز عبور خواهد کرد.

آماده کردن شکل برای استدلال:

علاوه بر دایره عظیمه ( ز،ل،ج،ط ) که بعد از عبور از نقطه تماس و قطب های یکی از دو دایره از قطب های دایره دیگر عبورد نکرده است به کمک شک ۲۱ مقاله اول دایره عظیمه ( ز،ک،ج،ح ) را که از دو قطب دایره مماس یعنی از دو نقطه ( ز ) و ( ح ) می‌گذرد را رسم می‌کنیم.

این دایره عظیمه که از قطب های دایره های مماس عبور کرده است به شکل ۴ مقاله ۲ از نقطه تماس دو دایره یعنی نقطه ( ج‌ ) نیز عبور کرده است.

با این کار دو دایره عظیمه در کره پدید می‌آید که یکی از آنها به ادعای خصم با وجود عبور کردن از نقطه تماس و قطب یکی از دو دایره از قطب دایره دیگر عبور نکرده است. و دیگری که از نقطه تمام و از دو قطب یکی از دایره ها عبور کرده است به ادعای ما از قطب های دایره دیگر نیز عبور کرده است.

اثبات مدعا با توجه به مطالب فوق:

الف: مقدمه

دو دایره (ز،ک،ج،ح ) که ما مدعی آن است و ( ز،ل،ج،ط ) که خصم آن را ادعا می‌کند هر دو عظیمه واقع در یک کره هستند. پس به شکل ۱۲ مقاله ۱[22] همدیگر را نصف می‌کنند. یعنی اگر دو نقطه تقاطعشان را به هم وصل کنیم هر کدامشان به دو قوس مساوی ( دو قوسی که هر کدام نصف دایره خودش است ) تقسم می‌شوند.

بنابراین قوس (ز،ل،ج ) نصف دایره عظیمه ( ز،ل،ج،ح ) و قوس ( ز،ک،ج ) نصف دایره عظیمه ( ز،ک،ج،ط ) می‌باشد. معلوم می‌شود که در هر دو دایره خطی که دو سر نصف قوس را به هم وصل می‌کند قطر آن دایره می‌باشد در نتیجه خط ( ز،ج ) قطر مشترک و به عبارت دیگر قطر هر یک از دو دایره عظیمه می‌باشد.و از آنجا که قطر هر دایره عظیمه ای قطر کره ای که دایره در آن قرار دارد نیز می‌باشد پس خط ( ز،ج ) قطر کره ای که این دو دایره عظیمه در آن قرار دارند نیز می‌باشد.

اما قطر کره خطی است که مرکز کره را از دو طرف به محیط کره وصل می‌کند در حالی که خط ( ز،ج ) قطب دایره عظیمه کره را به محیط کره ( خواجه می‌فرماید: به محیط دایره در کره .. و این همان محیط کره است زیرا محیط دایره عظیمه و محیط کره اش یکی است ) و صل می‌کند. لذا نمی‌شود قطر کره باشد. و اگر قطر کره قرار داده شود خلف فرض که راجع به قطر داریم لازم می‌آید.

ب: بعد بیان این مقدمه دلیل را به صورت یک قیاس استثنائی ( قیاس خلف ) است مطرح می‌کنیم.

مقدم : اگر دایره عظیمه ای که از نقطه تماس دو دایره متماسه و از دو قطب یکی از آن دو دایره عبور کند از دو قطب دایره دیگر عبور نکند.

تالی: به رسم دایره عظیمه دیگر که بتواند از از هر سه نقطه عبور کند لازم می‌آید که خط واصل بین قطب یک دایره و محیط کره قطر کره باشد. ( به بیانی که در مقدمه گفته شد ) به عبارت دیگر لازم می‌اید که فاصله قطب دایره تا محیط آن مساوی با قطر کره باشد

و لکن التالی باطل: زیرا خلف فرض است.

فالمقدم مثله: یعنی دایره عظیمه ای که از نقطه تماس دو دایره متماسه و از دو قطب یکی از آنها عبور کرده است نمی‌تواند از دو قطب دایره دیگر عبور نکند بلکه حتما از دو قطب دایره دیگر نیز عبور خواهد کرد. و هو المطلوب.

نکته: در دو دایره متماسه سه نقطه مطرح کردیم. یکی نقطه تماس این دو دایره و دو تا هم قطب های این دو دایره.

استبانه: از مجموع شکل چهارم و پنجم استفاده می‌شود که دایره عظیمه اگر از دو تا از این سه نقطه عبور کند از نقطه سوم نیز عبور خواهد کرد.

*شکل و*

مفروض ها:

الف: دایره عظیمه ( ا،ب،ج ) و دایره غیر عظیمه ( ج،د ) در کره ای واقع شده اند و با همدیگر در نقطه

( ج ) تماس دارند.

ب: نقطه ( ه ) یکی از دو قطب دایره غیر عظیمه ( ج،د ) است.

مدعا:

اولاً دایره عظیمه ( ا،ب،ج ) که با دایره غیر عظیمه ( ج،د ) مماس است با دایره غیر عظیمه ( ب،ح ) نیز مماس است.

ثالثاً این دو دایره غیر عظیمه متوازی اند.

ثانیاً دو دایره غیر عظیمه مساوی اند.

بیان مدعا به صورت کلی:

هر گاه دایره عظیمه ای در کره ای با دایره غیر عظیمه ای مماس باشد با دایره دیگری که مساوی و موازی آن دایره غیر عظیمه است نیز مماس می‌باشد.

آماده کردن شکل برای استدلال.

الف: به کمک شکل ۲۱ مقاله ۱ دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) را به گونه ای رسم می‌کنیم که از دو نقطه ( ج ) و

( ه ) عبور کند.

ب: از دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) قوس ( ب،ز ) را مساوی قوس ( ج،ه ) جدا می‌کنیم

در ذیل اقول که در صدر مقاله اول ذکر شد این عمل اجازه داده شد.

روش عمل: الف: وتر قوس ( ج،ه ) را رسم می‌کنیم. ب: از نقطه ( ب ) وتری به یک طرف به اندازه وتر

( ج،ه ) رسم می‌کنیم که در اثر این عمل قوس ( ب،ز ) به وجود می‌آید که این قوس به شهات شکل ۲۷ مقاله ۳ اصول [23] مساوی قوس ( ج،ه ) است. ( ب،ز = ج،ه )

ج: با قطب قرار دادن نقطه ( ز ) و به بُعد ( ب،ز ) دایره ( ج،ب ) را رسم می‌کنیم.

اثبات مساوی بودن دو دایره غیر عظیمه:

هنگامی که شکل را آماده استدلال می‌کردیم در مرحله دوم عمل ثابت شده که قوس ( ب،ز ) برابر قوس

( ج،ه ) است. در نتیجه وتر قوس ( ب،ز ) نیز به شهادت شکل ۲۸ مقاله ۳ اصول مساوی وتر قوس ( ج،ه ) است.

همچنین در مرحله سوم آماده کردن شکل ثابت شد که دایره ( ج،د ) به بُعد وتر دایره ( ب،ز ) رسم شده است. در نتیجه نصف قطر دایره ( ج،د ) برابر با نصف قطر دایره ( ب،ز ) است. و می‌دانیم که هر گاه نصف قطر دو دایره با هم مساوی باشند خود آن دو دایره نیز با هم مساوی خواهند بود.

پس دایره ( ج،د = ب،ز ) می‌باشد. و هو المطلوب الثالث.

اثبات مماس بدون دو دایره غیر عظیمه ( ج،د )‌ و (‌ب،ح ) با دایره عظیمه ( ا،ب،ج ).

مرحله اول: طبق فرض دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( ج،د ) متماس می‌باشند. و به عمل دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) از نقطه تماس آن دو دایره متماسه یعنی از نقطه ( ج ) و نیز از قطب یکی از این دو دایره متماسه یعنی از قطب دایره ( ج،د ) که نقطه ( ه ) باشد عبور کرده است لذا به شهادت شکل ۵ مقاله ۲[24] از قطب دایره مماس دیگری که ( ا،ب،ج ) باشد نیز عبور کرده است.

مرحله دوم: برای دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) دو مطلب داریم که إجتماع آن دو مطلب برای شکل ۳ مقاله ۲ موضوع می‌سازد و آن دو مطلب عبارت اند از.

اولاً دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) به توسط دایره عظیمه ( ا،ب،ج ) و غیر عظیمه ( ب،ج )‌ در نقطه ( ب ) قطع شده است. که قطع شدن آن به عمل بود.

ثانیاً عظیمه ( ج،ه،ح ) از قطب های این دو دایره گذشته است.

اما عبور عظیمه از قطب های دایره ( ا،ب،ج ) در مرحله اول ثابت شد. لذا مرحله اول برای همین مطلب بیان شد.

اما مرور دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) از قطب دایره (‌ب،ج ) وقتی شکل را آماده استدلال می‌کردیم در مرحله

( ج ) بیان شد که با قطب قرار دادن نقطه ( ز ) و به بُعد (‌ ز،ب ) دایره ( ب،ج ) را رسم می‌کنیم. در نتیجه نقطه ( ز ) قطب دایره ( ب،ج ) بود.

همچنین بیان شد که از محیط دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) قوس ( ب،ز ) را جدا می‌کنیم . پس نقطه ( ز ) روی محیط دایره ( ج،ه،ح ) قرار دارد.

جمع این دو مطلب ما را به این نتیجه می‌رساند که دایره ( ج،ه،ح ) هم توسط دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( ب،ج ) در نقطه ( ب ) قطع شده است و هم از قطب این دو دایره عبور کرده است. و این مطلب موضوع برای شکل ۳ مقاله ۲ [25] است.

حال که موضوع این شکل بدست آمد حکم کلی این شکل نیز در ما نحن فیه اجزاء می‌شود.

در نتیجه دو دایره (‌ ا،ب،ج ) و ( ب،ج ) متماس می‌باشند و هو المطلوب الاول.

اثبات موازی بودن دو دایره ( ج،د ) و ( ب،ح ):

مرحله اول: قوس ( ه،ز ) از دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) با قوس (‌ ج،ب ) از همین دایره مساوی است به این بیان:

به عمل قوس ( ب،ز ) ‌از دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) مساوی قوس (‌ ج،ه ) از همین دایره است .

حال اگر قوس ( ب،ه ) از همین دایره که مشترک بین قوس ( ز،ه ) و ( ج،ب ) است را به دو قوس ( ز،ه ) و ( ج،ه ) اضافه کنیم ، چون به هر دو قوس مساوی مقدار واحدی اضافه شده است دو مجموع به دست آمده نیز مساوی خواهد بود. پس ( ه،ز = ج،ب )‌است.

مرحله دوم: قوس ( ج،ب ) نصف دایره عظیمه ( ج،ه،ح است زیرا دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) و عظیمه ( ا،ب،ج ) هر دو واقع در یک کره می‌باشند.لذا به شکل ۱۲ مقاله ۱ [26] هر دو در نقطه های که با هم تماس دارند نصف می‌شوند. بنابراین قوس ( ج،ب ) نصف دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) است.

اگر قوس ( ج،ب ) نصف دایره عظیمه است در نتیجه مساوی این قوس یعنی قوس ( ز،ه ) که در مرحله اول تساوی آن با قوس (‌ ج،ب ) اثبات شد نیز نصف دایره عظیمه. از این مطلب استفاده می‌شود که بین دو نقطه ( ه )‌ و ( ز ) به اندازه نصف دایره عظیمه فاصله است.

مرحله سوم: در هر دایره ای بین دو قطب به اندازه نصف دور فاصله است. و در هر دایره ای که در رکه واقع شود بین دو قطب آن که در سطح کره قرار دارند به اندازه نصف دایره عظیمه فاصله است. زیرا اگر ما از این دو قطب دو دایره عظیمه را به کمک شکل ۲۱ مقاله ۱ عبور دهیم این دو دایره عظیمه در این دو نقطه برخورد کرده و به شهادت شکل ‌۱۲ مقاله ۱ [27] همدیگر را نصف می‌کنند. در نتیجه دو بین دو قطب نصفی از هر کدام از این دو دایره واقع شده اند. به عبارت دیگر بین دو قطل دایره به اندازه نصف دور فاصله است.

با توجه به این مطلب می‌گوییم: به فرض نقطه ( ز ) یک قطب دایره ( ج،د ) است و چون بین نقطه ( ه ) و نقطه ( ز ) به اندازه نصف دایره عظیمه فاصله شده است ( که این مطلب در مرحله سوم ثابت شد ) پس نقطه ( ز ) قطب دیگر دایره ( ج،د ) است .

با دلیلی که اقامه شد ثابت می‌شود که نقطه ( ز ) قطب دایره ( ج،د ) است.

اثبات این مدعا از طریق دیگر:

اگر نقطه ( ز ) قطب دایره ( ج،د ) نباشد فرض می‌کنیم که نقطه ( ح ) قطب دایره مذکور است. که در صورت چنین فرضی به محذور برخورد می‌کنیم.

بیان اول محذور: از نقطه ( ه ) که فرض شده قطب دایره ( ج،د ) است به نقطه ( ح‌ ) که به فرض خصم قطب دایره مذکور فرض شد خطی منحنی ( قوسی ) وصل می‌کنیم.

با توجه به اینکه بین دو قطب هر دایره ای نصف دور فاصله است، اگر ( ح ) قطب دیگر دایرهر مذکور باشد باید قوس (‌ه،ح ) نصف دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) باشد.

در حالی که قبلا ثابت شد قوس ( ه،ز ) نصف این دایره عظیمه است در نتیجه نصف بودن ( ه،ح ) باعث می‌شود که هم (‌ ه،ز ) که جزء است نصف باشد و هم (‌ه،ح )‌که کل است نصف باشد و این به معنای تساوی جزء و کل است که باطل است.

بیان دوم محذور: از نقطه ( ه ) به نقطه ( ح ) خط مستقیمی ( نه منحنی و قوسی ) وصل می‌کنیم . این خط چون بین دو قطب دایره ( ج،د‌ ) وصل شده است قهرا از مرکز دایره ( ج،ه،ح ) می‌گذرد و قطر این دایره عظیمه می‌باشد . با توجه به اینکه قطر دایره را نصف می‌کند دلالت می‌کند بر اینکه قوس ( ه،ح ) نصف دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) است . در حالی که ثابت شد قوس ( ه،ز ) نصف است.

در نتیجه اگر قوس ( ‌ه،ح ) هم نصف باش لازم می‌آید قوس ( ه،ح ) که کل است با ( ‌ه،ز ) که جزء است مساوی باشد و این تساوی کل و جزء است که باطل است.

نکته: با این توضیح های که داده شد مشخَّص می‌شود که با در دست داشتن یک قطب دایره قطب دیگر آن را به رسم یک نیم دایره می‌توان پیدا کرد.

راه دیگر برای یافتن قطب دوم یک دایره: بین قطبی که در دست است و مرکز کره ای که دایره در آن قرار دارد خطی وصل می‌کنیم. این خط هم بر سطح دایره عظیمه ای که هم از قطب معلوم و هم از مرکز کره عبور کرده است مماس می‌باشد.

این خط را اگر ادامه دهیم به قطب دیگر دایره که در پی به دست آوردن آن هستیم ( که روی محیط آن دایره عظیمه قرار دارد ) خواهد گذشت.

دلیل: اگر به ادامه این خط به قطب دیگر دایره مفروض نرسیم لازم می‌آید که خطی که مماس بر سطح دایره دانسته شد قسمتی از آن روی سطح دایره و قسمت دیگر آن در سمک دایره واقع شود و این خلف فرض مماس بودنش است.

مرحله چهارم: تا این جا دو قطب دایره ـ ج،د ) مشخَّص شد ( یکی به فرض و دیگری با بیانی که مطرح شد)

حال می‌خواهیم دو قطب دایره ( ب،ح ) را معیّن کنیم. یک قطب آن که نقطه ( ز ) است را در عمل معیَّن کردیم لذا باید قطب دیگر آن را بیابیم.

در عمل با قطب قرار دادن نقطه ( ز ) دایره ( ب،ح ) را رسم کردیم. پس نقطه ( ز ) یکی از دو قطب این دایره می‌باشد. زیرا بین نقطه ( ز ) و نقطه ( ه ) نصف دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) فاصله شده است. قبلا بیان شد که قوس ( ه،ز ) نصف دایره ( ج،ه،ح ) است پس بین نقطه ( ز ) و نقطه ( ه ) نصف دایره عظیمه فاصله شده است. پس نقطه ( ه ) قطب دیگر دایره ( ب،ح ) است

اثبات قطب بودن نقطه ( ه ) از راه دیگر: اگر نقطه ( ه )‌قطب دایره مذکور نباشد فرض می‌کنیم نقطه ( ح )‌قطب دیگر است. سپس نقطه (‌ز ) را به نقطه ( ح ) وصل می‌کنیم. اگر نققطه ( ح ) قطب دیگر باشد باید

( ز،ح ) نصف دایره عظیمه ( ج،ه،ح ) باشد در حالی که ثابت شد ( ز،ه ) نصف آن دایره است .پس اگر ( ح ) قطب دیگر باشد خلف فرض لازم می‌آید. بنابراین ( ح ) قطب دیگر نیست بلکه قطب دیگر همان نقطه ( ه ) است.

مرحله پنجم: در سوم بیان شد که دو نقطه ( ز ) و ( ه ) دو قطب دایره ( ج،د ) می‌باشند. و در مرحله چهارم بیان شد که دو نقطه ( ز ) و ( ه ) دو قطب دایره ( ب،ح ) می‌باشند. پس قطب های این دو دایره مشترک است.

بنابراین به شکل ۲ مقاله ۲[28] خود این دو دایره یعنی ( ج،د ) و ( ب،ح ) متوازی می‌باشند. و هو المطلوب الثانی.

خلاصه: از آنچه گذشت معلوم شد که دایره عظیمه ( ا،ب،ج ) که با دایره ( ج،د ) مماس بود با دایره ( ب،ح ) که مساوی و موازی دایره ( ج،د ) است نیز مماس می‌باشد. پس دایره عظیمه ای که در کره ای با دایره ای مماس شود با دایر دیگر که مساوی و موازی آن است نیز مماس است و هو المطلوب.

*شکل ز*

مفروض ها:

فرض اول: دایره ( ا،ه ) عظیمه ای است که درون کره واقع شده است.

فرض دوم: دو دایره ( ا،ب ) و ( ج،د ) مساوی و موازی هستند.

فرض سوم: دایره عظیمه ( ا،ه ) با یکی از دو دایره فوق مثلا با دایره ( ا،ب ) در نقطه ( ا ) مماس است.

مدعا: دایره عظیمه (‌ ا،ه ) که در فرض ما با دایره ( ا،ب ) در نقطه (‌ ا ) مماس است با دایره دیگر که مساوی و موازی (‌ ا،ب ) است { یعنی با دایره ( ج،د )} نیز مماس است.

بیان مدعا به صورت کلی: هر گاه دو دایره مساوی و موازی در کره ای واقع شوند و دایره عظیمه آن کره با یکی از آن دو مماس باشد با دیگری نیز مماس خواهد بود.

آماده کرده شکل برای استدلال:

اگر دایره ( ج،د ) که مساوی و موازی با دایره ( ا،ب )‌ است با دایره ( ا،ه ) مماس نباشد آن را به همان صورت غیر مماس رها می‌کنیم و از آنجا که به کمک شکل ۶ مقاله ۲ می‌توانیم دایره مساوی و موازی با دایره

(‌ ا،ب ) را که مماس با عظیمه ( ا،ه ) باشد را داشته باشیم ، لذا دایره ( ز،ه ) را که مساوی و موازی با دایره

( ا،ب ) است را در حالی که با دایره عظیمه ( ا،ه ) رسم می‌کنیم. با این کار علاوه دایره عظیمه ( ا،ه ) که درسطح کره است سه دایره مساوی و موازی با هم به نام های ( ا،ب ) ، ( ج،د ) و ( ز،ه ) که دو دایره با

(‌ ا،ز ) مماس و یکی غیر مماس است در داخل کره واقع شده اند.

مقدمه استدلال: چون قیاس به صورت استثنائی است باید مقدمه ای بیان کنیم که در آن ملازمه بین مقدم و تالی قیاس معلوم شود لذا می‌گوییم: فرض این است که هر یک از دو دایره ( ج،د ) و ( ز،ه ) با دایره ( ا،ب ) موازی اند. اما این فرض موازی بودن در خود دو دایره ( ج،د ) و ( ز،ه ) نیست لذا ممکن است این دو دایره موازی باشند و ممکن است موازی نباشند.

حال اگر خطی از مرکز کُره بر مرکز دایره ( ه،ز ) وارد کنیم، این خط به شکل ۷ مقاله ۱ بر سطح دایره

( ه،ز ) عمود است. اگر این خط را امتداد دادیم و دیدیم که از مرکز دایره ( ج،د ) گذشت می‌فهمیم که دایره

( ج،د ) و ( ه،ز ) نیز متوازی اند. اما اگر این خط از مرکز دایره ( ج،د ) عبور نکرد بلکه بر سطح آن فرود آمد می‌فهیم که این دو دایره متوازی نیستند.

اما اگر این دو دایره متوازی باشند به شکل ۱ مقاله ۲ [29] قطب های آنها مشترک است. به این صورت که یک قطب آنها نقطه ای است که به عنوان مثال در بالای دایره ( ا،ب ) و قطب دیگر آنها نقطه ای است که زیر خود این دو دایره واقع شده است.

اما اگر متوازی نباشند اختلاف در قطب خواهند داشت به این صورت که یک قطب آنها بالای دایره (‌ ا،ب ) است زیرا فرض شد هر دو دایره با ( ا،ب ) موازی اند لذا از این جهت قطب آنها با قطب (‌ ا،ب )‌ یکی است اما قطب دیگر آنها متفاوت است زیرا خود این دو دایره متوازی نیستند.

از آنچه گفته شد به دست آمد که راجع به دو دایره ( ج،د ) و ( ه،ز ) دو فرض وجود دارد.

یکی متوازی نبودن آن دو و در نتیجه قطب های مختلف داشتن و دیگری متوازی بودن و در نتیجه قطب مشتر داشتن. در فرض اول ( متوازی نبودن و قطب مختلف داشتن ) لازم می‌آید که در سطح کره سه قطب وجود داشته باشد. یکی قطبی که مشترک بین سه دایره است و دیگری قطبی که مختص به دایره ( ج،د ) و قطب دو او محسوب می‌شود. و سوم قطبی که برای دایره ( ه،ز ) است و قطب دیگر او می‌باشد.

در حالی که وجود سه قطب در کُره محذور دارد. در نتیجه فرض متوازی نبودن دو دایره و در نتیجه قطب مختلف داشتن باطل است.

بیان محذور: دو دایره ( ج،د ) ‌و ( ه،ز ) چون به فرض موازی نیستند پس قطب مخصوص یکی از آنها قطب دایره دیگر نیست . در نتیجه هر یک از آنها دو قطب دارند. یکی قطبی که مشترک بین هر سه دایره است و دیگری قطبی که مخصوص هر یک از آنها می‌باشد.

اما هر یک از دو دایره ( ج،د ) و ( ه،ز ) به فرض با دایره ( ا،ب ) موازی می‌باشند. پس به شکل ۱ مقاله ۲ قطب های آنها با قطب دایره ( ا،ب ) مشترک است. به این بیان که دایره ( ‌ا،ب ) یک قطب دارد که مشترک بین خودش و آن دو است و قطب دومی دارد که مشترک بین خودش و دایره ( ج،د ) است و قطب سوم دارد که مشترک بین خوش و دایره ( ه،ز ) است. در نتیجه فرض متوازی نبودن دو دایره (‌ ج،د ) و ( ه،ز ) که مستلزم قطب جدا داشتن این دو است با توجه به موازی بودن هر یک از این دو دایره با دایره ( ا،ب ) بعث می‌شود که دایره ( ا،ب ) سه قط داشته باشد. در حالی که دایره نمی‌تواند سه قط داشته باشد. بنابراین فرض موازی نبودن این دو دایره با هم باطل است. برخلاف فرض موازی بودن این دو دایره با هم که در این صورت لازم نمی‌آید دایره ( ا،ب ) سه قطب داشته باشد و محذور پیش آید. بلکه در این فرض به دلیل موازی بودن هر سه دایره با هم به مقتضای شکل ۱ مقاله ۲ در سطح کره دو قطب وجود خواهد داشت که هر کدام از آن دو مشترک بین هر سه دایره خواهد بود. اما در فرض موازی بودن هر سه دایره محذور دیگری پیش می‌آید که این محذور سبب می‌شود که این فرض نیز باطل باشد.

بیان محذور: در ذهن خود چنین تصصور می‌کنیم که دایره عظیمه (‌ ا،ه ) از قطب بالائی کره شروع شده است و بعد از عبور از قطب پائینی کره دو باره به قطب بالائی کُره رسیده است.

همچنین تصور می‌کنیم که در این کره سه دایره داریم: یکی دایره (‌ ا،ب ) که با قسمت بالائی این دایره عظیمه تماس دارد. دوم دایره ( ‌ه،ز ) که با قسمت پائینی دایره عظمیه تمام دارد. سوم دایره ( ج،د ) که بین دو دایره مذکور است و به فرض خصم با دایره عظیمه تماس ندارد.

فرض این است که سه دایره ( ا،ب ) ۷ ( ه،ز ) و ( ‌ج،د ) علاوه بر موازی بودن و در نتیجه قطب های مشترک داشتن با هم مساوی نیز می‌باشند. و می‌دانیم که مساوی بودن دو دایره در کره به شهادت شکل ۶ مقاله ۱ [30] به این است که فاصله آنها تا مرکز کره ای که در آن واقع شده اند مساوی باشد. در نتیجه باید فاصله هر یک از این سه دایره تا مرکز کره به اندازه فاصله دو دایره دیگر تا مرکز باشد. بنابراین باید فرض کنیم که دایره

( ج،د ) در کره دقیقا همان جای است که دایره (‌ ه،ز ) قرار دارد. زیرا در این صورت است که تساوی این دو دایره تحقق پیدا می‌کند. و معلوم خواهد بود که در این صورت خطی که از یکی از قطب ها ( یا قطب پایین یا قطب بالا فرق ندارد ) بر محیط دایره (‌ ج،د ) وارد می‌شود مساوی خطی است که از همان قطب بر محیط دایره (‌ ه،ز ) وارد می‌شود . زیرا فرض شد که فاصله این دو دایره تا مرکز برابر است. در نتیجه جایگاه آنها در کره و فاصله هر یک از آنها تا قطب مذکور یکی خواهد بود. در حالی که فرض خصم این بود که در کره علاوه بر دایره عظیمه (‌ ا،ه ) سه دایره نه دو دایره.

در نتیجه چنین نیست که دایره ( ج،د ) و ( ه،ز ) بر هم منطبق باشند بلکه از هم فاصله دارند. یعنی دایره

( ه،ز ) به قطب مذکور نزدیکتر از دایره ( ج،د ) است لذا خطی که از قطب مذکور بر محیط دایره (‌ ه،ز ) وارد می‌شود کوتاهتر از خطی است که از همان قطب بر محیط دایره ( ج،د ) وارد می‌شود.

حال اگر ما دو خط وارد شده بر محیط دایره ( ه،ز ) و خط وارد بر محیط دایره ( ج،د ) را خطی که از قطب شروع می‌کند و به محیط دایره ( ه،ز ) می‌رسد و از محیط دایره ( ه،ز ) می‌گزرد و به محیط دایره ( ج،د ) ختم می‌شود قرارد دهیم می‌گوییم: از قطب تا محیط دایره ( ‌ه،ز ) جزء است و از قطب تا محیط دایره

( ج،د ) کل است. و می‌دانیم که جزء کوچکتر از کل است . پس باید قسمتی از این خط واحد که از قطب تا محیط دایره (‌ ه،ز )‌ است کوتاهتر از کلی باشد که از قطب تا محیط دایره ( ج،د ) است. در حالی که برای توجیه تساوی دو دایره ( ه،ز ) و ( ج،د ) گفتیم که باید جایگاه آن دو یکی باشد. دی نتیجه باید فاصله آنها تا قطب مذکور یکی باشد ( خط واصل بین قطب و محیط هر یک از آنها مساوی خط واصل بین قطب و محیط دیگری باشد ) و این به معنی تساوی کل و جرء است که أمری باطل است.

بنابراین در فرض دو که تساوی و توازی بودن هر سه دایره نیز محذور لازم آمد البته نه محذور سه قطبی شدن یک دایره بلکه محذر تساوی جزء و کل.

توجه: از فرض فاصله داشتن دو دایره ( ه،ز ) و ‌( ج،د ) و منطبق نبودن آن دو بر هم لازم آمد که خط واصل بین قطب و محیط دایره ( ه،ز ) جزء و خط واصل بین قطب و محیط دایره ( ج،د ) کل باشد. و ار فرض تساوی دو دایره لازم آمد که این دو خط مساوی باشند در حالی که مساوی بودن جزء و کل باطل است.

إن قلت: این محذور تساوی جزء و کل اختصاص به ما نحن فیه ندارد بلکه در هر سه دایره ای که دو تا در طرف و یکی در وسط واقع شده باشد ( هر سه دایره ای که قطب مشترک داشته باشند ) نیز جاری است.

قلت: در بحث ما تساوی دو دایره به این است که فاصله آنها تا مرکز کره ای که در آن واقع شده اند یکی باشد لذا محذور مذکور لازم می‌آید و نتیجه می‌دهد که در یک کره وجود سه دایره مساوی و موازی ممکن نیست. اما در دایره های موازی و مشترک الاقطاب که در کره واقع هستند چون تساوی آنها شرط نشده است لذا محذور فوق لازم نمی‌اید. پس محذور در جای است که دایره های موازی مساوی باشند که در این صورت بیش از دو دایره در یک کره مساوی و موازی نخواهند بود اما اگر تساوی شرط نباشد بی نهایت دایره موازی می‌شود در یک کره فرض کرد.

خلاصه این مرحله اول این شده که هم فرض اول ( متازی نبودن سه دایره مذکور ) محذور دارد هم فرض دوم ( متوازی بودن آنها ) محذر دارد . لذا نتیجه می‌گیریم در یک کره بیش از دو دایره که مساوی و موازی باشند نخواهیم داشت.

اثبات مدعا:

اگر دایره عظیمه ( ا،ه ) که با دایره (‌ا،ب ) مماس است با دایره ( ‌ج،د ) که مساوی و موازی دایره ( ا،ب ) است مماس نباشد به شهادت شکل ۶ مقاله ۲ با دایره ( ه،ز ) که ( به فرض خصم ) مساوی و موازی دایره ( ا،ب ) است مماس خواهد بود. و در این صورت لازم می‌آید که در کره سه دایره ای که مساوی و موازی هم هستند که دو دایره از آنها مماس و یکی غیر مماس با عظیمه است وجود داشته باشد. ولکن در این صورت یکی از دو محذور لازم می‌آید.

زیرا دو دایره (‌ ج،د ) و (‌ ه،ز ) که هر دو با دایره (‌ا،ب )‌ موازی هستند یا با هم موازی نیستند که در این صورت لازم می‌آید دایره ( ا،ب ) سه قطب داشته باشد.

اگر این دو دایره با هم موازی اند که در این صورت لازم می‌آید جزء و کل مساوی باشند.

و چون هر دو لازم مذکور محال است، ‌درنتیجه وجود سه دایره موازی و مساوی در یک کره محال است.

نتیجه: اگر در کره ای دو دایره مساوی و موازی واقع شود که یکی از آنها با عظیمه واقع در آن کره مماس باشد دیگری نیز با آن عظیمه مماس است. بنابراین در مثالی که بیان شد چون دایره عظیمه ( ا،ه ) با دایره

( ا،ب )‌ مماس است با دایره ( ‌ج،د ) که مساوی و موازی ( ‌ا،ب ) مماس است و هو المطلوب.

*شکل ح*

مفروض ها:

فرض اول: دایره (‌ ا،ب،ج ) عظیمه ای است که درون کره ای و دایره ( د،ب ) نیز دایره دیگری است که درون همان کره واقع شده است.

توجه: دایره عظیمه (‌ ا،ب،ج ) بر دایره (‌ د،ب ) عمود نیست تا به مقتضای شکل ۱۴ مقاله ۱ از دو قطب دایره (‌ د،ب ) عبور کرده باشد. بلکه نسبت به آن مایل است و لذا از دو قطب آن نمی‌گذرد.

فرض دوم: نقطه ( ه ) قطب دایره (‌ د،ب ) قطبی که بیان شد دایره ( ا،ب،ج ) از آن نمی‌گذرد.

مدعا: دایره (‌ ا،ب،ج ) با دو دایره ای که موازی دایره (‌ د،ب ) هستند { یعنی قطب های آنها با قطب دایره

( د،ب )‌ مشترک است } مماس می‌شوند.

توجه: دو دایره ای که موازی با دایره ( د،ب ) هستند و دایره عظیمه ( ا،ب،ج ) با آنها مماس می‌شود عبارت اند از: دایره های (‌ ا،ز ) و ( ج،ح )

بیان مدعا به صورت کلی: هر گاه دایره عظیمه کُره ای نسبت به دایره دیگر موجود در آن کره مایل باشد ( چه آن دایره دیگر عظیمه باشد چه نباشد ) آن دایره عظیمه با دو دایره ای که با هم مساوی هستند و با آن دایره دیگر موازی می‌باشند مماس می‌شود.

آماده کردن شکل برای استدلال:

عمل اول: دایره عظیمه ( ا،ج،ح ) را به گونه ای رسم می‌کنیم که

اولاً از نقطه ( ه ) که قطب دایره ( د،ب ) است ، ثانیاً از دو قطب دایره عظیمه ( ا،ب،ج ) بگزرد.

دایره عظیمه ( ا،ج،ح ) را به شکل ۲۱ مقاله ۱ از نقطه ( ه ) و یکی از دو قطب دایره عظیمه ( ا،ب،ج ) عبور می‌دهیم. این دایره به مقتضای شکل ۵ مقاله ۲ [31] به قطب دیگر دایره عظیمه ( ا،ب،ج ) نیز عبور خواهد کرد.

عمل دوم: با قطب قرار دادن نقطه ( ه ) و به بُعد ( ا،ه ) دایره ( ا،ز ) را رسم می‌کنیم.

توجه: از آنجا که نقطه ( ه ) قطب دایره ( ب،د ) نیز بود لذا دایره (‌ ا،ز ) با دایره ( ب،د ) اشتراک در قطب پیدا می‌کند و قهرا این دو دایره با هم موازی خواند بود.

عمل سوم: دایره ( ج،ح ) را که مساوی و موازی با دایره ( ا،ز ) نیز رسم می‌کنیم.

اثبات مدعا در ضمن چهار مرحله:

مرحله اول: دو دایره (‌ ا،ب،ج ) و (‌ ا،ز ) به عمل دایره عظیمه ( ا،ج،ح ) را در نقطه ( ا ) قطع کرده اند. همچنین دایره ( ا،ج،ح ) به عمل از قطب های آن دو عبور کرده است. در نتیجه به شکل ۳ مقاله ۲ [32] دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( ا،ز ) با هم مماس می‌باشند.

مرحله دوم: در این مرحله به بیان مماس بودن دایره ( ج،ح ) با دایره ( ا،ب،ج ) می‌پردازیم.

بیان شد که دایره عظیمه ( ا،ب،ج ) با دایره ( ا،ز ) مماس است در نتیجه به شکل ۶ مقاله ۲ [33] دایره عظیمه

( ا،ب،ج ) با دایره ( ج،ح ) که مساوی و موازی با دایره ( ا،ز ) است نیز مماس می‌باشد.

مرحله سوم: در مرحله اول و دوم ثایت شده که دایره عظیمه ( ا،ب،ج ) با دو دایره ( ا،ز ) و ( ج،ح ) که موازی دایره ( ا،ب ) می‌باشند مماس است.

حال می‌گوییم: بیان شد که دایره (‌ا،ز ) با دایره ( ب،د ) موازی است. و در فرض داشتیم که دایره ( ج،ح ) با دایره ( ا،ز ) موازی است. در نتیجه به استبانه شکل ۱ و ۲ مقاله ۲ [34] دایره (‌ ج،ح ) با دایره ( ب،د ) موازی است.

مرحله چهارم: در مرحله اول و دوم ثابت شد که دایره عظیمه (‌ ا،ب،ج ) که نسبت به دایره (‌ ب،د ) مایل است با دو دایره (‌ ا،ز ) و ( ج،ح ) مماس است.

در مرحله سوم ثابت شد که دو دایره ( ا،ز )‌ و ( ج،ح ) با دایره (‌ ب،د ) موازی اند. از جمع این سه مرحله به دست می‌آید که دایره عظیمه ( ا،ب،ج ) که نسبت به دایره ( ب،د ) مایل است با دو دایره ( ‌ا،ز ) و ( ج،ح ) که اولاً مساوی هم و ثانیاً موازی با دایره ( ب،د ) هستند مماس می‌باشد. و هو المطلوب.

*شکل ط*

مفروض ها:

مفروض اول: دو دایره ( ا،ب ) و (‌ ج،د ) ـ که ممکن است هر دو عظیمه یا هر دو صغیره یا یکی عظیمه و یکی صغیره باشد ـ در دو نقطه ( ه ) و ( ز ) متقاطع اند.

مفروض دوم: دایره (‌ ا،ج،ب،د ) عظیمه واقع در همان کره است که از قطب های دو دایره متقاطع ( ا،ب ) و

( ج،د )‌گذشته است. بنابراین به شکل ۱۶ مقاله ا بر هر یک از این دو دایره عمود است.

مفروض سوم: با توجه به شکل ۳ مقاله ۱۱ اصول [35] خط (‌ ا،ب ) فصل مشترک بین و دو دایره ( ا،ب ) و

( ا،ج،ب،د ) است. به عبارت دیگر این خط فصل مشترک بین دایره عظیمه و یکی از دو دایره متقاطع است.

خط ( ج،د ) نیز فصل مشترک بین دو دایره (‌ ج،د ) و ( ا،ج،ث،د ) است. به عبارت دیگر فصل مشترک بین دو دایره عظیمه و یکی دیگر از دو دایره متقاطع است.

این دو فصل مشترک چون در یک سطح ( سطح دایره عظیمه و یا به عبارت دقیق تر سطحی که متعلَّق است به دایره عظیمه و یکی از دو دایره متقاطعه ) واقع اند همدیگر را در نقطه ای که ما اسم آن را ( ح ) گذاشته ایم قطع کرده اند.

خط ( ا،ب ) علاوه بر اینکه فصل مشترک دو دایره ( ا،ب ) و ( ا،ج،ب،د ) است قطر دایره ( ا،ب ) نیز می‌باشد. زیرا این دایره در اثر قطع شده به وسیله دایره عظیمه ، به شهادت شکل ۱۶ مقاله ۱ نصف شده است. در نتیجه خط ( ا،ب ) که در موضع تقاطع دو دایره قرار گرفت است نصف دایره ( ا،ب ) را در یک طرف خود و نصف دیگر دایره را در طرف دیگرش واقع ساخته است . و چنین خطی قطر نیست.

همچنین خط ( ج،د ) علاوه بر اینکه فصل مشترک دو دایره ( ج،د )‌ و ( ا،ب،ج،د ) است ـ به همان بیانی که برای قطر بودن خط ( ا،ب ) گفته شد ـ قطر دایره ( ج،د ) نیز می‌باشد.

مدعا:

دایره ( ا،ب،ج،د ) با عبور از قطب های دو دایره ( ا،ب ) و ( ج،د ) هر کدام از چهار قطعه ای که { ( ز،ا،ه ) ،

( ز،ب،ه ) ، ( ز،ج،ه ) و ( ز،د،ه ) } از تقاطع این دو دایره به وجود آمده اند نصف می‌کند.

بیان مدعا به صورت کلی: هر گاه دایره عظیمه کره ای از قطب های دو دایره متقاطع که در همان کره واقع اند عبور کند هر یک از چهار قطعه ای که از تقاطع آن دو دایره پدید آمده است را نصف می‌کند.

آماده کردن شکل برای استدلال:

دو نقطه ( ه ) و ( ز ) دو نقطه تقاطع دو دایره ( ا،ب ) و ( ج،د ) بودند. نقطه ( ح ) نیز نقطه تقاطع دو قطر و به عبارت دیگر نقطه تقاطع دو خط (‌ ا،ب ) و ( ج،د ) است.

اکنون ما این سه نقطه را به هم وصل می‌کنیم. به این صورت که نقطه ( ز ) را به نقطه ( ح ) و نقطه ( ه ) را به نقطه ( ح ) وصل می‌کنیم. چون هر سه نقطه در یک سطح واقع شده اند از وصل کردن آنها خط واحدی به نام خط ( ز،ه،ح ) به دست می‌آید. این خط واحد که در سطح هر دو دایره متقاطع وجود دارد به شهادت شکل ۳ مقاله ۱۱ اصول فصل مشترک این دو دایره می‌باشد. به عبارت دیگر سه نقطه (‌ ه ) و ( ز ) و ( ح ) که در سطح هر یک از دو دایره ( ا،ب ) و ( ج،د ) واقع شده اند روی فصل مشترک [36] این دو دایره قرار دارند که با وصل کردن آنها خط مستقیم [37] ( ز،ه،ح ) به وجود می‌آید.

اثبات مدعا در ضمن هفت مرحله:

مرحله اول: دایره عظیمه ( ا،ج،ب،د ) به فرض اولاً هر یک از دو دایره ( ا،ب ) و ( ج،د ) را قطع کرده است ثانیاً از قطب های هر یک از آن دو گذشته است . در نتیجه به شکل ۱۶ مقاله ۱ [38] هر یک از آن دو در حالی که بر آنها عمود است نصف کرده است. لذا دایره عظیمه در اثر گذشتن از قطب های این دو دایره چهار قطعه به وجود آورده است.[39]

مرحله دوم: در مرحله اول ثابت شده که دایره عظیمه (‌ ا،ب،ج،د ) بر هر یک از دو دایره متقطعه ( ا،ب ) و

( ج،د ) عمود است در نتیجه سطح هر یک از این دو نیز بر سطح عظیمه عمود خواهند بود. بنابراین به شکل ۱۹ مقاله ۱۱[40] فصل مشترک این دو دایره که خط ( ز،ه،ح ) است نیز بر سطح آن دایره عظیمه عمود است.

مرحله سوم: در دومین صدر مقاله ۱۱ اصول گفته شد: خطی که بر سطحی عمود است بر همه خط های که مماس با آن سطح هستند و با آن خط عمود برخورد می‌کند نیز عمود است. بنابراین فصل دو دایره

( ا،ب ) و ( ج،د ) که خط ( ز،ه،ح ) است و بر سطح دایره عظمیه ( ا،ب،ج،د ) عمود است بر دو خط ( ا،ب ) و ( ج،د ) که در سطح دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) واقع شده اند و هر دو با خط ( ز،ه،ح ) برخورد کرده اند نیز عمود است. و قهرا هر یک از دو خط ( ا،ب ) و ( ج،د ) نیز بر این خط عمود می‌باشند.

مرحله چهارم: خط (‌ا،ب ) که فصل مشترک دو دایره (‌ ا،ب ) و (‌ ا،ب،ج،د ) است قطر دایره (‌ ا،ب ) می‌باشد [41] همچنین خط (‌ ج،د ) که فصل مشترک دو دایره ( ج،د ) و ( ا،ج،ب،د ) است قطر دایره ( ج،د ) می‌باشد. همچنین خط ( ز،ه ) وتر مشترک دو دایره ( ا،ب ) و ( ج،د ) می‌باشد. بنابراین به جای این جمله ( هر یک از دو خط ( ا،ب ) و ( ج،د ) بر خط ( ز،ه،ح ) عمود اند ) می‌توانیم بگوییم: هر یک از دو قطر دو دایره

( ا،ب ) و ( ج،د ) بر وتر مشترک آن دو عمود اند. این جمله را به مدعای دوم شکل ۳ مقاله ۳ [42] اصول ضمیمه می‌کنیم و نتیجه می‌گیریم که هر یک از دو قطر ( ا،ب ) و ( ج،د ) وتر ( ز،ه،ح ) را نصف کرده اند. به عبارت دیگر دو خط ( ز،ح ) و ( ه،ح ) مساوی اند.

مرحله پنجم: وقتی ثابت شد دو خط ( ز،ح ) و ( ه،ح ) مساوی اند اولاً چهار خط ( ز،ا )‌ ، ( ا،ه ) ، ( ز،ب ) و ( ب، ه ) را در دایره ( ا،ب ) و چهار خط ( ز،ح )‌ ، ( ج،ه ) ، ( ز،د )‌ و ( د،ه ) را در دایره ( ج،د )‌وصل می‌کنیم تا چهار مثلث (‌ ز،ح،ا ) ، ( ح،ه،ا )‌ ، ( ز،ح،ب ) و ( ح،ه، ب ) در دایره ( ا،ب ) و چهار مثلث (‌ ز،ح،ج ) ، ( ح،ه،ج ) ، ( ز،ح،د ) و ( ح،ه،د ) در دایره ( ج،د ) پدید‌ آمده اند. ثانیاً

یک بار به دو مثلث ( ز،ح،ا ) و ( ح،ه،ا ) توجه می‌کنیم و می‌گوییم: ضلع ( ز،ح ) از مثلث اول و ضلع (‌ ه،ح ) از مثلث دوم با هم مساوی اند و ضلع (‌ ح،ا ) در هر د مثلث مشترک است و زاویه ( ز،ح،ا ) در مثلث اول و زاویه ( ه،ح،ا ) در مثلث دوم هر دو قائمه اند. زیرا در مرحله سوم گفتیم هر یک از دو خط ( ا،ب ) و ( ج،د ) بر خط ( ز،ح،ه ) عمود اند بنابراین مساوی می‌باشند لذا دو مثلث مذکور از باب تساوی دو ضلع و زاویه بین یعنی به شکل ۴ مقاله ۱ اصول برابراند [43] نتیجه می‌گیریم که ضلع ( ز،ا، ) از مثلث اول و ضلع ( ا،ه ) از مثلث دوم با هم برابراند.

بار دوم به دو مثلث ( ز،ح،ب ) و ( ح،ه،ب ) توجه می‌کنیم و می‌گوییم: ضلع ( ز،ح ) از مثلث اول و ضلع

( ه،ح ) از مثلث دوم مساوی اند و ضلع ( ح،ب ) مشترک بین هر دو است و زاویه ( ز،ح،ب ) از مثلث اول و زاویه ( ه،ح،ب ) از مثلث دوم هر دو به دلیل عمود بودن ( ا،ب ) بر ( ز،ح،ه ) قائمه و مساوی اند. در نتیجه دو مثلث مذکور از باب تساوی دو ضلع و زاویه بین برابراند. لذا نتیجه می‌گیریم که ضلع ( ‌ز،ب ) از مثلث اول و ضلع ( ‌ه،ب ) از مثلث دوم با هم برابر اند.

بار سوم به دو مثلث ( ز،ح،ج ) و ( ح،ه،ج ) توجه می‌کنیم و می‌گوییم: ضلع ( ز،ح ) از مثلث اول و ضلع

(‌ه،ح ) از مثلث دوم مساوی اند و ضلع ( ح،ج ) مشترک بین هر دو مثلث است و زاویه ( ز،ح،ج ) از مثلث اول و زاویه ( ه،ح،ج ) از مثلث دوم هر دو به دلیل عمود بودن ( ‌ج،د ) بر ( ز،ح،ه ) قائمه و مساوی اند. در نتیجه دو مثلث مذکور از باب تساوی دو ضلع و زاویه بین برابراند. همچنین نتیجه می‌گیریم که ضلع ( ز،ج ) از مثلث اول و ( ج،ه ) از مثلث دوم با هم برابراند.

بار چهارم به دو مثلث ( ‌ز،ح،د ) و ( ح،ه،د ) توجه می‌کنیم و می‌گوییم: ضلع ( ‌ز،ح ) از مثلث اول با ضلع

( ه،ح ) از مثلث دوم با هم مساوی اند و ضلع ( ح،د ) مشترک بین هر دو مثلث است و زاویه ( ز،ح،د ) از مثلث اول با زاویه ( ه،ح،د ) از مثلث دوم هر دو به دلیل عمود بودن ( ج،د ) بر ( ز،ح،د ) قائمه و مساوی اند. در نتیجه دو مثلث مذکور از باب تساوی دو ضلع و زاویه بین مساوی می‌باشند. و همچنین نتیجه می‌گیریم که ضله ( ‌ز،د ) از مثلث اول و ضلع ( ده ) از مثلث دوم برابراند.

مرحله ششم: ملاحظه شد که در هشت مثلث مذکور مثلث ها را دو به دو مورد توجه قرار دادیم و نتیجه گرفتیم که دو خط ( ز،ا )‌ و (‌ ا،ه ) با هم و دو خط ( ز،ب ) و (‌ ه،ب ) با هم و دو خط ( ز،ج ) و ( ج،ه ) با هم و دو خط ( ز،د ) و (‌د،ه ) با هم مساوی اند.

حال می‌گوییم: این خطوط علاوه بر اینکه اضلاع مثلث می‌باشند وتر های دایره نیز هستند. لذا می‌گوییم:

در قطعه ( ز،ا،ه ) که یکی از دو قطعه دایره (‌ ا،ب ) است وترهای ( ز،ا ) و ( ا،ه ) با هم برابراند.

و در قطعه ( ‌ز،ب،ه ) که قطعه دیگر دایره ( ا،ب ) است وترهای ( ز،ب ) و ( ب،ه ) با هم برابراند.

و در قطعه ( ز،ج،ه ) که یکی از دو قطعه دایره ( ج،د ) است وترهای ( ز،ج ) و ( ج،ه ) با هم برابراند.

و در قطعه ( ز،د،ه ) که قطعه دیگر دایره ( ج،د ) است وترهای (‌ ز،د ) و (‌ د،ه ) با هم برابراند.

مرحله هفتم: با توجه به شکل ۲۷ مقاله ۳ [44] اصول وقتی وترهائی از یک دایره یا وترهای دایره های مساوی با هم مساوی باشند قوس های آن وتر های نیز مساوی خواهند بود. در نتیجه آنچه را در مرحله قبل نوشتیم به این صورت می‌توانیم بنویسیم: در قطعه ( ز،ا،ه ) که یکی از دو قطعه دایره ( ا،ب ) است قوس ( ز،ا ) و

( ا،ه ) برابراند. پس در اثر مرور دایره عظیمه ( ا،ج،ب،د ) از قطب های دو دایره متقاطعه (‌ ا،ب ) و ( ب،ج ) و به عبارت دیگر دز اثر قیام دایره عظیمه مذکور بر دو دایره متقاطعه مذکور قطعه نام برده شده به دو قسم مساوی تقسیم شده است. و در قطعه ( ز،ب،ه ) که قطعه دیگر دایره ( ا،ب ) است قوس ( ز،ب ) و قوس

( ه،ب ) با هم برابراند. پس در اثر مرور دایره عظیمه این قطعه نیز نصف شده است. و در قطعه ( ز،ج،ه ) که یکی از دو قطعه دایره ( ج،د ) است قوس ( ز،ج ) و ( ج،ه ) برابراند. پس در اثر مرور دایره عظیمه این قطعه نیز نصف شده است. و در قطعه ( ز،ده ) که قطعه دیگر دایره ( ج،د )‌است قوس ( ‌ز،د ) و ( د،ه ) با هم برابراند. پس با مرور دایره عظیمه این قطعه نیز نصف شده است.

از جمع این مطالب به دست می‌آید که هر کدام از چهار قطعه این دو دایره متقاطع با مرور دایره عظیمه بر قطب های این دو نصف می‌شوند. و هو المطلوب.

*شکل ی*

مفروض ها:

مفروض اول: دو دایره ( ا،ب،ج،د ) ، ( ه،ز،ح،ط ) متوازی و درون کُره واقع شده اند. به عبارت دیگر این دو دایره در قطبهای خود مشترک می‌باشند.

اما ما از میان این دو قطب مشترک فقط یکی از قطب ها را نام گزاری کرده ایم زیرا هر حکمی که در این قطب اجراء کنیم در قطب دیگر نیز عیناً جاری می‌شود. قطب معیَّن شده (ک) است.

نکته ۱: در این دو دایره متوازیه

اولاً شرط عظیمه یا صغیره بودن نداریم لذا ممکن است هر دو دایره صغیر باشند یا یکی صغیره و یکی عظیمه باشد [45] .

ثانیاً شرط مساوات نداریم لذا ممکن است هر دو مساوی باشند یا با هم اختلاف داشته باشند.[46]

نکته ۲: دو دایره رسم شده در کتاب مساوی می‌باشند اما از آنجای که شکل کتاب مسطح است ما ناچار شدیم که دایره (ه،ز،ح،ط‌) را به گونه ای رسم کنیم که منطبق بر دایره (ا،ب،ج،د) نباشد لذا آن را پشت سر دایره (ا،ب،ج،د) رسم کردیم به همین دلیل دایره (ه،ز،ح،ط) کوچکتر به نظر می‌رسد و گویا در درون دایره بزرگتر است.

مفروض ثانی: دو دایره ( ا،ک،ج ) و ( ب،ک،د) عظیمه های همان کُره می‌باشند که از قطب مشترک آن دو دائره متوازیه ( نقطه ک ) عبور کرده اند. به عبارت دیگر این دو عظیمه بر آن دو دایره متوازیه عمود شده و از قطب مشترک آن دو گذشته اند.

مفروض ثالث: از آنجا که دو دایره عظیمه دو دایره متوازی را قطع کرده اند. اولاً با‌ آنها فصل مشترک های پیدا کرده اند. [47] ثانیاً به دلیل عمود بودن این دو عظیمه بر آن دو دایره متوازیه قهرا این دو عظیمه آن دو متوازیه را نصف کرده اند. [48] یعنی فصل مشترکی که با هر کدام از دو دایره متوازیه دارند درست در وسط آن دو عبور کرده است و این فصل مشترک در واقع قطر های دو دائره متوازیه است.

مفروض رابع: نقطه ( ل ) مرکز دائره متوازیه ( ا،ب،ج،د‌ ) و نقطه ( م ) مرکز دائره متوازیه ( ه،ز،ح،ط ) می‌باشند. [49]

مفروض خامس: همانگونه که در شکل مشاهده می‌شود هم قوس های از دو متوازیه بین دو عظیمه واقع شده است و هم قوس های از دو عظیمه بین دو متوازیه قرا گرفته است.

اما قسمت های از دو محیط دو متوازیه که بین دوعظیمه‌( بین سر قطری با قطر دیگر ) واقع شده است عبارت اند از: قوس های (ب،ج) و (ز،ح) و همچنین ( د،ج) و (ح،ط) و ایضا قوس های ( د،ا ) و ( ط،ه ) و قوس های ( ا،ب ) و (ز،ه)

اما قوس های که از دو عظیمه که بین دو محیط دائره های متوازی واقع شده اند عبارت اند از: قوس های (ه، ا‌ ) و (ز،ب) و (ح،ج) و ( ط،د).

با توجه به این مفروض های که بیان شد ما در این شکل دو ادعا داریم.

مدعای اول: قوس های از دو دایره متوازیه که بین عظیمه ها واقع شده اند متشابه می‌باشند [50]

مدعای دوم: قوس های از دو عظیمه که بین دو متوازیه واقع شده اند متساوی اند.

بیان شکل به صورت کلی: هر گاه دایره های عظیمه از کُره ای به دو قطب دایره های متوازیه ای که درون همان کُره قرار دارند عبور کنند قوس های از دایره های متوازیه بین دو عظیمه و قوس های از دو عظیمه بین دو متوازیه واقع می‌شوند. ادعای ما این است که قوس های اول متشابه و قوس های دوم مساوی اند.

قبل از اثبات دو مدعا به صورت کلی می‌گوییم.

طبق فرض های دوم و سوم هر یک از دو عظمه ( ا،ک،ج ) و ( ا،ک،د )

اولاً هر یک از دو متوازیه را قطع کرده اند. ثانیاً بر قطب های مشترک آن دو متوازیه عبور کرده اند. لذا به شکل ۱۶ مقاله ۱ این دو دائره عظیمه دو متوازیه را نصف می‌کنند لذا فصل مشترک های دو عظیمه با دو متوازیه دقیقا در وسط دائره های متوازیه قرار دارد. در نتیجه چهار خط (ا،ج) و (ب،د) و (ه،ح) و (ز،ط) قطرهای این دو متوازیه هستند که این خط ها از برخورد این دو عظیمه با این دو متوازیه به وجود آمده اند.

و از آنجا که محل برخورد قطرهای یک دایره در مرکز آن دایره است پس نقطه ( ل‌ ) که محل برخورد دو قطر ( ا،ج) و (ب،د) است مرکز متوازیه (ا،ب،ج،د) است و نقطه ( م ) که محل برخورد دو قطر (ه،ح) و (ز،ط) است مرکز متوازیه (ه،ز،ح،ط) است.

اثبات ادعای اول:

الف: سطح دایره عظیمه (ا،ک،ج) با قطع کردن دو متوازیه (ا،ب،ج،د) و (ه،ز،ح،ط) فصل مشترکی با‌ هر یک از آنها پیدا کرده است که یکی خط (ا،ج) و دیگری خط (ه،ح) است. لذا به شکل ۱۶ مقاله ۱ این دو فصل مشترک (ا،ج * ه،ح ) متوازی می‌باشند.

همچنین عظیمه (ا،ک،د) با قطع کردن دو متوازیه (ا،ب،ج،د) و (ه،ز،ح،ط) فصل مشترکی با‌ هز یک ازآنها پیدا کرده است که یکی خط (ب،د)‌و دیگری خط (ز،ط ) است. لا به شکل ۱۶ مقاله ۱ این دو فصل مشترک (ب،د * ز،ط ) نیز متوازی می‌باشند.

ب: چون خط ( ا،ج ) و خط ( ه ،ح ) با هم موازی اند پس جزئی از هر یک از آنها نیز با هم موازی هستند[51] بنابراین دو خط ( ل،ج ) و ( م،ح ) با هم و دو خط ( ل، ا ) و ( م، ه ) با هم موازی اند. و همچنین دو خط ( ب، د ) و ( ز، ط ) با هم موازی هستند.

در نتیجه جزئی از این دو خط نیز با هم موازی هستند. بنابراین دو خط (ب ، ل‌ ) و ( ز، م ) با هم و دو خط ( ل ، د ) و ( م، ط ) با هم موازی اند.

ج: با توجه به آنچه در قسمت (ب) گفته شد دو زاویه (زم ح ) و (ب ل ج) دو زاویه ای هستند که ضلع هایشان نظی به نظیر با هم موازی اند [52] و این دو زوایه در یک سطح واقع نیستند [53] پس به شکل ۱۰ مقاله ۱۱ اصول [54] با هم مساوی هستند.

و همچنین عین همین مطلب را در زوایه های ( ز،م،ح) و (ب،ل،ا) و دو زاویه ( ط،م،ح) و (د،ل،ج) و زاویه های (ط،م،ه) و (د،ل،ا) جاری می‌کنیم.

د: زاویه های مذکور را همانگونه که دو تا دوتا ذکر کردیم دو به دو ملاحظه می‌کنیم و می‌بینیم که یکی بر مرکز دائره (ا،ب،ج،د) واقع شده است و دهانه آن رو به قوسی از همین دائره است .

و دیگری بر مرکز دائره (ه،ز،ح،ط) واقع شده و دهانه آن رو به قوسی از همین دائره است لذا می‌گوییم این دو زاویه به بیانی که در قسمت (ج) بیان کردیم با هم مساوی اند .

در نتیجه با توجه به تعریفی که در صدر مقاله ۳ اصول [55] برای قطع متشابهه آمد دو قوس مقابل آنها متشابه هستند.

با این بیان مدعای اول ثابت می‌شود.

پس می‌گوییم: اگر دائره های عظیمه ای از دو قطب دائره های متوازی که درون کره ای قرار گرفته اند عبور کنند قوس های که از دائره های متوازیه که بین دو عظیمه واقع شده است متشابه اند. و هو المطلوب.

اثبات ادعای دوم:

الف: قوس های ( ک،ه) و (ک،ز ) و ( ک،ح ) و ( ک،ط ) قوس های هستند که از قطب دائره ( ه،ز،ح،ط ) یعنی (ک) به محیط آن دائره وصل شده اند.

و در تعریفی که در ( الحدود ) در صدر مقاله اول برای قطب بیان شده گفتیم : خطوطی که از قطب دایره ای به محیط آن وصل می‌شوند همگی برابر اند.

در نتیجه قوس های مذکور با هم برابر اند.

ب: قوس های (ک،ا) و (ک،ب) و (ک،ج) و (ک،د) قوس های هستند که از قطب دایره (ا،ب،ج،د) یعنی از نقطه ( ک ) به محیط دائره وصل شده اند. در نتیجه این خطوط نیز با توجه به تعریفی که برای قطب دائره داشتیم با هم برابر اند.

ج:‌ همانگونه که ملاحظه می‌شود قوس های که در قسمت (الف) ذکر شده اند همگی جزء و قوس های که در قسمت (ب) ذکر شده اند همگی کل می‌باشند. و اگر هر جزئی را از کل خودش کم کنیم باقی مانده ما قوس های (ه،ا) و ( ز،ب) و (ح،ج) و (ط،د) خواهند بود .

و می‌دانیم که در فرض تساوی مفروق منه ها و مفروق ها اگر مفروق ها از مفروق منه ها کم شوند باقی مانده ها نیز مساوی خواهد بود. پی با توجه به مطالب گفته شده در بند (الف) و ( ب) روشن می‌شود که باقی مانده ها که در بند (ج) نام برده شد با هم مساوی اند.

و این باقی مانده ها قوس های دائره های عظیمه ای هستند که بین دائره های متوازیه واقع شده اند . وهو المطلوب.

لذا می‌گوییم: هر گاه دائره های عظیمه ای بر قطب دو دائره متوازی در یک کره عبود کنند قوس های آن دو عظیمه که بین دو متوازیه واقع شده اند با هم مساوی هستند و هو المطلوب.

*شکل یب*

مفروض:

الف: دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( د،ه،ز‌ ) که قطر اولی خط ( ا،ح ) و مرکز آن نقطه ( م ) و قطر دومی خط

( د،ز ‌) و مرکز آن نقطه ( ن ) است ، مساوی می‌باشند.

ب: قوس های ( ا،ح،ج ) و ( د،ط،ز )مساوی هم هستند. قوس اول بر قطر دایره ( ا،ب،ج) و قوس دوم بر قطر دایره( د،ه،ز‌ ) عمود شده است.

از عمود شدن این دو قوس مساوی بر دو قطر مساوی دو قطعه مساوی ( ا،ح،ج ) و ( د،ط،ز ) تشکیل شده است.

ج: از یک طرف قوس [56] ( ا،ح،ج ) قوس ( ا،ح ) را که کمتر از نصف قوس است جدا می‌کنیم. و از یک طرف قوس ( د،ط،ز ) قوس ( د،ط) را که کمتر از نصف قوس و به اندازه قوس جدا شده اولی است را جدا می‌کنیم (قوس ا،ح = د،ط )

د: از نقطه ( ح ) که نقطه فصل قوس در دایره ( ا،ب،ج ) است خط ( ح،ب‌ ) را بر محیط این دایره وصل می‌کنیم تا قوس ( ا،ب )[57] روی محیط این دايره به وجود آید.

ه: از نقطه ( ط ) که نقطه فصل قوس در دایره ( د،ه،ز ) است خط ( ط،ه ) را بر محیط این دائره وصل می‌کنیم تا قوس ( د،ه ) روی محیط این دائره پدید آید.

و: دو خط ( ح،ب ) و ( ط،ه) که از نقطه فصل این دو قوس به محیط آن دو دایره منتهی شده اند بنابر فرض مساوی هستند. با توجه به این مفروضات می‌گوییم.

مدعا: قوس ( د،ه ) که روی محیط دایره ( د،ه،ز ) و قوس ( ا،ب ) که روی محیط دایره ( ا،ب،ج ) قرار دارند

مساوی می‌باشند.

بیان مدعا به صورت کلی:

هر گاه بر قطر های دایره های مساوی قطعه های مساوی را عمود کنیم و از یک طرف این قطعه های مساوی قوس های که مقدار آنها کمتر از نصف قطعه باشند جدا کنیم و به دنبال این دو کار از نقطه های که روی این قوس ها جدا شده اند خط های مساوی به محیط این دو دایره وصل کنیم در فاصله بین طرف قطر ها و و نقطه های از محیط دو دایره که محل فرود آن دو خط مساوی است قوس های تشکیل می‌شود. ادعای ما این است که این قوس ها مساوی اند.

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: از نقطه ( ح ) عمود ( ح،ک ) را بر سطح دایره ( ا،ب،ج ) و از نقطه ( ط ) عمود ( ط،ل ) را بر سطح دایره ( د،ه،ز ) وارد می‌کنیم.

به جهت اینکه طبق فرض دو قطعه ( ا،ح،ج ) و ( د،ط،ز ) بر دو دایره ( ا،ب،ج ) و (د،ه،ز ) و به عبارت بهتر بر روی دو قطر ( ا،ج ) و ( د،ز) عمود بودند این دو عمود ( ح،ک ) و ( ط،ل ) نیز بر این دو قطر عمود می‌باشند.

ب: در مفروض ها بیان شده که مرکز این دو دایره نقطه های ( م ) و ( ن ) است. اما اگر مرکز این دو دایره برای ما مشخص نباشد به کمک شکل۱ مقاله سوم اصول آنها را بدست می‌آوریم.

ج: در دایره ( ا،ب،ج ) از پای عمود ( ح،ک ) یعنی نقط ( ک ) خطی به نقطه ( ب ) صل می‌کنیم تا خط

( ک،ب ) و در نتیجه مثلث ( ب،ح،ک‌ ) پدید آید.

همچنین در دایره ( د،ه،ز ) از پای عمود ( ط،ل ) یعنی از نقطه ( ل‌ ) خطی به نقطه ( ه ) وصل می‌کنیم تا خط ( ل،ه ) و در نتیجه مثلث ( ه،ط،ل ) بدست آید.

د: در دایره ( ا،ب،ج ) از مرکز یعنی از نقطه ( م ) خطی به نقطه ( ب ) وصل می‌کنیم تا خط ( ب،م ) و در نتیجه مثلث ( ب،ک،م ) بدست آید.

همچنین در دایره ( د،ه،ز ) از مرکز یعنی از نقطه ( ن ) خطی به نقطه ( ه ) وصل می‌کنیم تا خط ( ن،ه ) و در نتیجه مثلث ( ،ل،ن،ه ) پدید آید.

اثبات مدعا با توجه به مطالب فوق:

الف: ابتدا باید ثابت کنیم که دو عمود ( ح،ک ) و ( ط،ل ) با هم مساوی اند. این مطلب را از سه راه می‌توان اثبات کرد.

راه اول: ما در فرض بحث گفتیم دو قطعه ( ا،ح،ج ) و ( د،ط،ز ) با هم برابر می‌باشند. همچنین دو قطر

( ا،ج )‌ و ( د،ز ) نیز مساوی اند. و ایضا به عمل دو قوس جدا شده ( ا،ح ) و ( د،ط ) نیز مساوی می‌باشند.

راه دوم: دو دایره ( ا،ب،ج ) و ( د،ه،ز ) را بر هم منطبق می‌کنیم تا دو قطر آن دو نیز بر هم منطبق شود ( فرض این بود که این دو دایره مساوی هم می‌باشند) و از آنجا که دو قطعه نیز به فرض مساوی بودند قهرا بر هم منطبق می‌شوند و دو نقطه فصل هم به عمل با هم مساوی بودند لذا بر هم منطبق می‌شوند لذا باید دو عمود نیز بر هم منطبق شوند که در این صورت مدعای ما ثابت است .

اما اگر این دو عمود بر هم منطبق نشوند قهرا یک جلو تر و دیگری عقب تر خواهد بود و در نتیجه. اگر فرض کنیم عمود ( ح،ک ) قبل از عمود ( ط،ل ) قرار بگیرد ( به عبارت دیگر نقطه (ک ) قبل نقطه ( ل ) باشد ) با توجه به عمود بودن هر دو خط لازم می‌آید مثلث ( ط،ک،ل ) یا ( ح،ل،ک ) تشکیل شود در حالی که دو زاویه از سه زاویه هر یک از آنها قائمه است در حالی که این محال است . در نتیجه باید دو عمود با هم مساوی و بر هم منطبق شوند.

راه سوم: درقطعه ( ا،ح،ج ) نقطه ( ح ) را به نقطه های ( ا ) و ( ج ) وصل می‌کنیم تا مثلث ( ا،ح،ج ) بدست آید. همچنین در قطعه ( د،ط،ز ) نقطه ( ط ) را به نقطه های ( د ) و ( ز ) وصل می‌کنیم تا مثلث (د،ط،ز ) بدست آید. این دو مثلث به شکل ۸ مقاله اول اصول [58] با هم مساوی اند[59] و در نتیجه زاویه های آنها نیز نظیر به نظیر مساوی خواهند بود.

در نتیجه دو زاویه ( ح،ا،ج) در مثلث اولی با زاویه ( ط،د،ب ) مساوی خواهند بود.

حال اگر از نقطه ( ح ) در مثلث ( ا،ح،ج ) عمود (ح،ک ) را بر ضلع ( ا،ج ) فرود آوریم مثلث ( ا،ح،ک ) بدست می‌آید.

همچنین اگر از نقطه ( ط ) در مثلث ( د،ط،ز ) عمود ( ط،ل ) را بر ضلع (د،ز ) فرود آوریم مثلث ( د،ط،ل ) بدست می‌آید.

این دو مثلث به مفاد شکل ۲۶ مقاله یک اصول[60] با هم مساوی اند. زیرا زاویه های ( ح،ا،ج ) و (‌ ط،دب ) با هم مساوی هستند و تساوی آنها در تساوی دو مثلث بزرگ بدست آمد.

از طرفی دو زاویه ( ا،ک،ح) و ( د،ل، ط) در این دو مثلث قائمه اند. همچنین دو ضلع ( ا،ح ) و ( د،ط ) نیز با هم برابر اند به بیانی که در دو مثلث بزرگ گذشت. در نتیجه این دو مثلث کوچک به دلیل تساوی دو زاویه و یک ضلع شان با هم برابر اند.

ب: بعد از تساوی دو مثلث کوچک نتیجه می‌گیریم که دو ضلع (‌ ا،ک ) و ( د،ل ) از این دو مثلث نیز که نظیر هم هستند با هم مساوی خواهند بود. همچنین دو زاویه ( ح،ک ) و ( ط،ل ) نیز با هم برابراند.

ج: در دو مثلث ( ب،ح،ک ) که در دایره اول است و ( ه،ط،ل ) که در دایره دوم است ضلع های ( ح،ک ) و

( ط،ل ) با هم مساوی اند به بیانی که در شماره قبل مطرح شد.

همچنین ضلع ( ح،ب ) از اولی با ضلع ( ط،ه ) از دومی که هر دو وتر زاویه قائمه هستند.

وقتی دو ضلع از مثلث قائم الزاویه ای با دو ضلع نظیرش از مثلث قائم الزاویه دیگر با هم برابر باشند به کمک رابطه مستفاد از شکل عروس زاویه ضلع سوم آنها نیز برابر خواهند بود.

مفاد شکل عروس: مربع ضلع دیگر زاویه قائمه + مربع یک ضلع زاویه قائمه = مربع وتر

و چون وتر ها در این دو مثلث برابر بودند ( ح،ب = ط،ه ) و از طرفی ( ح،ک = ط،ل‌ )‌ بود در نتیجه مربع دو ضلع ( ک،ب ) و ( ل،ه ) نیز مساوی خواهند بود و لذا خود این دو ضلع نیز مساوی خواهند بود.

د: خط ( ا،م ) ‌در دایره اولی و ( د،ن ) در دایره دومی چون هر دو نصف قطر در دایره های مساوی هستند با هم برابر اند .

از طرفی در قسمت ( ب ) ثابت کردیم که دو ضلع ( ا،ک ‌) و (‌د،ل ) نیز با هم مساوی اند.

حال اگر از دو مقدار مساوی ( ا،م * د،ن )‌ دو مقدار مساوی ( ا،ک * د،ل) را کن کنیم باقی مانده ها نیز مساوی خواهند بود . در نتیجه دو ضلع ( ک،م ) و ( ل،ن ) با هم مساوی اند. به عبارت دیگر اگر از دو مفروغ منه مساوی دو مفروق مساوی را کم کنیم باقی مانده ها به شهادت علم متعارفی که در صدر مقاله اول اصول بیان شد [61] با هم مساوی اند.

ه: به دو مثلث ( ب،ک،م ) در دایره اول و ( ه،ل،ن ) در دایره دوم نگاه می‌کنیم و می‌بینیم که اضلاع این دو مثلث نظیر به نظیر برابراند. [62] پس به شکل ۸ مقاله ۱ اصول حکم می‌کنیم که این دو مثلث نیز با هم برابر و در نتیجه دو زاویه نظیر آنها یعنی ( ب،م،ک ) از اولی با ( ه،ن،ل ) از دومی برابر اند.

و: زاویه ( ب،م،ک ) در دایره اول زاویه مرکزی و مقابل قوس ( ا،ب ) است.

همچنین زاویه ( ه،ن،ل ) زاویه مرکزی و مقابل قوس ( د،ه ) است .

این دو زاویه همانگونه که در شماره ۵ ثابت شد با هم مساوی اند. در نتیجه به شکل ۲۵ مقاله ۳ اصول[63] دو قوس مقابل آنها یعنی دو قوس ( ا،ب )‌و ( د،ه ) با هم برابر اند و هو المطلوب..

نکته: در شکل های ترسیم شده چون قطعه ها بزرگتر از نصف دایره نیستند دو عمود مذکور روی قطر های دو دایره فرود می‌آیند اما اگر قطعه ها بزرگتر از نصف دایره باشند قهرا هم بر خود قطر ها و هم بر امتداد قطرها عمود می‌شوند و در این صورت ممکن است نقطه فصل از قوس به گونه ای انتخاب شود که عمود بر خود قطر ها وارد نشود بلکه بر امتداد قطرها وارد شود . مثل اینکه عمود ها بر نقطه ( ا ) یا نقطه ( د ) وار شوند و گاهی ممکن است دو عمود خارج از دو دایره واقع شوند. لذا این شکل اختلاف وقوع دارد که در همگی این فرض ها آنچه برای ما مهم است زاویه مرکزی است که داخل است حال مثلث به هر صورت باشد (‌چه داخل چه خارج ) اشکالی پیش نمی‌آورد.

*شکل یب*

مفروض:

الف: دو دایره ( ا،ب،ج )‌ و (‌د،ه،ز )‌که قطر اولی خط ( ا،ج ) و مرکز آن نقطه ( م )‌ و قطر دومی خط ( د،ز )‌ و مرکز آن نقطه ( ن ) است به فرض دو دایره مساوی می‌باشند.

ب: دو قطعه ( ا،ح،ج ) و ( د،ط،ز ) که مساوی هم اند بر دو قطر این دو دایره عمود شده اند. (‌اولی بر قطر دایره ( ا،ب،ج‌ ) و دومی بر قطر دایره ( د،ه،ز )

ج: در دایره (‌ا،ب،ج ) از یک طرف قطر (‌ یا از طرف ابتدا یا از طرف انتهای آن ) مقداری از قوس قطعه را به دلخواه انتخاب می‌کنیم. ( مثلا از نقطه ( ا ) که یک سر قطر است تا نقطه ( ح ) را جدا می‌کنیم )

همچنین در دایره (‌د،ه،ز ) از یک طرف قطر ( یا از طرف ابتدا یا اط انتهای آن ) مقداری از قوس قطعه را که به اندازه قوس جدا شده از قطعه عمود شده بر دایره اول است جدا می‌کنیم.( مثلا از نقطه ( د ) تا نقطه

( ط) جدا می‌کنیم. [64]

د: در قطعه ( ا،ح،ج ) قوس ( ‌ا،ح ) را به نحوی جدا کردیم که که نقطه شروع آن از طرف قطر یعنی نقطه

(‌ ا ) و انتهای آن نقطه ( ح ) که روی قوس است باشد.

همچنین در قطعه (‌د،ط،ز ) نقطه ( ط ) را با در دست داشتن خط ( ا،ح ) و نقطه (‌ د ) به کمک شکل ۲ مقاله اول اصول بدست آوردیم لذا خط ( د،ط ) برابر خط ( ا،ح ) است و این دو خط مساوی وتر دو قوس مذکور می‌باشند لذا قوس های آنها نیز مساوی اند. [65] در نتیجه قوس ( ا،ح ) مساوی ( د،ط ) است.

ه: از نقطه فصل دایره ( ‌ا،ب،ج ) یعنی از نقطه ( ب ) به نقطه فصل قوس عمود شده بر این دایره یعنی نقطه ( ح ) خطی را وصل می‌کنیم تا خط ( ح،ب ) بدست آید.

همچنین از نقطه فصل دایره ( د،ه،ز ) یعنی از نقطه ( ه ) به نقطه فصل قوس عمود شده بر این دایره یعنی نقطه ( ط ) خطی وصل می‌کنیم تا خط ( ه،ط ) بدست آید. [66] طبق فرض دو قوس ( ا،ب ) و ( د،ه ) مساوی اند

با توجه به این مفروض ها ادعای ما این است:

همانگونه که دو قوس ( ا،ب ) و ( د،ه ) مساوی اند دو خط ( ح،ب ) و ( ط،ه ) نیز مساوی اند.

بیان مدعا به صورت کلی:‌

هر گاه بر قطر های دایر های مساوی قطعه های مساوی عمود کنیم سپس از ابتدا یا انتهای قطر ها قوس های مساوی که کمتر از نصف قوس هستند جدا کنیم از قطع ها جدا کنیم و نقطه فصل هر دو قطعه را به نقطه فصل هر دو دایره وصل کنیم . خط های که این نقطه های فصل قوس ها را به نقطه های فصل دایره ها به هم وصل می‌کند مساوی اند.

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: ابتدا دو عمود ( ح،ک ) و ( ط،ل ) را در دو دایره ( ا،ب،ج ) و (‌ د،ه،ز ) رسم می‌کنیم. این دو عمود به یکی از سه راهی که در شکل ۱۱ همین مقاله بیان شد با هم برابر می‌باشند.

ب: در دایره ( ‌ا،ب،ج ) از نقطه ( ک ) که پای عمود است و از نقطه ( م ) که مرکز دایره است به نقطه ( ب) که روی محیط دایره قرار دارد وصل می‌کنیم تا دو مثلث ( ب،ح،ک ) و (ب،ک،م ) پدید آید.

همچنین در دایره ( ‌د،ه،ز ) از نقطه ( ل ) که پای عمود است و از نقطه ( ن ) که مرکر دایره است به نقطه

( ه ) که روی محیط دایره قرار دارد وصل می‌کنیم تا دو مثلث ( ه،ط،ل ) و ( ه،ل،ن ) به وجود آید.

اثبات مدعا در ضمن چند سه مرحله:

الف: فرض این بود که دو قوس ( ا،ب ) و ( د،ه )‌ در دو دایره مذکور برابر می‌باشند. در نتیجه به شکل ۲۶ مقاله ۳ اصول[67] دو زاویه مرکزی که مقابل این دو قوس قرار دارند برابر هستند.

زاویه ( ا،م، ب ) = زاویه ( د،ن،ه )

ب: در دو مثلث ( ب،م،ک ) و ( ه،ن،ل ) ضلع ( م،ک ) از اولی با ضلع نظیزش یعنی ( ن،ل ) از دومی مساوی اند. ضلع ( م،ک ) = ضلع ( ن،ل )

علت تساوی این دو ضلع:

خط ( ا،م ) و ( ‌د،ن ) نصف قطر های دو دایره مساوی می‌باشند . از طرفی دو خط ( ا،ک ) و ( د،ل ) به دلیل تساوی دو قطعه و تساوی دو قطر و تساوی دو عمود مساوی می‌باشند. در نتیجه اگر دو خط ( ا،ک ) و (‌د،ل) را از دو خط ( ا،م ) و ( د،ن ) کم کنیم دو خط (‌ م،ک ) و ( ن،ل ) باقی می‌ماند که با هم برابر خواهند بود. به عبارت دیگر اگر از دو مفروق منه مساوی دو مفروغ مساوی را کم کنیم باقی مانده ها نیز مساوی خواهد بود.

همچنین ضلع ( ب،م ) از مثلث اول و ضلع نظیر آن یعنی ( ه،ن ) از مثلث دوم با هم برابر می‌باشند . زیرا این دو نصف قطر برای دایره های مساوی اند.

و نیز زاویه ( ا،م،ب ) از اولی با زاویه نظیر آن از دومی یعنی ( د،ن،ه ) مساوی هستند به بیانی که در شماره ۱ استدلال گذشت.

در نتیجه این دو مثلث به شکل ۴ مقاله اول [68] اصول با هم برابر می‌باشند.

از تساوی دو مثلث نتیجه گرفته می‌شود که دو خط ( ک،ب ) در دایره اول و ( ل،ه ) در دایره دوم با هم مساوی اند. خط (ک،ب ) = خط ( ل،ه )

ج: در دو مثلث ( ح،ک،ب ) در دایره اول و ( ط،ل،ه ) در دایره دوم ضلع های ( ک،ب ) و ( ل،ه ) که نظیر هم هستند به بیانی که در مرحله قبل بیان شد مساوی اند.

همچنین ضلع ( ح،ک ) از دایره اولیبا ضلع نظیرش یعنی ( ط،ل ) از دایره دومی به بیانی که در مرحل اول از مراحلی که شکل را آماده استدلال کردیم قائمه و برابر هستند.

ایضا زاویه ( ح،ک،ب ) از دایره اولی با زاویه ( ط،ل،ه ) که نظیر هم هستند قائمه و در نتیجه مساوی اند. زیرا ( ح،ک ) و ( ط،ل ) عمود اند. لذا دو مثلث مذکور به سبب تساوی دو ضلع و زاویه بین به شکل ۴ مقاله ۱ اصول با هم مساوی اند.

از تساوی این دو مثلث نتیجه گرفته می‌شود که دو خط ( ح،ب ) در دایره اول و ( ط،ه ) از دایره دوم با هم مساوی هستند. و هو المطلوب.

نکته: برای اثبات تساوی دو خط مورد نظر از رابطه شکل عروس نیز می‌توان استفاده کرد البته برای استفاده از شکل عروس باید راهی که خواجه برای اثبات تساوی دو مثلث اولی رفته است ما هم طی کنیم . اما در دو مثلث دیگر می‌گوییم: دو ضلع مجاور زاویه قائمه از مثلث قائم الزاویه ( ح،ک،ب ) با دو ضلع مجاور زاویه قائمه از مثلث قائم الزاویه ( ط،ل،ه ) به بیانی که در شماره ۳ گفته شد با هم برابر هستند.

در نتیجه با استفاده از شکل عروس که می‌گفت:

مربع ضلع دیگر زاویه قائمه + مربع یک ضلع زاویه قائمه = مربع وتر

وتر های این دو مثلث یعنی دو خط ( ح،ب ) و ( ط،ه ) نیز برابر هستند. و هو المطلوب.

نکته: در شکل ۱۱ همین مقاله ثابت شد در دور دایره مورد بحث با مفروض های بیان شده دو قوس مقابل دو زاویه مرکزی برابر می‌باشند. و در شکل ۱۲ با توجه به مفروض های که بیان شد ثابت کردیم که دو خطی که مقابل دو قوس مساوی هستند با هم مساوی اند. باید توجه داشت از مطالب بر داشت شده از این دو شکل در شکل هشتم اُمَر ما نالاوس استفاده می‌شود.

*شکل یج*

این شکل عملی است یعنی باید عملی را که از ما خواسته شده است را انجام دهیم و اثبات کنیم عمل انجام شده صحیح بوده است.

مفروض:

الف: دایره ( ا،ب ) غیر عظیمه ای است که درون کره واقع شده است و قطر آن نقطه ( ج ) است.

ب: در این دایره غیر عظیمه نقطه ( ب ) را در هر کجای محیط که خواستیم تعیین می‌کنیم.

با توجه به این فرض خواسته ما این است: می‌خواهیم در درون آن کُره که دایره غیر عظیمه ( ا،ب ) در آن واقع شده است دایره ای رسم کنیم که.

اولاً عظیمه باشد.

ثانیاً با دایر غیر عظیمه (‌ا،ب ) در نقطه ( ب) که روی آن تعیین شده است مماس باشد.

روش عمل کردن برای رسیدن به این مطلوب:

الف: به کمک شکل ۲۱ مقاله اول دایره عظیمه ( ج،ب،د ) را به گونه ای رسم می‌کنیم که از دو نقطه ( ج ) که قطب دایره غیر عظیمه است و نقطه ( ب ) که ما آن را روی محیط غیر عظیمه تعیین کردیم بگزرد.

واضح است که این دایره عظیمه ( ج،ب،د ) چون از دو نقطه ( ج ) و ( ب ) می‌گزرد قسمتی از محیط اش را قوس ( ج،ب ) تشکیل می‌دهد.

( اگر دایره ( ا،ب ) ‌عظیمه بود با برخورد کردن با عظیمه ( ج،ب،د ) به شهادت شکل ۱۲ مقاله ۱ نصف می‌شد و فاصله بین قطب آن (‌نقطه ج ) و محیط آن ( نقطه ب ) یعنی قوس (‌ ج،ب ) ربع دایره عظیمه

( ج،ب،د ) می‌بود. اما از آنجا که این دایره غیر عظیمه است با برخورد با دایره عظیمه ( ج،ب،د ) فاصله قطب آن تا نقطه ای از محیط اش که ما آن را تعین کرده ایم کمتر از ربع دایره عظیمه ( ج،ب،د ) است. لذا می‌فهمیم که قوس

( ج،ب ) که قسمتی از محیط دایره عظیمه ( ج،ب،د ) را تشکیل می‌دهد کمتر از ربع دایره عظیمه ( ج،ب،د ) است .

إن قلت: کمتر از ربع دایره عظیمه بودن قوس ( ج،ب ) را چرا خواجه مطرح کرد.

قلت: چون یکی از اعمالی که در انجام این روش باید تحقق پیدا کند جدا کردن ربع دایره عظیمه (‌ج،ب،د ) است . لذا خواجه با گفتن این مطلب می‌خواهد بفهماند آن قوسی که ما باید جدا کنیم و به اندازه ربع قوس عظیمه باید باشد قوس (‌ ج،ب ) نیست

ب: روی محیط دایره عظیمه ( ج،ب،د ) قوس ( ب،د ) را که ربع این دایره عظیمه است را بدست می‌آوریم. برای این کار از شکل ۱۸ مقاله اول کمک می‌گیریم[69]

ج:‌ با قطب قرار دادن نقطه ( د ) و به بُعد ( ب،د ) دایره ( ز،ب ) را رسم می‌کنیم. که این دایره هم عظیمه است هم در نقطه ( ب ) با دایره غیر عظیمه (‌ا،ب‌ ) مماس شده است. و هو المطلوب

اثبات صحت عمل انجام شده:

اثبات عظیمه بودن دایره (‌ز،ب )

این دایره اولاً در کُره است ثانیاً فاصله قطب آن یعنی نقطه ( د ) تا محیط آن یعنی نقطه ( ب ) به اندازه ربع دیره عظیمه است ( به اندازه ضلع مربعی است که در دایره عظیمه آن کُره واقع شده است. لذا به شکل ۱۸ مقاله اول این دایره عظیمه است.

اثبات مماس بودن این دایره با غیر عظیمه در نقطه ( ب ):

دایره (‌ز،ب ) و دایره ( ا،ب ) در نقطه معیَّن ( ب ) دایره عظیمه ( ج،ب،د ) را که از قطب های هر دو عبود کرده است قطع کرده اند . لذا به شکل ۳ مقاله ۲ با هم در نقطه ( ب ) مماس اند .

لذا نتیجه گرفته م‌شود که دایره ( ز،ب ) که به روش مذکور رسم شده است هم عظیمه است و هم با دایره غیر عظیمه ( ‌ا،ب ) در نقطه ( ب ) مماس است. و هو المطلوب. لذا عملی که برای رسیدن به این خواسته انجام داده ایم صحیح است.

*شکل ید*

مفروض های بحث:

الف: سه دایره ( ا،ب،ج،د ) و ( ه،ز،ح،ط ) و ( ک،ل ) درون یک کره واقع شده اند و هر سه متوازیه می‌باشند و قطب مشترک آنها نقطه ( م ) است.

ب: دو دایره ( ا،ک،س ) و ( د،ل،س ) دو دایره عظیمه واقع در همان کُره هستند.

ج: دو دایره عظیمه ( ا،ک،س ) و ( د،ل،س )

اولاً همدیگر را در دو نقطه ( ق ) و ( س‌ ) قطع کرده اند در نتیجه به شکل ۱۲ مقاله اول [70] همدیگر ار در آن دو نقطه نصف کرده اند. در نتیجه قوس ( ق،ک،ه،ا،س ) نصف دایره عظیمه ( د،ل،س ) و قوس ( ق،ح،ج،س ) نصف دیگر آن است. و قوس ( ق،ط،د،ص ) نصف دایره عظیمه ( د،ل،س ) و قوس ( ق،ز،ب،ص ) نصف دیگر آن است.

ثانیاً این دو دایره عظیمه با یکی از آن سه دایره متوازیه ( دایره ک،ل ) مماس شده اند. نقطه تماس دایره عظیمه ( ا،ک،س‌ ) نقطع ( ک ) و نقطع تماس دایره عظیمه ( د،ل،س ) نقطه ( ل ) است.

ثالثاً این دو دایره عظیمه سایر دایره های متوازیه را قطع کرده اند. به این صورت که دایره عظیمه

( ا،ک،س ) دایره ( ا،ب،ج ) را در دو نقطه ( ا ) و ( ج ) و دایره (ه،ز،ح،ط ) را در دو نقطه ( ه ) و ( ح ) قطع کرده است.

و همچنین دایره عظیمه ( د،ل،س ) دایره ( ا،ب،ج ) را در دو نقطه ( ب ) و ( د‌ ) و دایره ( ه،ز،ح،ط ) را در دو نقطه ( ز ) و ( ط ) قطع کرده است.

د: هشت قوس از دو دایره عظیمه ( ا،ک،س ) و ( د،ل، س ) بین دایره های متوازیه واقع شده اند.

چهار قوس بین دایره ( ک،ل ) و دایره ( ه،ز،ح،ط ) که عبارت اند از : قوس های ( ک،ه ) و ( ک،ح ) از دایره عظیمه ( ا،ک،س ) و دو قوس ( ل،ز ) و ( ل،ط ) از دایره عظیمه ( د،ل،س )

و چهار قوس بین دایره ( ه،ز،ح،ط ) و دایره ( ا،ب،ج،د ) که عبارت اند از: قوس های ( ا،ه ) و ( ج،ح ) از دایره عظیمه ( ا،ک،س ) و قوس های ( ب،ز ) و (د،ط ) از دایره عظیمه ( د،ل،س )

ه: پنج قوس ازدایره های متوازیه ( ا،ب،ج،د ) و ( ه،ز،ح،ط ) و ( ک،ل ) بین نصف های دو دایره عظیمه

( ا،ک،س ) و ( د،ل،س ) که این دو دایره در اثر تقاطع پیدا کرده اند واقع شده اند. اما نه بین هر نصفی بلکه بین نصف های از این دو عظیمه که با هم ملاقات ندارند.

توضیح نصف های غیر متلاقی:

وقتی دو دایره عظیمه درون کره ای همدیگر را قطع می‌کنند به شکل ۱۲ مقاله اول [71] همدیگر را نصف می‌کنند. در نتیجه در اثر این نصف کردن چهار نیم دایره بدست می‌آید. ما برای هر یک از این نیم دایره ها می‌توانیم مبدآ و منتهی های مختلفی لحاظ کنیم که در برخی لحاظ ها مبدأ و منتهی به گونه ای لحاظ می‌شوند که اجازه نمی‌دهند که دایره در نقطه ای تلاقی داشته باشند و همدیگر را قطع کنند که ما در این شکل در سدد بیان همین نوع از نصف ها می‌باشیم لذا ابتدا آنها را به صورت کلی سپس با تطبیق بر شکل ترسیم شده تعیین می‌کنیم.

تعیین نصف های غیر متلاقی به نحو کلی:

بیان شد که دو دایره وقتی همدیگر را قطع می‌کنند دو نقطه تقاطع پیدا می‌کنند و بیان شد که اگر این دو دایره عظیمه باشند دو نقطه تقاطع آنها دو نقطه تناصف می‌باشد و این دو دایره عظیمه با پیدایش این دو نقطه تناصف به چهار نصف دایره تقسیم می‌شوند.

اکنون ما یک نصف از دایره ای و یک نصف را از دایره دیگر در نظر می‌گیریم و می‌گوییم: اگر مبدأ نصف دایره اول را[72] قبل از نقطه تقاطع قرار دهیم و مبدأ نصف دوم را بعد از همان نقطع تقاطع اول [73] در نظر بگیریم در این صورت دو نصف دایره با هم ملاقاتی ندارند [74] و به آنها دو نصف غیر ملاقی گفته می‌شود.

تعیین نصف های غیر متلاقی با تطبیق بر شکل ترسیم شده.

برای دو دایره عظیمه در شک ترسیم شده چهار تا نصف دایره داریم . به بیان خواجه چهار زوج نصف داریم که غیر ملاقی هستند و آنها ارت اند از [75]

زوج اول: مبدأ یک نصف را نقطه ( ک ) {که بر نقطه اول تقاطع یعنی نقطه ( ق ) تقدم دارد} قرار می‌دهیم و آن را به شمت نقطه ( ج ) ادامه می‌دهیم این نصف قبل از رسیدن به نقطه ( س ) یعنی بین نقطه (ج ) و ( س ) تمام می‌شود.

باید توجه داشت که این نصف اگر از نقطه ( ق ) شروع می‌شد در نقطه ( س ) هم تمام می‌شد. اما از آنجا که ما مبدأ را قبل از نقطه ( ق ) فرض کردیم قهرا منتهی نیز قبل از نقطه ( س ) خواهد بود.

مبدأ نصف دوم را نقطه ( ل ) { که این نقطه از نقطه اول تقاطع که ( ق ) است متأخر است } قرار می‌دهیم و آن را به سمت دنقطه ( د ) [76] ادامه می‌دهیم این نصف بعد از نقطه ( س ) یعنی بین نقطه ( س ) و نقطه ( ب ) تمام می‌شود.

باید توجه کرد که این نصف نیز اگر از نقطه ( ق ) شروع می‌شد باید در نقطه ( س ) تمام می‌شد و لکن چون بعد از نقطه ( ق ) شروع شده است بعد از نقطه ( س ) هم تمام می‌شود.

در نتیجه این دو نصف یعنی قوس های ( ک،ق،ح،ج ) و ( ل،ط،د،س ) که اولی از دایره ( ا،ک،س ) و دومی از دایره ( د،ل،س ) است با هم تلاقی ندارند.

زوج دوم: یک نصف از دایره ( ا،ک،س ) را انتخاب می‌کنیم و مبدأ آن را نقطه ( ک ) قرار داده و آن را به سمت نقطه ( ج ) ادامه می‌دهیم که این نیم دایره قبل از درسیدن به نقطه ( س ) یعنی بین دو نقطه

( ج ) و ( س ) تمام می‌شود.

و نصف دیگر زا از دایره ( د،ل،س ) انتخاب می‌کنیم و مبدأ آن را بعد از نقطه تقاطع اول یعنی بعد نقطه( ق ) قرار می‌دهیم و آن را نقطه ( ز ) می‌نامیم و آن را به سمت نقطه ( ب ) ادامه می‌دهیم تا از نقطه ( س ) عبور کند و بین نقطه ( س ) و ( د ) تمام شود. همانگونه که مشاهده می‌کنید این دو نصف نیز با همم تلاقی ندارند. زیرا در نقطه اول تلاقی یعنی نقطه ( ق ) نصف اول وجود دارد اما نصف دوم وجود ندارد زیرا هنوز شروع نشده است و در نقطه دوم تلاقی یعنی نقطه ( س ) نصف دوم وجود دارد اما نصف اول وجود ندارد زیرا قبل از رسیدن به این نقطه تمام شده است . در نتیجه این دو نصف هیچگونه تلاقی با هم ندارند .

پس زوج دوم مستمل بر دو قوس ( ک،ق،ح،ج ) و ( ز،ب،س ) است.

زوج سوم: یک نصف را از دایره ( ا،ک،س ) انتخاب می‌کنیم و مبدأ آن را بعد از نقطه تلاقی اول ( ق ) قرار می‌دهیم و اسم آن را ( ک‌ ) می‌گزاریم و آن را به سمت نقطه ( ا‌ ) ادامه می‌دهیم. این نصف از آنجا که بعد از نقطه تلاقی اول شروع شده است بعد از نقطه دوم تلاقی یعنی نقطه ( س ) تمام می‌شود.

نصف دیگر را از دایره (د،ل،س ) انتخاب می‌کنیم و مبدأ را قبل از نقطه تلاقی اول ( ق ) قرار می‌دهیم و آن را نقطه ( ل ) فرض می‌کنیم و به سمت نقطه ( ب ) ادامه می‌دهیم . این نصف چون قبل از نقطه تلاقی اول شروع شده است قبل از نقطه تلاقی دوم ( س ) تمام می‌شود .

این دو نصف نیز با هم تلاقی ندارند زیرا نصف اول بعد از نقطه ( ق ) شروع شده است لذا با نصف دوم که از نقطه ( ق ) عبور کرده است تلاقی ندارد و نصف دوم قبل از نقطه دوم تلاقی تمام می‌شود در نتیجه با قسم اول که از نقطه ( س ) عبور می‌کند تلاقی ندارد. لذا دو قوس ( ک،ه،ا،س ) و ( ل،ق،ز،ب ) با هم تلاقی ندارند.

زوج چهارم: یک نصف را همانی که در زوج سوم بیان کردیم قرار می‌دهیم یعنی از دایره ( ا،ک،س ) انتخاب می‌کنیم و به سمت نقطه ( ا ) ادامه می‌دهیم تا بعد از نقطه ( س ) تمام شودو

نصف دیگر را از دایره ( د،ل،س ) انتخاب می‌کنیم و مبدأ آن را بعد نقطه ( ق ) یعنی از نقطه ( ز ) شورع و به سمت نقطه ( ل ) ادامه می‌دهیم تا بعد از عبور از نقطه ( د ) تمام شود. این دو نصف نیز با هم تلاقی ندارند. زیرا در نقطه اول تلاقی نصف دوم موجود است اما نصف اول وجود ندارد و در نقطه دوم تلاقی نصف اول وجود دارد اما نصف دوم وجود ندارد. پس دو قوس ( ک،ه،ا،س ) و ( ز،ق،ل،ط ) با هم ملاقات ندارند.

توجه: در زوج سوم و چهارم نصف اول مشترک و و نصف دوم دوم متفاوت است لذا خواجه می‌فرماید: به همراه قوس اول ( ک،ا،س ) یا قوس ( ل،ق،ب ) را قرار می‌دهیم تا زوج سوم درست شود. یا قوس ( ز،ل،د) را قرار می‌دهیم تا زوج چهارم بدست اید.

تا این جا نصف های از دو دایره که با هم ملاقات ندارند را مشخص کردیم. اکنون خواجه می‌گوید: هر چهار زوج بیان شده مورد نظر ما نیست بلکه از میانن این چهار زوج زوج اول و سوم که مبدأ و منتهی معیَّنی دارند مورد نظر ما است.

زیرا در این دو نصف نقطه مبدأ یکی ( ک ) و مبدأ دیگری ( ل ) است در نتیجه مبدأ ها معیَّن است. اما منتهی های آنها هم معیَّن است زیرا این دو دایره عظیمه با دایره ( ک،ل ) در نزدیکی نقطه تقاطع اول مماس می‌باشند. در نتیجه به شکل ۶ مقاله ۲ [77] این دو دایره عظیمه با دایره ای که مساوی و موازی دایره ( ک،ل ) است نیز در نزدیکی نقطه تماس دوم مماس می‌باشند.

اما در زوج دوم و چهارم اگر چه مبدأ ها معیَّن است اما از آنجا که منتهای برخی از نیم دایره ها مشخَّص نیست به آنها نیازی نداریم.

تا اینجا و با این باین طولانی نصف های غیر ملاقی این دو دایره عظیمه شناخته شد. با توجه به این مطلب باز مفروض پنجم را تکرار می‌کنیم.

پنج قوس از دایره های متوازیه ( ا،ب،ج،د ) و ( ه،ز،ح،ط ) و ( ک،ل‌ ) که بین نصف های غیر ملاقی دایره های عظیمه قرار دارند ( ا،ک،س ) ( د،ل،س ) واقع شده اند عبارت اند از قوس های:

( ک،ل ) و قوس های ( ه،ز ) ، ( ح،ط ) و قوس هاس ( ا،ب ) ، ( ج،د )

با توجه به این مفروض ها ادعای ما این است:

مدعای اول: پنچ قوس نام برده شده از دایره های متوازیه که بین نصف های غیر ملاقی دایره های عظیمه واقع شده اند متشابه اند.[78]

مدعای دوم: هشت قوس از دایره های عظیمه که بین دایره های متوازیه واقع شده اند مساوی اند.

بیان مدعا به صورت کلی: هر گاه در کره ای دایره های متوازیه ای و دو دایره عظیمه قرار گیرد و این دو دایره عظیمه که متقاطه اند با یکی از این دوائز متوازیه مماس باشند و سایر دایره ها را قطع کنند، قوسهای از این دایره های متوازیه که بین نصف های غیر ملاقی عظیمه ها قرار گرفته اند متشابهه و قوس های از عظیمه ها که بین دایره های متوازیه قرار گرفته اند مساوی می‌باشند.

آماده کرده شکل برای استدلال:

به کمک شکل ۲۱ مقاله اول دو دایره عظیمه رسم می‌کنیم که یکی از آنها { که دایره عظیمه ( م،ک،ن ) } است از دو نقطه ( م‌ ) که قطب دایره ای متوازیه است و مقطه ( ک ) که نقطه تماس با دایره (ک،ل ) است عبور کند.

عظیمه دیگر که ( م،ل،ث ) است را به گونه ای رسم می‌کنیم که از دو نقطه ( م ) که قطب متوازیه ها و (ل) که نقطه تماس دیگر با دایره ( ک،ل ) است عبور کند.

دو دایره عظیمه ( م،ک،ن ) و ( م،ل،ث )

اولاً به شکل ۵ مقاله ۲ [79] از دو قطب دایره عظیمه ( ا،ک،س ) و دو قطب دایره عظیمه ( د،ل،س ) می‌گزرند.

ثانیاً به شکل ۱۶ مقاله ۱ [80] بر این دو دایره عظیمه عمود می‌باشند.

خواجه قبل از اثبات این دو مدعا دو مقدمه طولانی ذکر می‌کند که در استدلال از آنها استفاده می‌شود.

همچنین خواجه برای اثبات ادعای اول علاوه بر توجه به مطالب آن دو مقدمه ذکر شده ثابت می‌کند که پنج قوس ( ک،ل ) ، ( ا،ب ) ، ( ه،ز ) ، ( ج،د ) ، ( ح،ط )‌مساوی اند. و برای رسیدن به این مطلب ابتدا بیان می‌کند که قوس های ( ا،ب ) و ( ک،ل ) مساوی هستند و از مساوی بودن این دو و با توجه به تعریفی که در صدر مقاله سوم اصول[81] راجع به قسی متشابه بیان شده بود به مشابه بودن این دو قوس می‌رسد و در ادامه به همین بیان تشابه قوس های را اثبات می‌کند.

مقدمه اول: گفتیم که دو دایره ( ا،ک،س ) و ( د،ل،س ) عظیمه هستند. و بیان کردیم که دایره عظیمه

( م،ک،ن ) بر قطب دایره های متوازیه یعنی نقطه ( م ) و بر قطب دایره عظیمه ( ا،ک،س ) و دایره عظیمه

( م،ل،ث ) از قطب دایره های متوازیه یعنی نقطه ( م ) م قطب دایره عظیمه ( د،ک،س ) عبور کرده اند.

واضح است که قسمتی از نیم دایره ( م،ک،ن ) روی ( م،ک ) و ما بقی آن روی روی قطر دایره ( ا،ک،س ) عمود شده است و چون با عمود شدن قوس بر خط قطعه بر روی خط ساخته می‌شود و عمود می‌شود لذا چه بگوییم قوس عمود است چه بگوییم قطعه عمود است فرق ندارد و همچنین چه بگوییم قوس ها متشابه هستند و چه بگوییم قطعه ها متشابه هستند باز هم فرق ندارد.

پس قسمتی از قطعه که به اندازه نیمی از دایره عظیمه است بر (‌م،ک ) و ما بقی آن بر قطر دایره ( ا،ک،س) عمود شده است.

همچنین واضح است که قسمتی از نیم دایره ( م،ل،ث ) روی (‌م،ل) و مابقی آن روی قطر دایره ( د،ل،س ) عمود شده است. و چون با عمود شده قوس بر خط قطعه بر روی خط ساخته و عمود می‌شود پس قسمتی از قطعه ای که به اندازه نیمی از دایره عظیمه است بر ( م،ل ) و ما بقی آن بر بر قطر دایره ( د،ل،س ) عمود شده است .

و از آنجا که دو دایره عظیمه ( م،ک،ن ) و ( م،ل،ث ) دو دایره عظیمه یک کُره هستند مساوی اند و دو قطعه ای که یکی به اندازه نیمی از دایره ( م،ک،ن ) و دیگر به اندازه نیمی از دایره ( م،ل،ث ) است نیز مساوی هم می‌باشند.

از یکی از این دو قطعه قوس ( م،ک ) و از دیگری قوس ( م،ل ) جدا شده است.

چون دو خط ( م،ک ) و (‌ م،ل ) واصل بین قطب و محیط دایره ( ک،ل ) به شهادت تعریفی که برای قطب دایرم با هم مساوی اند . در نتیجه دو قسمتی که از دو قطعه مذکور جدا شده اند مساوی اند.

و هر کدام از این دو قطعه ( م،ک‌ ) و ( م،ل ) از نطف قطعه کوچکتر می‌باشند و از آنجا که قطعه های ما نصف دایره عظیمه بودند وقتی این دو از نصف قطعه کوچکتر باشند یعنی در واقع از ربع دایره کوچکتر هستند . زیرا اگر چه فاصله قطب دایره عظیمه تا محیط آن برابر ربع دایره است اما فاصله قطب دایره صغیره تا محیط آن کمتر از ربع دایره می‌باشد. و دایره ( ک،ل ) دایره غیر عظیمه است پس فاصله قطب تا محیط آن یعنی دو خط ( م،ک ) و ( م،ل ) کمتر از ربع دایره می‌باشند.

در نتیجه دو قطعه ( م،ک ) و ( م،ل ) کمتر از ربع هر کدام از دایره های عظیمه ( م،ک،ن ) و ( ‌م،ل،ث ) هستند.

از آنچه گفته شد معلوم شد که بر دو قطر دو دایره متساویه ( ا،ک،س ) و ( د،ل،س ) دو قطعه مساوی از دو دایره مساوی ( م،ک،ن ) و ( م،ل،ث ) عمود کرده ایم و از این دو قطعه متساویه از قسمتی که نزدیک به سر قطر است دو قوس مساوی که هر کدام کمتر از نصف قطعه مذکور هستند جدا کرده ایم به گونه ای که نقطه ( م ) یک نقطه فصل و نقطه ( ک ) یا ( ل ) نقطه دیگر می‌باشد.

حال اگر خطی از نقطه فصل یعنی نقطه ( م ) به محیط دایره ای که یک قطعه روی آن ساخته شده یعنی به نقطه ( الف ) وصل کنیم و خط دیگر از همان نقطه ( م ) به محیط دایره ای که قطعه دیگر روی آن ساخته شده است یعنی نقطه ( د ) وصل کنیم . با توجه به اینکه این دو خط مساوی هستند [82] می‌گوییم دو قوس مقابل این دو خط یعنی دو قوس ( ا،ک ) و ( د،ل ) به شهادت شکل ۱۱ مقاله ۲ مساوی هستند.[83]

بار دیگر خطی از نقطه فصل یعنی نقطه ( م ) به محیط دایره ای که یک قطعه روی آن است یعنی به نقطه ( ه ) که روی دایره ( ا،ک،س ) است وصل می‌کنیم . و خط دیگری از همان نقطه فصل یعنی نقطه ( م ) به محیط دایره ای که قطعه دیگر روی آن روی آن است یعنی به نققطه ( ط ) که روی دایره ( د،ل،س ) وصل می‌کنیم.

با توجه به اینکه این دو خط مساوی اند [84] می‌گوییم دو قوس مقابل این دو خط یعنی دو قوس ( ه،ک ) و

( ط،ل ) به شهادت شکل ۱۱ مقاله ۲ نیز مساوی اند.

از آنچه گفته شد دو مطلب استفاده می‌شود.

الف: معلوم می‌شود که دو قوس ( ا،ک ) و ( د،ل ) با هم مساوی اند.

الف: مشخَّص می‌شود که دوقوس (‌ ه،ک ) و (‌ط،ل ) نیز با هم مساوی اند.

نکته: این مقدمه هم برای اثبات مدعای اول مفید است و هم برای اثبات مدعای دوم.

مقدمه دوم: دایره (‌ ا،ب،ج،د ) که یکی از سه دایره متوازیه است و دایره ( ا،ک،س ) که یکی از دو دایره عظیمه مفروض است، به فرض همدیگر را قطع کرده اند.

از تقاطع این دایره دو قطعه به وجود آمده است که یکی برای دایره عظیمه ( ا،ک،س ) که عبارت است از قطعه ( م،ک،ج ) و دیگری برای دایره متوازیه ( ا،ب،ج ) که عبارت است از قطعه ( ا،ن،ج )

دایره عظیمه ( م،ک،ن ) بر قطب های این دو دایره متقاطع گذشته است در نتیجه به شهادت شکل ۹ مقاله ۲ [85] دو قطب مذکور دو قطعه مذکور را نصف کرده است.

توضیح ذلک: قطعه ( ا،ک،ج ) را در نقطه ( ک ) و قطعه ( ا،ن،ج ) را در نقطه ( ج ) نصف کرده است. در نتیجه دو قوس ( ا،ک ) و ( ک،ج ) چون دو نصف یک قوس هستند با هم برابرند. به عبارت دیگر قوس ( ا،ک،ج ) دو برابر هر یک از این دو نصف قوس مذکور است.

همچنین دو قوس ( ا،ن ) و ( ن،ج ) چون دو نصف یک قوس هستند با هم برابرند لذا قوس ( ا،ن،ج ) دو برابر هر یک از این دو نصف قوس است.

و هکذا دایره ( ا،ب،ج ) و که همان دایره متوازیه مذکور است و دایره ( د،ل،س ) که یکی دیگر از دو دایره مفروضه است به فرض همدیگر را قطع کرده اند که از تقاطه این دو دایره نیز دو قطعه به وجود آمده است که یکی قطعه ( ب،ل،د ) است که برای دایره عظیمه ( د،ل،س ) است و یکی قطعه ( ب،ث،ج ) است که برای دایره متوازیه ( ا،ب،ج ).

دایره عظمه ( م،ل،ث ) بر قطب های این دو دایره متقاطع گذشته است لذا به شکل ۹ مقاله ۲ دو قطعه مذکور را نصف کرده است .

توضیح ذلک: قطعه ( ب،ل،د‌ ) را در نقطه ( ل ) و قطعه ( ب،ث،د ) را در نقطه ( ث ) نصف کرده است. در نتیجه دو قوس ( ب،ل ) و ( ‌ل،د ) چون هر دو نصف یک قوس هستند با هم برابرند و قهرا قوس ( ب،ل،د ) دو برابر هر یک از این دو نصف قوس است.

و همچنین دو قوس ( ب،ث ) و ( ث،د ) چون هر دو نصف یک قوس هستند با هم برابرند و قهرا قوس ( ب،ث،د ) دو برابر هر یک از این دو نصف قوس است [86]

ادامه مقدمه دوم که در کلام خواجه در تقدیر است.

دایره ( ه،ز،ح،ط ) که یکی از سه دایره متوازیه است و دایره ( ‌ا،ک،س ) که یکی از دو دایره عظیمه است به فرض همدیگر را قطع کرده اند که از این تقاطع دو قطعه به وجود آمده است. یکی قطعه (‌ ه،ک،ج ) است که برای دایره عظیمه ( ا،ک،س ) است و دیگری قطعه ( ه،ش،ح )‌ است که برای دایره متوازیه ( ه،ز،ح،ط ) است.

و دایره عظیمه ( م،ک،ن ) بر قطب های این دو دایره متقاطعه گذشته است در نتیجه به شکل ۹ مقاله ۲ دو قطعه مذکور نصف کرده است.

توضیح ذلک: قطعه ( ه،ک،ج ) را در نقطه ( ک‌ ) و قطعه ( ه،ش،ح ) را در نقطه ( ش ) نصف کرده است. بنابراین دو قوس ( ه،ک )‌و ( ک،ح ) با هم برابرند زیرا هر دو نصف یک قوس می‌باشند و قهرا قوس

( ه،ک،ح ) دو برابر هر یک از این دو قوس نام برده شده است.

هکذا دو قوس ( ه،ش ) و ( ش،ح ) با هم برابرند زیرا هر دو نصف یک قوس اند و قهرا قوس ( ه،ش،ح ) دو برابر هر یک از این دو قوس است.

همچنین دایره ( ه،ز،ح،ط ) که دایره متوازیه مذکور است و دایره عظیمه ( د،ل،س ) که عظیمه دیگر است به فرض همدیگر را قطع کرده اند که از این تقاطع نیز دو قطعه به وجود آمده است که یکی قطعه ( ز،ل،ط ) است که برا دایره عظیمه ( د،ل،س ) است و دیگری قطعه ( ز،ع،ط )‌است که برای دایره متوازیه ( ه،ز،ح،ط ) است. از طرفی دایره عظیمه ( م،ل،ث ) بر قطب های این دو دایره متقاطعه گذشته است لذا به شکل ۹ مقاله ۲ دو قطعه مذکور را نصف کرده است.

توضیح ذلک: قطعه ( ز،ل،ط ) را در نقطه ( ل ) و قطعه ( ز،ع،ط ) را در نقطه ( ع ) قطع کرده است. بنابراین دو قوس ( ز،ل ) و ( ل،ط ) با هم برابرند زیرا هر دو نصف یک قوس می‌باشند و قهرا قوس

( ز،ل،ط ) دو برابر هر یک از این دو قوس می‌باشد.

و هکذا دو قوس ( ز،ع ) و ( ع،ط ) با هم برابرند زیرا هر دو نصف یک قوس می‌باشند و در نتیجه قوس

( ز،ع،ط ) دو برابر هر یک از این دو قوس است[87]

استفاده از مقدمات مذکور برای اثبات مدعای اول:

در مقدمه اول ثابت کردیم که دو قوس ( ا،ک ) و ( د،ل ) با هم برابرند.

در مقدمه دوم ثابت کردیم که دو برابر های این دو قوس یعنی قوس های ( ا،ک،ج ) و ( د،ل،ب ) نیز برابرند.

با توجه به این داشته ها می‌گوییم:

الف: دو قوس ( ا،ک،ج ) و ( د،ل،ب ) دو قوس از دو دایره مساوی ( ا،ک،س ) و (‌د،ل،ب ) هستند [88] بنابراین وتر های آنها یعنی دو خط ( ا،ج ) و ( د،ب ) به شکل ۲۸ مقاله ۳ اصول [89] با هم مساوی اند.

و این دو خط ( ا،ج ) و ( د،ب ) علاوه بر اینکه وتر قوس های ( ا،ک،ج ) و ( د،ل،ب ) هستند وتر دو قوس

( ا،ب،ج ) و ( د،ج،ب )‌ نیز می‌باشند. و چون این دو وتر مساوی هستند قوس های آن دو یعنی دو قوس

( ا،ب،ج‌ ) و (‌ د،ج،ب ) نیز به شکل ۲۷ مقاله ۳ اصول [90] مساوی می‌باشند.

اکنون دو قوس ( ا،ب،ج ) و ( د،ج،ب ) را نصف می‌کنیم و از بین نصف های به وجود آمده دو نصف ( ا،ن )‌ و ( ب،ث ) را انتخاب می‌کنیم. این دو قوس نیز چون دو نصف دو قوس مساوی هستند مساوی می‌باشند.

در مرحله بعد قوس (‌ ن،ب ) را بین دو قوس مذکور مشترک ( به هر دو قوس مذکور اضافه ) می‌کنیم.

با این کار دو قوس ( ا،ن،ب ) و ( ن،ب،ث ) بدست می‌آید که این دو قوس نیز مساوی اند [91] و چون هر دو قوس از یک دایره هستند متشابه اند. یعنی با توجه به آنچه در صدر مقاله سوم اصول [92] بیان شده است زاویه های متساویه قبول می‌کنند. به عبارت دیگر زاویه های که دهانه آنها رو به این قوس ها باز می‌شود مساوی می‌باشند.

آنچه را در این قسمت بیان کردیم مقدمه قرار می‌دهیم برای آنچه در مرحله بعدی بیان می‌شود.

ب: قوس ( ک،ل ) از دایره متوازیه ( ا،ک،ل ) و قوس ( ن،ب،ث ) از دایره متوازیه ( ا،ب،ج،د ) هر دو بین دو دایره عظیمه ( م،ک،ن ) و ( م،ل،ث ) قرار دارند که این دو دایره عظیمه از قطب های آن دو دایره متوازیه عبور کرده اند. بنابراین دو قوس ( ک،ل ) و ( ن،ب،ث ) به شکل ۱۰ مقاله ۲ [93] متشابه هستند و به عبارت دیگر قوس ( ن،ب،ث ) مشابه قوس ( ک،ل ) است.

در قسمت اول نتیجه گرفتیم که قوس ( ا،ن،ب ) و به عبارت دیگر قوس (‌ا،ب ) مشابه قوس ( ن،ب،ث ) است. و در قسمت دوم گفتیم قوس (‌ن،ب،ث )‌مشابه قوس (‌ ک،ل )‌ است . با توجه به این دو مطلب و با توجه به اینکه مشابه المشابه مشابه نتیجه می‌گیریم که قوس ( ا،ب ) با قوس ( ک،ل ) مشابه است .

به عبارت دیگر این دو قوس که قوس های دو دایره متوازیه هستند که بین دو نصف غیر ملاقی از دو دایره عظیمه قرار گرفته اند مشابه هستند.

تا اینجا تشابه دو قوس از پنج قوس دایره های متوازیه که بین دو نصف غیر ملاقی دو دایره عظیمه واقع شده اند اثبات شد. خواجه می‌فرماید تشابه سایر قوس ها نیز به همین بیان اثبات خواهد شد. یعنی به همین بیانی که قوس های ( ا،ب ) و ( ک،ل ) را متشابه کردیم تشابه قوس های (‌ ز،ه ) و ( ج،د )‌ و ( ح،ط ) را نیز ثابت می‌کنیم.

توضیح ذلک:

برای بیان تشابه دو قوس ( ه،ز ) و ( ک،ل ) ‌می‌گوییم: در مقدمه اول بیان شد که قوس های ( ه،ک ) و ( ط،ل ) مساوی اند و در مقدمه دوم گفتیم دو برابر هر یک از اینها یعنی قوس های ( ه،ک،ح ) و ( ز،ل،ط ) نیز مساوی هستند.

اکنون می‌گوییم دو قوس ( ه،ک،ح ) و ( ز،ل،ط ) دو قوس از دو دایره مساوی ( ا،ک،س ) و ( د،ل،س ) می‌باشند بنابراین وتر های این دو قوس به شهادت شکل ۲۸ مقاله ۳ اصول مساوی هستند. که این وتر ها در واقع تر دو قوس ( ه،ش،ح ) و ( ز،ع،ط ) نیز هستند.

و به دلیل مساوی بودن این دو دایره دو قوس ( ه،ش،ح ) و ( ز،ع،ط ) به شهادت شکل ۲۷ مقاله ۳ اصول مساوی می‌باشند.

اکنون این دو قوس را نصف می‌کنیم و از بین نصف های بدست آمده دو نصف ( ه،ش ) و ( ز،ع ) را انتخاب می‌کنیم و بین این دو نصف انتخاب شده قوس ( ش،ز ) را مشترک می‌کنیم که در اثر این کار دو قوس

( ه،ز ) و ( ش،ع ) بدست می‌آید که مساوی و به دلیل اینکه از یک دایره اند مشابه اند. پس قوس ( ه،ز ) مشابه ( ش،ع ) است.

قوس (‌ ش،ع ) و (‌ک،ل ) چون بین دو دایره عظیمه مفروض واقع شده اند به شکل ۱۰ مقاله ۲ مشابه اند.

نتیجه: ثابت شده قوس ( ه،ز )‌ مشابه (‌ ش،ع )‌ است و ثابت شده که ( ش،ع )‌ مشابه قوس ( ک،ل ) است.

با توجه به این دو مطلب و با توجه به اینکه مشابه المشابه مشابه نتیجه می‌گیریم که دو قوس (‌ ه،ز )‌ و

( ک،ل ) مشابه اند.

برای تشابه دو قوس ( ج،د) و ( ک،ل ) می‌گوییم:

در مقدمه اول بیان شد که دو قوس ( ا،ک ) و ( ‌د،ل ) مساوی اند. و در مقدمه دوم بیان شد دو برابر های اینها یعنی دو قوس (‌ ا،ک،ج ) و ( د،ل،ب ) نیز مساوی هستند.

حال می‌گوییم:‌ دو قوس ( ا،ک،ج ) و ( د،ل،ب ) دو قوس از دو دایره مساوی (‌ ا،ک،س ) و ( د،ل،س ) هستند بنابراین وتر های این دو نیز به شهادت شکل ۲۸ مقاله ۳ اصول مساوی می‌باشند.

و این وتر ها وتر دو قوس ( ا،ب،ج ) ‌و ( ب،ج،د ) نیز می‌باشند لذا به خاطر مساوی بودنشان دو قوس

( ا،ب،ج ) و ( ب،ج،د ) به شکل ۲۷ مقاله ۳ اصول با هم مساوی می‌باشند.

سپس این دو قوس را نصف می‌کنیم و از بین نصف های به وجود آمده دو نصف ( ن،ج ) و ( د،ث ) را انتخاب می‌کنیم. در مرحله بعد بین این دو قوس انتخاب شده قوس ( ث‌،ج ) را مشترک می‌کنیم. با این کار دو قوس ( ج،د‌) و ( ن،ث ) به دست می‌اید که مساوی هستند. و به دلیل اینکه این دو قوس از یک دایره می‌باشند مشابه نیز می‌باشند. به عبارت دیگر دو قوس ( ج،د )‌ و ( ن،ث ) مشابه هم می‌باشند.

از طرفی قوس ( ن،ث ) و ( ک،ل ) چون بین دو دایره عظیمه مفروض قرار دارند به شهادت شکل ۱۰ مقاله ۲ مشابه اند . به عبارت دیگر قوس ( ن،ث ) و ( ک،ل ) ‌مشابه اند.

نتیجه: بیان شد که قوس ( ج،د ) و ( ن،ث ) مشابه اند و ثابت شد قوس (‌ ن،ث ) مشابه قوس ( ک،ل ) است. با توجه به این دو مطلب و با توجه به اینکه مشابه المشابه مشابه نتیجه می‌گیریم که قوس ( ج،د )‌ مشابه ( ک،ل )‌ است.

برای تشابه دو قوس ( ح،ط ) و ( ک،ل ) می‌گوییم:

در مقدمه اول ثابت شد که قوس ( ه،ک ) و ( ط،ل ) برابرند.

در مقدمه دوم بیان شد که دو برابر های این دو قوس یعنی قوس های ( ه،ک،ح ) و ( ز،ل،ط ) نیز مساوی هستند.

با توجه به این دو مطلب می‌گوییم: دو قوس ( ه،ک،ح ) و ( ز،ل،ط ) دو قوس از دو دایره مساوی ( ا،ک،س ) و ( د،ل،س ) می‌باشند. بنابراین وتر های این دو قوس به شکل ۲۸ مقاله ۳ اصول مساوی اند.

و این وتر ها وتر دو قوس ( ه،ش،ح ) و ( ز،ع،ط ) نیز می‌باشند. لذا به خاطر مساوی بودنشان دو قوس ( ه،ش،ح ) و ( ز،ع،ط ) نیز به شکل ۲۷ مقاله ۳۳ اصول برابر می‌باشند.

سپس این دو قوس را نصف می‌کنیم و از بین نصف های به وجود آمده دو نصف ( ش،ح ) و (‌ط،ع ) را انتخاب می‌کنیم. در مرحله بعد قوس ( ح،ع ) را بین دو قوس مذکور مشترک می‌کنیم که در اثر این کار دو قوس ( ش،ع ) و (‌ح،ط ) به دست می‌آید که مساوی اند. و به جهت اینکه این دو قوس از یک دایره می‌باشند مشابه نیز هستند.

در مرحله بعد می‌گوییم: قوس ( ش،ع ) و (‌ ک،ل ) چون بین دو دایره عظیمه مفروض واقع شده اند لذا به شکل ۱۰ مقاله ۲ مشابه می‌باشند.

نتیجه: ابتدا ثابت شد که قوس ( ح،ط ) مشابه قوس ( ش،ع ) است و در ادامه ثابت شد که قوس ( ش،ع ) مشابه قوس ( ک،ل ) است. با توجه به این دو مطلب و با توجه به اینکه مشابه المشابه مشابه نتیجه می‌گیریم که قوس ( ح،ط ) مشابه قوس (‌ک،ل ) است و هو المطلوب.

دلیل بر اثبات مدعای دوم:

الف: مقدمهً بیان بیان می‌کنیم که چهار قوس ( ا،ک ) ، ( ک،ج ) ، ( ب،ل ) و ( د،ل ) مساوی اند. این قوس ها برای دایره های عظیمه ( ا،ک،س ) و ( د،ل،س ) هستند و هر کدام مجموع دو قوس واقع بین دایرهای متوازی اند. اما این قوس های که ذکر کردیم مجموع دو قوس از قوس های است که واقع بین دایره های متوازی اند پس هیچ کدام این ها قوس های منظور ما نیستند .

در مقدمه دوم گفتیم: دو قوس ( ا،ک ) و ( ک،ج ) دو نصف یک قوس اند پس مساوی اند.

همچنین گفتیم دو قوس (‌د،ل ) و ( ب،ل ) دو نصف یک قوس هستند پس مساوی اند .

در مقدمه اول گفتیم: قوس ( ‌ا،ک ) و (‌ د،ل ) مساوی اند.

از این دو مطلب که در دو این دو مقدمه بیان کردیم و با توجه به اینکه مساوی المساوی مساوٍ نتیجه می‌گیریم که چهار قوس ( ا،ک ) ، ( ک،ج ) ، ( د،ل ) و ( ب‌، ل ) مساوی می‌باشند.

ب: قوس های ( ه،ک ) ، ( ک،ح ) ، ( ز،ل ) و ( ل،ط ) چهار تا از هشت قوسی هستند که در مدعای دوم تساوی آنها را ادعا کردیم که دو قوس اول مربوط به دایره عظیمه (‌ ا،ک،س ) و دو قوس بعدی از دایره عظیمه ( د،ل،س ) می‌باشند. و همگی بین دایره های متوازیه واقع اند. ادعای ما این است که همه آنها با هم مساوی هستند.

اثبات تساوی ای قوس ها: دایره عظیمه ( م،ک،ن ) به بیانی که در مقدمه دوم بیان شد قوس ( ه،ک،ح ) از دایره عظیمه ( ا،ک،س ) را در نقطه ( ک ) و قوس ( ه،ش،ح ) از دایره متوازیه ( ه،ز،ح،ط ) را در نقطه

( ش ) نصف کرده است. پس دو قوس ( ه،ش ) و ( ش،ح ) به دلیل اینکه دو نصف یک قوس اند با هم مساوی می‌باشند. اما ما به این دو قوس هم توجه نداریم.

همچنین دایره عظیمه ( م،ل،ث ) همانگونه که در مقدمه دوم بیان شد قوس ( ز،ل،ط ) از دایره عظیمه

( د،ل،س ) را در نقطه ( ل‌ ) و قوس ( ز،ع،ط ) از دایره متوازیه ( ه،ز،ح،ط ) را در نقطه ( ع ) نصف کرده است. در نتیجه دو قوس ( ز،ل ) و ( ل،ط ) به دلیل اینکه دو نصف یک قوس اند با هم مساوی می‌باشند.

و نیز دو قوس ( ز،ع ) و ( ع،ط ) به دلیل اینکه دو نصف یک قوس اند با هم مساوی اند اما به این دو قوس نیز کاری نداریم.

از آنچه گذشت معلوم شد که دو قوس ( ه،ک ) و ( ک،ح ) با هم و دو قوس ( ز،ل ) و ( ل،ط ) با هم مساوی اند.

و در مقدمه اول گفتیم: قوس « ه ک » و « ط ل » با هم مساوی‌اند. از این دو مطلب که در دو مقدمه مذکور گفتیم با توجه به اینکه مساوی المساوی مساو نتیجه می‌گیریم که چهار قوس « ه ک » و « ک ح » و « ز ل » و « ل ط » مساوی‌اند.

ج: قوس‌های « ا ه » و « ب ز » و « ج ح » و « د ط » چهار تا دیگر از هشت قوسی هستند که در مدعای دوم تساوی آنها را ادعا کردیم. دو قوس اول مربوط به دایره عظیمه « ا ک س »، و دو قوس دوم مربوط به دایره عظیمه « د ل س » هستند و همگی بین دایره‌های متوازیه واقع اند ادعای ما این است که همه آنها با هم مساوی‌اند.

بیان مساواتشان این است: در قسمت ( ا ) قوس های « ا ک » و « ک ج » و « د ل » و « ب ل » را مساوی کردیم. و در قسمت ( ب ) قوس‌های « ه ک » و « ک ح » و « ل ط » و « ز ل » را مساوی دانستیم. اگر قوس‌هائی را که در شماره ( ا ) آوردیم مفروق‌منه‌ها قرار دهیم و قوس‌هائی را که در شماره ( ب ) ذکر کردیم مفروق‌ها قرار دهیم و به همان ترتیبی که ذکرشان کردیم مفروق‌ها را از مفروق‌منه‌ها کم کنیم به ترتیب، قوس‌های « ا ه » و « ج ح » و « د ط » و « ب ز » به دست می‌آیند و چون مفروق‌منه‌ها با هم، و مفروق‌ها با هم مساوی‌اند باقی‌مانده‌ها یعنی قوس‌های « ا ه » و « ج ح » و « د ط » و « ب ز » با هم مساوی می‌باشند.

خواجه در «اقول» از بین قوس‌های دو دایره عظیمه « ا ک س » و « د ل س » تساوی سه قوس با سه قوس را - که تساوی‌شان قبلا مطرح نشده - به کمک مطالب قبل نتیجه می‌گیرد:

الف: قوس« ک ج » (از دایره عظیمه « ا ک س ») و قوس « ل ب » (از دایره عظیمه « د ل س ») مساوی‌اند.

دلیل: در ضمن اثبات مدعای دوم در مرحله ( ب ) معلوم شد که دو قوس « ک ح » و « ز ل » مساوی‌اند، و در مرحله ( ج ) معلوم شد که دو قوس « ح ج » و « ز ب » مساوی‌اند. از اینجا نتیجه گرفته می‌شود که دو قوس « ک ج » و « ل ب » - که اولی مجموع دو قوس « ک ح » و « ح ج » و دومی مجموع دو قوس « ز ل » و « ل ب » است - مساوی هستند؛ زیرا اگر به دو مقدار مساوی دو مقدار مساوی بیفزائیم دو مجموع به دست آمده مساوی می‌باشند.

ب: قوس « ک ق » (از دایره عظیمه « ا ک س ») و قوس « ل ق » (از دایره عظیمه « د ل س ») مساوی‌اند. دلیل: همانطور که در مقدمه اول گفتیم از قطب دایره‌های متوازی (یعنی از نقطه « م ») و قطب دایره عظیمه « ا ک س » دایره عظیمه « م ک ن » گذشته پس قطعه‌ای که عمود است به وجود آورده، همچنین از قطب دایره‌های متوازی (یعنی نقطه« م ») و قطب دایره عظیمه « د ل س » دایره عظیمه « م ل ث » گذشته پس قطعه دیگری که عمود است به وجود آورده. از این دو قطعه دو قوس متساوی، یکی قوس« م ک » و دیگری قوس« م ل » جدا شده اگر در نقطه فصل یعنی از نقطه « م » دو خط به نقطه « ق » وصل کنیم این دو خط مساوی بلکه خط واحد می‌باشند. پس به شکل ۱۱ مقاله ۲ دو قوس مقابل این دو خط مساوی (بلکه واحد) یعنی دو قوس « ک ق » و « ل ق » مساوی هستند (کلام خواجه «لان الخط الواصل و هو « م ق » مشترک فیهما {یعنی در مقابل هر دو قوس است، مشترک در هر دو قوس و برای هر دو است} «فیتساویان» تعلیل است برای تساوی این دو قوس اگر چه بلافاصله بعد از آن نیامده).

ج: قوس« ق ج » (از دایره عظیمه « ا ک س ») و قوس« ق ب » (از دایره عظیمه « د ل س » مساوی‌اند. دلیل: در قسمت ( ا ) گفتیم: قوس « ک ج » و قوس « ل ب » مساوی‌اند. و در قسمت ( ب ) گفتیم: قوس « ک ق » و قوس « ل ق » مساوی‌اند. حال دو قوس « ک ج » و « ل ب » را مفروق‌منه قرار می‌دهیم، و دو قوس « ک ق » و « ل ق » را مفروق می‌گیریم یعنی قوس « ک ق » را از قوس « ک ج » و قوس « ل ق » را از قوس « ل ب » کم می‌کنیم چون مفروق‌منه‌ها با هم، و مفروق‌ها با هم مساوی‌اند باقی‌مانده‌ها یعنی دو قوس « ق ج » و « ق ب » با هم مساوی می‌باشند (قول خواجه «الباقیتین» - که وصفی است مُشعر به علیت - تعلیل است برای تساوی این دو قوس). خواجه می‌فرماید: به آنچه در ذیل «اقول» آمده در شکل ۱۳ مقاله ۳ احتیاج پیدا می‌شود لذا ما در اینجا به مناسبت طرحش کردیم.

*شکل یه *

مفروض:

الف: دایره غیر عظیمه ( ا،ب ) که قطب آن نقطه ( د ) است را که درون کره ای واقع شده است داریم.

ب: در درون کره نقطه ( ج ) بین دایره ( ا،ب ) و دایره ای که مساوی و موازی این دایره است و می‌تواند درکُره رسم شود [94] وجود دارد.

با توجه به این دو فرض خواسته ما این است.

می‌خواهیم در آن کره دایره ای رسم کنیم که.

اولاً عظیمه باشد. ثانیاً از نقطه ( ج‌ )‌ عبور کند. ثالثاً با دایره ( ا،ب ) مماس باشد.

توجه: ‌واضح است که که بین نقطه ای از محیط دایره ( ا،ب ) که ما آن را نقطه ( ب ) می‌نامیم و نقطه ای که بین دایره (‌ا،ب ) و دایره ای که موازی و مساوی این دایره است که ما آن را ( ج‌ )‌می‌نامیم فاصله ای وجود دارد که می‌توانیم از آن به خط ( ب‌،ج ) تعبیر کنیم. و این خط وقتی با ضلع مربع واقع در دایره عظیمه که ما آن را خط ( ب،ج ) نامیده ایم مقایسه شود مقایسه شود.

یا کوچکتر از ضلع مربع واقع در دایره عظیمه است یا برابر آن است یا بزرگتر از آن است[95]

ما باید در هر سه فرض بحث کنیم. لذا ابتدا آن مقداری از روش اول که در هر سه فرض مشترک است را بیان می‌کنیم. سپس قسمت های مختص به هر فرض را بیان می‌کنیم و در نهایت دلیل بر صحت روش را ذکر می‌کنیم.

اما قسمت مشترک روش عمل در هر سه فرض.

الف: با قطب قرار دادن نقطه ( د ) که قطب دایره ( ‌ا،ب ) است و به بُعد ( د،ج ) دایره ( ج،ه،ز ) را رسم می‌کنیم. توجه کنید که در بحث گاهی از این دایره به ( ه،ج،ح ) نیز تعبیر می‌کنیم.

از آنجا که این دایره با دایره ( ا،ب ) قطب مشترک دارد موازی آن است[96]

ب: به کمک شکل ۲۱ مقاله ۱ دایره عظیمه ( د،ج،ط ) را به گونه ای رسم می‌کنیم که از نقطه ( د ) که قطب دایره ( ا،ب ) است و از نقطه ( ج ) که بین دایره ( ا،ب ) و دایره مساوی و موازی ( ا،ب ) فرض شده بود عبور کند.

ج: از دایره عظیمه ( د،ج،ط ) قوس ( ب،ط ) ـ را که به اندازه ربع دایره عظیمه و به عبارت دیگر وتر آن به اندازه ضلع مربعی است که درون دایره عظیمه واقع در کره قرار گرفته است ـ جدا می‌کنیم. یعنی قوس

( ب،ط ) و قطعه ( ب،ط ) را موجود می‌کنیم.

اما روش مختص به صورت اول: یعنی فرضی که ( ب،ج ) کوچکتر از ( ب،ط ) و به تعبیر خواجه ( ب،ط ) بزرگتر از ( ب،ج ) باشد.

در این فرض به دنبال کارهای که در روش مشترک انجام دادیم باید این اعمال را نیز انجام دهیم.

الف: با قطب قرار دادن نقطه ( ط ) و بع بُعد ( ط،ب ) دایره ( ه،ب،ح ) را رسم می‌کنیم. که این دایره

اولاً عظیمه است زیرا فاصله قطب آن که نقطه ( ط ) است تا محیطش که نقطه ( ب ) است به اندازه ضلع مربع واقع در دایره عظیمه است و چنین دایره ای به شکل ۱۸ مقاله ۱ عظیمه است[97]

ثانیاً با دایره ( ا،ب ) در نقطه ( ‌ب ) مماس است. زیرا این دایره به همراه دایره ( ا،ب ) دایره عظیمه

( د،ج،ط ) را که از قطب های آنها عبور کرده است قطع کرده اند. در نتیجه به شکل ۳ مقاله ۲ با دایره

( ا،ب ) مماس می‌باشد[98]

ثالثاً دایره ( ه،ج،ح ) که موازی دایره ( ا،ب )‌ است را در دو نقطه ( ه ) و ( ح ) قطع می‌کند. زیرا فرض این است که نقطه ( ج ) بعد از نقطه تماس این دایره با دایره ( ا،ب ) یعنی بعد[99] از نقطه ( ب ) قرار دارد نه روی آن یا بین آن و نقطه ( د )

ب: به کمک شکل ۲۱ مقاله ۱ دو دایره عظیمه ( د،ه،ک ) و ( د،ح،ل ) را طوری رسم می‌کنیم که اولی از دو نقطه ( د ) که قطب دایره ( ا،ب )‌ است و نقطه ( ه ) که یکی از دو نقطه تقاطع دو دایره ( ه،ج،ح ) و

( ه،ب،ح ) و دومی از دو نقطه ( د ) که قطب دایره ( ا،ب ) است و نقطه ( ح ) که یکی از دو نقطه تقاطع دو دایره ( ه،ج،ح ) و ( ه،ب،ح ) است بگزرد.

ج: دو قوس ( ه،ک ) از دایره عظیمه ( د،ه،ک ) و ( ح،ل ) از دایره عظیمه ( د،ح،ل ) را مساوی با قوس

( ج،ط ) از دایره عظیمه ( د،ج،ط ) جدا می‌کنیم.

د: در این مرحله می‌توانیم دو کار انجام دهیم که ما به یکی از آنها اکتفاء می‌کنیم.

کار اول: نقطه ( ل ) را به نقطه ( ن ) و ( ج ) و همچنین نقطه ( ط ) را به نقطه ( ه ) وصل می‌کنیم تا در اثر این کار سه خط ( ل،ن ) ، ( ل،ج ) و ( ط،ه ) به وجود آید.

کار دوم: نقطه ( ک ) را به نقطه ( م ) و ( ج ) و نیز نقطه ( ط ) را به نقطه ( ح ) وصل می‌کنیم که در اثر این کار سه خط ( ک،م ) ، ( ک،ج ) و ( ط،ح ) به دست می‌آید.

ه: بعد اینکه کار اول از دو کاری که در مرحله قبل بیان شد را انجام دادیم ، با قطب قرار دادن نقطه ( ل ) و به بُعد ( ل،ج ) دایره ( ج،ن،س) را رسم می‌کنیم. این دایره همان دایره مطلوب ما است یعنی اولاً عظیمه است ثانیاً از نقطه ( ج ) گذشته است و ثالثاً با دایره ( ا،ب ) در نقطه ( ن ) مماس است.

همچنین بعد از اینکه کار دوم که در مرحله قبل بیان شد را انجام دادیم با قطب قرار دادن نقطه ( ک ) و به بُعد ( ک،ج ) دایره ( ج،م،ع ) را رسم می‌کنیم . این دایره نیز همان دایره مطلوب ما می‌باشد. یعنی اولاً عظیمه است ثانیاً از نقطه ( ج ) گذشته است و ثالثاً با دایره ( ا،ب ) در نقطه ( م ) مماس است.

دلیل بر صحت روش اول:

در این دلیل عظیمه بودن دایره مذکور و عبور کردن آن از نقطه ( ج ) با یک بیان ثابت می‌شود و مماس بودن آن با دایره ( ‌ا،ب ) به صورت جدا اثبات می‌شود. و صحت روش را هم در دایره ( ج،ن،س ) و هم در دایره ( ج،م،ع ) بیان می‌کنیم.

مرحله اول: برای دو دایره ( ه،ب،ح ) و ( ه،ج،ح ) دو چیز را مورد توجه قرار می‌دهیم.

الف: همانطوری که در بیان روش شماره ( ‌الف ) در قسمت مختص بیان شد این دو دایره همدیگر را در دو نقطه ( ه ) و ( ح ) قطع کرده اند و از تقاطع این دو دایره دو قطعه ( ه،ب،ح ) و ( ه،ج،ح ) پدید آمده اند.

ب: دایره عظیمه ( د،ح،ط ) از قطب این دو دایره مرور کرده است.

وجود این دو أمر و با توجه به شکل ۹ مقاله 2[100] باعث شده است که دو قطعه آنها یعنی دو قطعه ( ه،ب،ح ) و ( ه،ج،ح ) به واسطه مرور دایره عظیمه ( د،ج،ط ) نصف شوند. در نتیجه دو قوس ( ح،ب ) و (‌ ه،ب ) از دایره ( ه،ب،ح ) با هم مساوی می‌باشند.

همچنین دو قوس ( ح،ج ) و ( ه،ح ) از دایره ( ه،ج،ح ) با هم مساوی می‌باشند. که از تساوی آن دو بعد استفاده خواهیم کرد.

مرحله دوم: سه قوس ( د،ه ) ، ( د،ج ) و ( د،ح ) چون از قطب دایره ( ه،ج،ح ) خارج و بر محیط همین دایره وصل شده اند لذا بنابر تعریفی که از قطب دایره داشتیم با هم مساوی اند.

همچنین سه قوس ( د،م ) ، ( د،ب ) و ( د،ن ) چون از قطب دایره ( ا،ب ) خارج و بر محیط همین دایره وصل شده اند با هم مساوی اند.

حال اگر ما سه قوس اول را مفروق منه و سه قوس دوم را مفروق قرار دهیم به این صورت که ( د،م ) را از

( د،ه ) و ( د،ب ) را از ( د،ج ) و ( د،ن ) را از ( د،ج )‌کم کنیم سه قوس ( م،ه ) و ( ب،ج ) و ( ن،ح ) باقی می‌ماند. و از آنجا که مفروق منه ها با هم و مفروق ها با هم مساوی اند در نتیجه باقی مانده ها نیز با هم با هم مساوی خواهند بود.

سپس به قوس ( م،ه ) قوس ( ه،ک ) و به قوس ( ب،ج ) قوس ( ح،ط ) و به قوس ( ن،ح ) قوس ( ح،ل ) را اضافه می‌کنیم که در اثر این کار سه قوس (‌ م،ک ) و ( ب،ط ) و ( ن،ل ) به وجود می‌آید.

چون سه قوس ( م،ه ) ، ( ب،ج ) و ( ن،ح ) به بیانی که گفتیم و سه قوس ( ه،ک ) و ( ح،ط ) و ( ح،ل ) به عمل مساوی هستند در نتیجه سه قوس ( م،ک ) و ( ب،ط ) و ( ن،ل ) با هم مساوی می‌باشند.

و در میان این سه قوس مساوی قوس ( ب،ط ) همانگونه که در شماره ( ‌ج ) در روش مشترک گفتیم به اندازه ربع دایر اش هست و به عببارت دیگر وترش به اندازه ضلع مربع واقع در دایره عظیمه کره است. بنابراین دو قوس دیگر از این سه قوس مساوی یعنی دو قوس ( م،ک )‌ و ( ن،ل ) نیز به اندازه ربع دایره هستند. به عبارت دیگر وترشان به اندازه ضلع مربع واقع در دایره عظیمه کره است.

توجه: غرض ما از بیان مرحله دوم این بود که که بگوییم: هر یک از هر یک از دو قوس ( ن،ل ) و ( م،ک ) مساوی ضلع مربع می‌باشند. زیرا ما از مساوی بودن قوس ( ن،ل ) با ضلع مربع در بیان صحت روشی که در تحصیل دایره ( ج،ن،س ) داشتیم استفاده می‌کنیم. و از مساوی بودن قوس ( م،ک ) با ضلع مربع در بیان صحت روشی که در تحصیل دایره ( ج،م،ع ) داشتیم بهره می‌گیریم.

مرحله سوم: سه دایره ( د،ه،ک ) ، ( د،ج،ط ) و ( د،ح،ل ) سه دایره عظیمه در یک کُره اند در نتیجه با هم مساوی هستند. و این سه دایره ، دایره ( ج،ه،ز ) و به عبارت دیگر دایره ( ه،ج،ح ) را قطع کرده اند و از دو قطب دایره ( ج،ه،ز ) عبور کرده اند. بنابراین به شکل ۱۶ مقاله ۱ [101] هر کدام از این سه دایره ، دایره ( ج،ه،ز ) را در حالی که عمود بر آنها است نصف کرده اند. به عبارت دیگر هر کدامشان بر قطری از اقطار دایره

( ج،ه،ز ) عمود شده اند[102] حال ما از این سه دایره دو تا را به دلخواه انتخاب می‌کنیم و می‌گوییم: دو دایره

( د،ج،ط ) و ( د،ح،ل ) دو دایره مساوی هستند که بر دو قطر یک دایره ( ج،ه،ز ) عمود شده اند[103]

حال اگر بخواهیم راجع به دایره ( ج،ن،س ) که با روش مذکور تحصیل شده است صحت روش را بیان کنیم می‌گوییم: دو دایره ( د،ج،ط ) و (‌ د،ح،ل ) دو دایره مساوی و عمود بر دو قطر یک دایره هستند.

اما اگر بخواهیم راجع به دایره ( ج،م،ع ) که آن نیز با روش مذکور تحصیل شده است صحت روش را بیان کنیم می‌گوییم: دو دایره ( د،ج،ط ) و ( د،ح،ل ) دو دایره مساوی و عمود بر دو قطر یک دایره اند.

با این دو دایره مساوی دو قطعه مساوی می‌سازیم یکی قطعه ( ج،ط ) و دیگری قطعه ( ح،ل ) وقتی تمام شود[104]

از این دو قطعه مساوی که از دو دایره مساوی تحصیل شده اند دو قوس ( ج،ط ) و ( ح،ل ) را جدا می‌کنی[105] این دو قوس دو صفت دارند.

الف: مساوی هم هستند زیرا ما در عمل اینها را مساوی قرار دادیم. و در ضمن در بیان روش مشترک مرحله ( ج ) گفتیم دو قوس ( ه،ک ) و ( ح،ل ) مساوی قوس ( ج،ط ) جدا می‌شوند.

ب: کمتر از نصف قطعه و به عبارت دیگر کمتر از ربع دایره هستند . زیرا همانگونه که در مرحله دوم بیان کردیم سه قوس ( ک،م )‌ ، ( ن،ل ) و ( ب،ط ) برابر اند. یعنی دو قوس ( م،ک ) و ( ن،ل ) مثل قوس

( ب،ط ) به اندازه ربع دایره می‌باشند. در نتیجه ( ج،ط ) و ( ج،ل ) که قسمتی از دو قوس ( ب،ط ) و

( ن،ل ) اند کمتر از ربع دایره اند.

توجه: خواجه به جای اینکه بگوید: هر کدام از این دو قوس کمتر از نصف قطعه اند می‌گوید: هر کدام از این دو قوس کمتر از نصف دایره اند. برخی گفته اند بهتر این بود که خواجه می‌گفت هر کدام از این دو قوس کمتر از نصف قطعه اند.

بعد از اینکه این دو قوس با این دو صفت را جدا کردیم از نقطه فصل آن دو یعنی نقطه ( ط ) و ( ل ) دو خط ( ط،ه ) و ( ل،ج ) را اخراج می‌کنیم[106] اما اگر بخواهیم صحت روش در تحصیل دایره ( ج،م،ع ) را بیان کنیم دو خط ( ط،ع ) و ( ک،ج ) را اخراج می‌کنیم.

بعد از عمود کردن دو قطعه بر دو قطر و انتخاب دو قوس مساوی و کمتر از ربع دایره و اخراج دو خط از موضع فصل آن دو می‌گوییم:

چون دو قوس ( ه،ج ) و ( ح،ج ) چنانکه قبلا بیان شد مساوی اند پس دو خط ( ط،ه ) و ( ل،ج )[107] که مقابل دوقوس مساوی ( ه،ج ) و ( ‌ح،ج ) قرار دارند نیز به شکل ۱۲ مقاله ۲ با هم مساوی اند[108]

توجه: مطالبی که در مرحله سوم بیان شد به خاطر این بود که موضوع برای شکل ۱۲ مقاله ۲ درست کنیم و با اجراء احکام این شکل تساوی دو خط ( ط،ه ) و ( ل،ج ) یا دو خط ( ط،ه ) و ( ک،ج ) را نتیجه بگیریم.

حال که مشخص شد دو خط ( ط،ه ) و (‌ ل،ج ) با هم مساوی اند بحث را ادامه می‌دهیم و می‌گوییم:

( ط،ه ) و ( ب،ط ) دو خطی اند که از قطب دایره ( ه،ب،ج ) یعنی از نقطه ( ط ) به محیط این دایره وصل شده اند. لذا با توجه به تعریفی که برای قطب دایره داشتیم این دو خط با هم مساوی اند.

و دانستیم که ( ب،ط ) به اندازه ضلع مربع وتر واقع در دایره عظیمه است. در نتیجه ( ط،ه ) که مساوی آن است نیز به اندازه ضلع مربع واقع در دایره عظیمه است. و مساوی ( ط،ه ) یعنی ( ج،ل )[109] نیز به اندازه ضلع مربع واقع در دایره عظیمه است.

نتیجه این مرحله سوم این شد که خط ( ل،ج ) به اندازه ضلع مربع واقع در دایره عظیمه است.

و در مرحله دوم بیان شد که ( ل،ن ) مساوی ( ب‌،ط )[110] و در نتیجه به اندازه ضله مربع واقع دردایره عظیمه است.

نتیجه ای که تا اینجا به دست آمد این است که خط ( ل،ج ) و ( ل،ن ) یا ( ک،ج ) و ( ک،م ) به اندازه ضلع مربع واقع در دایره عظیمه هستند.

مرحله چهارم: حال که معلوم شد ( ل،ج ) و همچنین ( ک،ج ) به اندازه ضلع مربع واقع در دایره عظیمه می‌باشند مشخَّص می‌شود که دایره ( ج،ن،س ) که به بُعد خط ( ل،ج ) رسم شده است و همچنین دایره

( ج،م،ع ) که به بُعد خط ( ک،ج ) رسم شده است به شهات شکل ۱۸ مقاله ۱ دایره عظیمه می‌باشند[111] . و از آنجا که این دو دایره به بُعد ( ل،ج ) یا ( ک،ج ) رسم شده اند از نقطه ( ج) گذشته اند.

توجه: از آنجا که دو خط ( ل،ج ) و ( ل،ن ) با هم مساوی اند و همچنین دو خط ( ک،ج ) و ( ک،م ) با هم مساوی اند زیرا هر دو به اندازه ضلع مربع واقع در دایره عظیمه اند. یا به عبارت دیگر هر دو مساوی خط ( ب، ط ) گه به اندازه ضلع مربع واقع در عظیمه است می‌باشند، پس اگر بگوییم: دایره ( ج،ن،س ) را به بُعد ( ل،ن ) رسم کرده ایم و همچنین اگر بگوییم: دایره ( ج،م،ع ) را به بُعد ( ک،م ) رسم کرده ایم با توجه به شکل ۱۸ مقاله۲معلوم می‌شود که این دایره ها عظیمه اند. و به دلیل مساوی بودن ( ل،ن ) با ( ل،ج ) یا به دلیل مساوی بودن ( ک،م ) با ( ک،ج ) معلوم می‌شود که از نقطه ( ج ) گذشته اند.

در نتیجه می‌توانیم به جای ( ل،ج ) ( ل،ن ) را و یا به جای ( ک،ج ) ( ک،م ) را بیاوریم لکن از آنجا که اگر بعد ( ل،ج ) یا ( ک،ج ) مطرح شود عبور دایره از نقطه ( ج ) روشن می‌شود ما رسم دایره به بُعد (‌ ل،ج ) یا ( ک،ج ) را مطرح کرده ایم.

مرحله پنجم: از آنچه گذشت معلوم شد که دایره ( ج،ن،س ) یا ( ج،م،ع ) دو خصوصیت از خصوصیات مورد نظر ( عظیمه بودن و از نقطه ( ج ) گذشتن ) را دارند.

در این مرحله می‌خواهیم ثابت کنیم که این دایره با دایره ( ا،ب ) تماس دارد.

توضیح ذلک: دایره عظیمه ( ج،ن،س ) و ( ا،ب ) هر دو دایره عظیمه ( د،ح،ل ) را که از قطب این دو عبور کرده است[112] قطع کرده اند. در نتیجه به شکل ۳ مقاله ۲[113] این دو دایره متماس هستند. یعنی دایره عظیمه

( ج،ن، س ) با دایره (‌ ا،ب ) در نقطه ( ن‌ ) مماس می‌باشند.

اگر بخواهیم صحت روش در تحصیل دایره ( ج،م،ع ) را بیان کنیم می‌گوییم: دایره عظیمه ( ج،م،‌ع ) و دایره ( ا،ب ) هر دو دایره عظیمه ( د،ه،ک ) را که از قطب این دو[114] گذشته است قطع کرده اند. در نتیجه به شکل ۳ مقاله ۲ این دو دایره متماس می‌باشند. یعنی دایره عظیمه ( ج،م،ع ) با دایره ( ا،ب ) در نقطه ( م ) مماس شده اند.

از آنچه گذشت معلوم شد که در فرض اول ( فرضی که در آن ( ب،ج ) کوچکتر از ( ب،ط ) بود یا به تعبیر خواجه ( ب،ط ) بزرگتر از ( ب،ج ) است روش مذکور صحیح و منتج مطلوب ما می‌باشد.

اما قسمت مختّص به فرض دوم: ( فرضی که در آن خط ( ب،ط ) به اندازه خط ( ب،ج ) است و به عبارت دیگر فرضی که در آن قوس ( ب،ج ) به اندازه ربع دایره است )

برای اثبات مدعا در این فرض تمام اعمالی که در قسمت مشترک گفته شد باید انجام شود و علاوه بر آن از اعمالی که در قسمت مختص به فرض اول گفته شد نیز چهار مرحله اول را انجام می‌دهیم با این تفاوت که در این فرض آنچه در مرحله پنجم فرض اول بیان کردیم در این فرض تغییر می‌کند به این صورت که می‌گوییم:

بعد از این که عمل اول از دو عملی که در مرحله چهارم را انجام دادیم با قطب قرار دادن نقطه ( ح ) و به بُعد ( ح،ج ) که همان (‌ ح،ط )‌ است[115] دایره (‌ ج،ن،س ) را رسم می‌کنیم . این دایره همان دایره مطلوب ما می‌باشد. یعنی اولاً عظیه است ثانیاً از نقطه ( ج ) ‌می‌گزرد و ثالثاً با دایره (‌ ا،ب ) در نقطه ( ن ) مماس است.

و بعد از اینکه عمل دوم از دو عملی که در مرحله چهار را انجام دادیم با قطب قرار دادن نقطه ( ه ) و به بُعد ( ه،ج ) که همان ( ه،ط ) است دایره ( ج،م،ع ) را رسم می‌کنیم. این دایره نیز همان دایره مورد نظر ما می‌باشد.

دلیل بر صحت روش اول:

مرحله اول: در بیان روش در قسمت مختص به فرض اول در مرحله اول گفته شد که نقطه ( ط ) قطب دایره ( ه،ب،ح ) است. چون در این فرض دوم که مورد بحث فعلی ما می‌باشد ( ب،ط ) و ( ب،ج ) مساوی اند، در نتیجه( ج ) منطبق بر ( ط ) است. یعنی می‌توانیم به جای ( ط ) ( ج ) را بگزاریم و بگوییم: ( ج ) قطب دایره ( ه،ب،ح ) است.

از این نقطه ( ج ) که قطب است سه خط به محیط دایره ( ه،ب،ح ) وصل شده اند که عبارت اند از خط های ( ج،ب ) ، ( ج،ه )‌ و ( ج،ح ) و این سه خط با توجه به تعریفی که برای قطب دایره داریم با هم مساوی اند. در نتیجه خط ( ج،ه ) و خط ( ج،ح ) با خط ( ج،ب ) مساوی اند. و چون خط (‌ ج،ب ) به اندازه ضلع مربع واقع در دایره عظیمه است پس هر یک از دو خط ( ج،ه ) و ( ج،ح ) نیز به اندازه ضلع مربع واقع در دایره عظیمه اند. بنابراین دایره عظیمه ( ج،ن،س ) که به بُعد ( ج،ح ) رسم شده و همچنین دایره ( ج،م،ع ) که به بُعد ( ج،ه ) رسم شده است هر دو به شهادت شکل ۱۸ مقاله ۱ [116] دایره عظیمه می‌باشند.

توجه: خواجه فرمود: کان ( ج،ه ) ( ج،ح ) مساویین له ... چون ضمیر له به ( ب،ج ) و یا ربع که هر دو در جمله قبل یعنی در جمله : اعنی کان ( ب،ج ) ربعاً آمده اند ، بر می‌گردد. به همین جهت عبارت موهم این می‌باشد که هر کدام از دو قوس ( ج،ه ) و (‌ ج،ح ) ربع دایره باشند در حالی که این وهم باطل است زیرا ربع بودن قوس ( ج،ه ) یا ( ج،ح ) مستلزم این است که دایره صاحب این قوس ها یعنی دایره ( ‌ه،ج،ح ) عظیمه باشد [117] در حالی که عظیمه بودن این دو دایره ممنوع است زیرا خط ( د،ج ) که قطب این دایره را به محیط آن وصل می‌کند بزرگتر از ربع است و ممکن نیست که فاصله قطب دایره عظیمه که نقطه ای روی سطح کره است تا محیط آن بیشتر از ربع باشد. زیرا فاصله قطب دایره عظیمه تا محیط آن فقط به اندازه ربع است. در نتیجه قوس ( ج،ه ) و قوس ( ج،ح ) نمی‌توانند به اندازه ربع باشند. بنابراین باید گفت:‌مراد خواجه از ( ج،ه ) و ( ج،ح ) در این کلام این دو قوس نیست بلکه مراد خط ( ج،ه ) و ( ج،ح ) و به عبارت دیگر مراد وترهای دو قوس ( ‌ج،ه ) و ( ج،ح ) است.

مرحله دوم:

خطوط ( د،ج )‌ ، ( د،ح )‌ و (‌ د،ه ) با هم مساوی اند. زیرا

همچنین خطوط (‌ د،ب ) ، ( ‌د،ن ) و ( د،م ) با هم مساوی اند. زیرا از قطب دایره ( ‌ا،ب ) به محیط آن وصل شده اند و چنین خطوطی با توجه به تعریف قطب دایره با هم مساوی اند.

حال اگر دسته دوم را از خطوط دسته اول کم کنیم چون مفروق منه ها با هم مساوی و مفروق ها با هم مساوی اند در نتیجه باقی مانده که عبارت اند از خطوط ( ب،ج ) ، ( ن،ح ) و ( م،ه ) نیز با هم مساوی خواهند بود.

قبلا بیان شد که خطوط ( ب،ج ) ، (‌ ه،ج ) و ( ح،ج ) با هم مساوی اند. و همچنین بیان شد خطوط ( ب،ح) ، ( ن،ح ) و ( م،ه ) با هم مساوی اند. از ملاحظه این دو بیان در می‌یابیم که هم دو خط ( ه،ج ) و ( ح،ج ) و هم دو خط (‌ ن،ح ) و (‌ م،ه ) با هم مساوی اند.

و یا توجه به اینکه اگر دو مقدار با مقدار واحدی مساوی باشند خود آن دو مقدار نیز مساوی خواهند بود نتیجه می‌گیریم که دو خط ( ه،ج ) و ( ‌ح،ج ) با دو خط ( ن،ح ) و ( م،ه ) مساوی اند. و به عبارت دیگر خط ( ه،ج ) با ( ه،م ) و خط ( ح،ج ) با (‌ح،ن ) مساوی اند. این تساوی ها نشان می‌هد که دایره عظیمه

( ج،ن،س ) که به بعد ( ح،ج ) رسم شده است مثل این است که به بعد ( ح،ن ) رسم شده باشد. و تساوی

( ب،ج )‌ و (‌ ح،ن ) و همچنین تساوی ( ب،ج ) و (‌ ه،م ) نشان می‌دهد که فاصله نقطه (‌ ح ) تا نقطه ( ن ) و همچنین فاصله نقطه ( ه ) تا نقطه ( م ) مثل فاصله نقطه ( ج ) تا نقطه ( ب ) است. یعنی نقطه (‌ ن ) و نقطه (‌ م ) مثل نقطه ( ب ) روی محیط دایره (‌ ا،ب )‌ می‌باشند. با توجه به این دو مطلبی که این دو تساوی نشان می‌دهند می‌گوییم: دایره عظیمه ( ج،ن،س ) چون به بُعد ( ح،ج ) رسم شده است از نقطه ( ج) عبور کرده است. و همچنین چون به بُعد ( ح،ن ) رسم شدهاست در نتیجه از نقطه ( ن ) نیز عبور کرده است. و لکن نقطه ( ن ) روی محیط دایره (‌ ا،ب ) است پس دایره عظیمه ( ج،ن،س ) با عبور از نقطه ( ن ) با دایره ( ا،ب ) با دایره ( ا،ب ) مماس گشته است.

همچنین دایره عظیمه ( ج،م،ع ) چون به بُعد ( ح،ج ) رسم شده است در نتیجه از نقطه ( ج ) عبور کرده است و چون به بُعد ( د،م ) رسم شده است پس از نقطه ( م ) نیز عبور کرده است. و نقطه ( م ) روی محیط دایره (‌ ا،ب ) است پس دایره عظیمه (‌ ج،م،ع ) با عبور از نقطه ( م ) با دایره (‌ ا،ب ) مماس گشته است[118]

از آنچه گفتیم معلوم می‌شود که دو دایره ( ج،ن،س ) و ( ج،م،ع )‌ از نقطه ( ج ) گذشته اند و با دایره

(‌ ا،ب ) مماس شده اند. و قبلا اثبات شده که دایره عظیمه نیز هستند.

در نتیجه این دو دایره هم عظیمه هستند و هم از نقطه ( ج ) عبور کرده اند و هم با دایره (‌ ا،ب ) مماس شده اند بنابراین همان دایره های مورد نظر ما می‌باشند.

اما قسمت مختّص به فرض سوم: ( فرضی که در آن ( ب،ج ) بزرگتر از ( ب،ط ) و به تعبیر خواجه

( ب،ط ) کوچکتر از ( ب،ج ) است ) به عبارت دیگر فرضی که در آن فاصله بین دیره مفروضه و نقطه ( ج ) بیش از ربع است.

در این قسمت دایره غیر عظیمه (‌ ا،ب ) را رها می‌کنیم و دایره غیر عظیمه دیگری که مساوی و موازی دایره (‌ ا،ب ) باشد را رسم می‌کنیم و اینگونه تصور می‌کنیم که از اول چنین دایره ای داشته ایم و تمام ادعا های ما راجع به این دایره بوده است نه دایره ( ا،ب ).

این دایره دیگر که نظیر دایره (‌ ا،ب ) فرض می‌شود را به گونه ای رسم می‌کنیم که فاصله نقطه ( ج ) تا آن برابر فاصله نقطه ( ج ) تا دایره (‌ ا،ب )در فرض اول باشد. در واقع با این کار فرض سوم را به فرض اول باز می‌گردانیم[119] هنگامی که فرض سوم به فرض اول بازگشت همان روش و دلیل بر صحت روش اول را بدونه هیچ تفاوتی در همین فرض تکرار می‌کنیم و ثابت می‌شود که دایره عظیمه یا دوایر عظیمه ای که مطلوب ما هستند هم از نقطه ( ج ) عبور می‌کنند، هم با دایره نظیر مماس هستند و و لذا مطلوب ما ثابت می‌شود و لازم نیست دایره های عظیمه ای که مطلوب ما هستند را با دایره ( ا،ب ) مماس کنیم بلکه همین اندازه که با دایره نظیر ( ‌ا،ب ) مماس شوند کفایت می‌کند.

اما اگر خواستیم از این مقدار بحث را فراتر ببریم ( یعنی دایره عظیمه یا دوایر عظیمه را که از نقطه ( ج ) عبور کرده اند و مماس با دایره نظیر هستند را با دایره (‌ ا،ب ) نیز مماس کنیم به شکل ۶ مقاله ۲ [120] استدلال می‌کنیم.

توجه: مراد ما از بیان این مطلب این بود که بگوییم: اثبات تماس دایره عظیمه با دایره نظیر اولاً برای اثبات صحت ادعای ما کافی است و ثانیاً مستلزم تماس با دایره عظیمه با دایره ( ا،ب ) نیست بلکه برای اثبات تماس آن با دایره ( ا،ب ) از شکل ۶ مقاله ۲ کمک می‌گیریم..

*شکل یه*

مفروض ها:

الف: دو دایره ( ‌ا،ب،ج،د ) و (‌ ه،ز،ح،ط ) متوازیه واقع در یک کُره می‌باشند. همچنین دو دایره ( ا،ه،ج ) و

( ب،ک،ط ) دو دایره عظیمه همان کره اند.

ب: دو دایره عظیمه ( ا،ه،ج ) و ( ب،ک،ط ) قوس هائی از دو دایره متوازیه ( ا،ب،ج،د ) و ( ه،ز،ح،ط ) جدا کرده اند . مثل قوس ( ا،ب ) از دایره اول و قوس ( ه،ز ) از دایره دوم.

ج: ‌این قوس های جدا شده از دایره های متوازیه متشابه اند[121] . یعنی هر قوسی از دایره متوازیه (‌ ا،ب،ج،د ) با هر قوسی از دایره متوازیه ( ه،ز،ح،ط ) مشابه است ( ‌در صورتی که همه قوس های جدا شده از دایره های متوازیه مساوی باشند )

و یا قوس های نظیر به نظیر از این دو دایره متوازیه مشابه خواهد بود در صورتی که قوس های جدا شده از این دو دایره با هم متفاوت باشند. خلاصه اینکه این دو دایره عظیمه قوس های متشابه از این دو دایره متوازیه را در بین خود قرار می‌دهند.

توجه: راجع به نحوه ارتباط دو دایره عظیمه با دو دایره متوازیه ۶ صورت قابل فرض است.

صورت اول: هر دو دایره عظیمه از قطب های دو دایره متوازیه عبور کرده باشند[122]

صورت دوم: یکی از دایره های عظیمه از قطب های دایره های متوازیه عبور کرده است و دایره عظیمه دیگر با یکی از این دو دایره متوازیه (‌ نه با هر دو ) مماس است.

صورت سوم: یکی از دو دایره عظیمه از قطب های دو دایره متوازیه گذشته است و دایره عیمه دیگر نه بر قطب های آن دو متوازیه عبور کرده است نه با یکی از آنها مماس شده است[123]

صورت چهارم: هیچ یک از دو دایره عظیمه بر قطب های دو متوازیه عبور نکرده اند. و لکن هر دوی آنها با یکی از دو دایره متوازیه مماس می‌باشند.

صورت پنجم: هیچ یک از دو دایره عظیمه بر قطب های دو دایره متوازیه عبور نکرده اند اما یکی از آنها با یکی از دو دایره متوازیه مماس است. به عبارت دیگر یکی از دو عظیمه از خود دایره های متوازیه عبور کرده است نه از قطب آنها و دیگری با یکی از آنها مماس است.

صورت ششم: هیچ یک از دو دایره عظیمه نه بر قطب های دایره های متوازیه عبور کرده اند و نه با یکی از آن دو مماس شده اند. بلکه هر از دو دایره متوازیه عبور کرده اند.

خلاصه: از توجه به این صورت های که ذکر شد معلوم می‌شود که : دو دایره عظیمه اگر هر دو از قطب های دایره های متوازیه عبور کنند هیچ کدام نمی‌توانند با آن دو دایره مماس باشند. و اگر یکی از آنها از قطب های دو دایره متوازیه عبور کند دایره دیگر می‌تواند با دو متوازیه مماس باشد و همچنین می‌تواند غیر مماس باشد. و اگر هیچ یک از عظیمه ها از قطب های دو متوازیه عبور نکنند ممکن است هر دو یا یکی از آنها با متوازیه ها مماس باشند و ممکن است هرچ یک مماس نباشند.

در نتیجه در فرض مرور هر دو عظیمه از قطب ها یک صورت وجود دارد و در فرض مرور یکی از عظیمه ها دو صورت وجود دارد و در فرض عدم مرور هر دو عظیمه از قطب های سه صورت وجود دارد.

سوال: در این صورت های ذکر شده آنجا که تماس دایره عظیمه با دایره متوازیه مطرح شد چرا گفتیم دو دایره عظیمه با یکی از دو متوازیه مماس می‌شود نه با هر دو ؟

جواب: اگر دو دایره متوازیه در یکی از قسمت بالای کره و دیگری در قسمت پایین کره قرار بگیرد ( به عبارت دیگر اگر هر دو دایره در دو طرف دایره های عظیمه قرار بگیرند تماس عظیمه ها با دو دایره متوازیه ممکن است. اما اگر هر دو دایره در یک طرف دایره های عظیمه و به عبارت دیگر هر دو در یک نیم کره قرا گیرند تماس هر دو عظیمه با هر دوی متوازیه ها ممکن نخواهد بود. و فرض بحث ما مورد دوم ( یعنی دایره های متوازیه در یک طرف دایره هایی عظیمه قرار بگیرند ) است. به همین جهت است که تماس دایره یا دایره های عظیمه با یک دایره متوازیه مطرح شده است نه با هر دو عظیمه.

توجه: بیان شده که نحوه ارتباط عظیمه ما با متوازیه ها شش صورت دارد. اما می‌توان شش صورت را به پنج صورت تقلیل دارد. به این صورت که بگوییم: صورتی که یکی از دایره های عظیمه از قطب متوازیه ها عبور کرده باشد و عظیمه دیگر با یکی از آنها مماس باشد و صورتی که یکی از دو دایره عظیمه با یکی از متوازیه ها مماس باشد و دایره عظیمه دیگر از متوازیه عبور کرده باشد را تحت یک صورت جمع کنیم. و چنین بگوییم: یکی از پنج صورت این است که فقط یک دایره عظیمه با یکی از دو دایره متوازیه مماس باشد حال چه عظیمه دیگر از قطب متوازیه ها عبور کرده باشد، چه عظیمه دیگر از خود دایره متوازیه عبور کرده باشد. و باید توجه داشت که این دو صورت حکم آنها (‌ امتناع ) و دلیل آنها نیز یکی می‌باشد. لذا بهتر این است که این دو صورت را تحت صورت واحدی بیان کنیم.

مدعا: از پنج صورتی که بیان شد تنها دو صورت آن صحیح و سه صورت دیگر چناچه بیان خواهد شد باطل است. به عبارت دیگر تحقُّق آنچه در ذیل عنوان مفروض بیان شد تنها در صورتی است که

الف: دو دایره عظیمه هر دو از قطب های دو متوازیه عبورکرده باشند ب: یا هر دو یا یکی از دایره های عظیمه با یکی از متوازیه ها مماس باشند.

بیان مدعا به صورت کلی: دایره های عظیمه واقع در کُره تنها در صورتی از دایره های متوازیه واقع در همان کره قوس های متشابه را جدا می‌کنند ( قوس های از متوازیه ها که بین این دو عظیمه واقع شود ) که یکی از این دو شرط را داشت باشند. الف: یا هر دو عظیمه از دو قطب دایره های متوازیه عبور کرده اند[124] ب: یکی یا هر دو عظیمه با یکی از متوازیه ها مماس باشند[125]

توجه: در شکل ۱۰ مقاله ۲ گفتیم: دو دایره عظیمه وقتی بر قطب های دایره های متوازیه عبور می‌کنند قوس های متشابه ای را از آن دو دایره جدا می‌کنند.

و در شکل ۱۴ مقاله ۲ گفتیم:‌ دو دایره عظیمه کره ای که با یکی از دایره های متوازیه واقع در آن کره مماس می‌شوند قوس های متشابه ای را از آن دو دایره متوازیه جدا می‌کنند.

اما در شکلی که هم اکنون در سدد بیان آن می‌باشیم می‌گوییم: دو دایره عظیمه کره در صورتی از دایره های متوازیه واقع در آن کره قوس های متشابه را جدا می‌کنند که یا از قطب های آن دو دایره متوازیه عبور کرده باشند یا با یکی از آن متوازیه ها مماس باشند.

توجه: در این دلیل بطلان سه صورت از پنج صورت که غیر صحیح می‌باشند مستدَّل می‌شود و صحت دو صورت دیگر با رد این سه صورت و به کمک شکل های ۱۰ و ۱۴ همین مقاله ثابت می‌شود. پس در شکل ۱۶ در واقع سه صورت از پنج صورت مذکور که باطل است را بیان می‌کنیم و بر بطلان آنها استدلال می‌کنیم. اما دو صورتی که صحیح است را در شکل های ۱۰ و ۱۴ همین مقاله مورد بحث قرار داده ایم لذا دو باره تکرار نمی‌کنیم.

ابطال صورت اول از سه صورت: ممکن نیست فقط یکی ار دایره های عظیمه واقع در کُره ـ که قوس های متشابه از دایره های متوازیه واقع در آن کره جدا کرده اند ـ از قطب های دایره های متوازیه عبور کرده باشد و عظیمه دیگر بر خود آن دو دایره عبور کرده باشد ( نه بر قطب های آن دایره ها ) یا با یکی از آنها مماس باشد.

مفروض ها:

الف: فقط دایره عظیمه (‌ ا،ه،ج ) از قطب های دایره های متوازیه عبور کرده است.

ب: دو دایره عظیمه ( ا،ه،ج ) و ( ب،ک،د ) همدیگر را در نقطه ( ک ) قطع کرده اند.

ج: چون فرض این است که فقط دایره (‌ ا،ه،ج ) از قطب دایره های متوازیه عبور کرده است پس نقطه تقاطع دو دایره عظیمه یعنی نقطه ( ک ) قطب دایره های متوازیه نیست. بلکه قطب دایره های متوازیه مذکور که به مقتضای فرض مذکور باید روی قوس (‌ ا،ه،ج ) باشد نقطه (‌ ل ) خواهد بود.

د: دو قوس (‌ ا،ب )‌ و (‌ ه،ز ) دو قوس از دایره های متوازیه هستند[126] که متشابه می‌باشند[127]

با توجه به این فرض های مدعای ما چنین است.

مدعا: چنین قوس های ( مثل قوس های (‌ ا،ب ) و ( ه،ز ) نمی‌توانند متشابه باشند.

آماده کردن شکل برای استدلال:

دایره عظیمه ( ل،ز،م ) را به گونه ای رسم می‌کنیم که از نقطه ( ل ) که قطب دایره های متوازیه است ، و همچنین از نقطه (‌ ز ) عبور کند و از گذشتن آن از این دو نقطه قوس ( ب،م ) و به عبارت دیگر قوس (‌ ا،م)

به وجود آید.

اثبات مدعا: قوس ( ه،ز ) ‌از دایره متوازیه ( ه،ز،ح،ط ) و قوس ( ا،م ) از دایره متوازیه ( ا،ب،ج،د ) که بین دو دایره عظیمه ای ( ا،ه،ج ، ل،ز،م ) که از قطب های آن ها گذشته اند واقع شده اند لذا به شکل ۱۰ مقاله ۲ متشابه اند[128] .

حال اگر قوس ( ه،ز ) و ( ا،ب ) نیز متشابه باشند لازم می‌آید که دو قوس ( ا،م ) و ( ا،ب ) با یک قوس یعنی با قوس ( ه،ز ) مشابه باشند. و چون دو مقدار مشابه با یک مقدار با هم مشابه هستند لازم می‌آید دو قوس

( ا،م ) و ( ا،ب ) متشابه باشند. و لکن تالی که تساوی این دو قوس باشد باطل است. زیرا با توجه به اینکه این دو قوس از یک دایره هستند تشابه آنها مستلزم تساوی آنها می‌باشد و تساوی آنها مستلزم تساوی کل و جزء است و این محال است.

لذا مقدم که تشابه دو قوس ( ه،ز ) و (‌ ا،ب ) باشد نیز محال است. لذا دو دایره عظیمه ( ا،ه،ج ) و ( ب،ک،د) که اولی از قطب های دایره های متوازیه و دومی از خود این دو دایره مرور کرده است نه از قطب های آنها دایره های نیستند که قوس های متشابه از دایره های متوازیه جدا کرده باشند.

ابطال صورت دوم از سه صورت:

ممکن نیست که فقط یکی از دایره های عظیمه واقع در کره ـ که قوس های متشابه از دایره های متوازیه واقع در همان کره جدا کرده اند ـ با یک دایره متوازیه مماس باشد و عظیمه دیگر از خود دایره های متوازیه یا از قطب آنها عبور کرده باشد.

مفروض ها:

الف: فقط یک دایره عظیمه ( ا،ه،ج ) با یکی از دایره های متوازیه یعنی با دایره ( ه،ز،ح،ط ) مماس است در نقطه ( ه )

ب: دایره عظیمه (‌ ا،ب،ک،د ) مماس نیست بلکه بر خود دایره های متوازیه یا بر قطب های آنها عبور کرده است.

ج: از تماس آن دو دایره و از عبور دو قوس ( ا،ب ) از دایره (‌ ا،ب،ج،د ) و قوس (‌ ه،ز ) از دایره ( ه،ز،ح،ط ) جدا شده و بین این دایره های عظیمه قرار گرفته است.

با توجه به این فرض ها مدعای ما این است.

مدعا: چنین قوس های نمی‌توانند متشابه باشند.

آماده کردن شکل برای استدلال:

دایره عظیمه ( ل،زن ) را به گونه ای رسم می‌کنیم که با دایره متوازیه (‌ه،ز،ح،ط ) در نقطه (‌ ز) مماس شود و از مماس شدنش قوس (‌ ل،ب ) و به عبارت دیگر قوس ( ا،ل ) به وجود آید[129]

اثبات مدعا:

قوس ( ه،ز ) از دایره متوازیه (‌ ه،ز،ح،ط ) و قوس ( ا،ل ) ‌از دایره متوازیه ( ا،ب،ج،د ) که بین دو نصف غیر متلاقی دو دایره عظیمه مماس ، یعنی بین دو دایره ( ا،ه،ج ) و ( ل،زن ) واقع شده اند به شکل ۱۴ مقاله ۲ مشابه اند[130]

حال که قوس ( ه،ز ) و قوس (‌ ا،ب ) نیز متشابه باشند لازم می‌آید که دو قوس (‌ ا،ل ) و (‌ ا،ب ) با یک قوس یعنی با قوس ( ز،ه ) مشابه باشند. و چون دو مقدار مشابه با یک مقدار خودشان نیز مشابه می‌باشند لازم می‌آید که دو قوس ( ا،ل )‌ و (‌ ا،ب ) نیز مشابه باشند. لکن تالی که تشابه این دو قوس باشد باطل است. زیرا با توجه به اینکه این دو قوس از یک دایره هستند تشابه آنها مستلزم تساوی هر دو قوس می‌باشند و چون تساوی دو قوس مستلزم تساوی کل و جزء است و تساوی کل و جزء باطل است لذا تساوی این دو قوس که مقدم باشد نیز باطل است.

پس دو قوس (‌ ه،ز ) و ( ا،ب ) نیز تشابه ندارند. در نتیجه دو دایره عظیمه ( ا،ه،ج ) و ( ب،ک،د ) که اولی با یکی از دایره های متوازیه مماس می‌باشد و دومی بر آنها یا بر قطب آنها عبور کرده است دایره های نیستند که قوس های متشابه از دایره های متوازیه جدا کرده باشند.

اثبات صورت سوم از سه صورت:

ممکن نیست دایره های عظیمه واقع در کره ـ که قوس های متشابهی از دایره های متوازیه واقع در ان کره را جدا کرده باشند ـ نه از قطب های آن متوازیه ها عبور کرده باشند و نه با یکی از آنها مماس باشند.

مفروض: هیچ کدام از دو دایره عظیمه ( ا،ه،ج ) و ( ب،ک،د ) بر قطب های دایره های متوازیه ( یعنی دایره های ( ا،ب،ج،د ) و ( ه،ز،ح،ط ) عبور نکرده اند. همچنین هیچ یک از این دایره های عظیمه با هیچ یک از این دایره های متوازیه مماس نیستند بلکه هر دو عظیمه از دایره های متوازیه عبور کرده اند و در اثر این عبور کردن قوس های ( ه،ز ) و ( ا،ب ) را از دو دایره ( ه،ز،ح،ط ) و ( ا،ب،ج،د ) جدا کرده اند[131]

مدعا: چنین قوس های نمی‌توانند متشابه باشند.

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: چون دایره عظیمه (‌ ا،ه،ج ) از قطب های دایره های متوازیه عبور نکرده است ، به عبارت دیگر فرض شد که از قطب های دایره ( ه،ز،ح،ط ) عبور نکرده است پس نسبت به دایره ( ‌ه،ز،ح،ط ) مایل می‌باشد. و چنین عظیمه ای به شکل ۸ مقاله ۲ [132] ا دو دایره مساوی که هر دو موازی ( ه،ز،ح،ط ) ‌هستند تماس پیدا می‌کند.

ما یکی از این دو دایره مساوی را که موازی دایره ( ه،ز،ح،ط ) است را رسم می‌کنیم اما از رسم نظیر آن صرف نظر می‌کنیم. و این دایره رسم شده ( ل،م،س ) است. پس دایره عظیمه ( ا،ه،ج ) با دایره ( ل،م،س )‌ در نقطه ( ل ) مماس است.

ب: دایره (‌ ل،م،س ) غیر عظیمه است به دلیل اینکه دایره عظیمه (‌ ا،ه،ج ) با آن مماس است. زیرا اگر دایره (‌ ل،م،س ) عظیمه می‌بود دایره عظیمه ( ا،ه،ج ) با آن تقاطع پیدا می‌کرد و به شهادت شکل ۱۲ مقاله [133] ۱ آن را نصف می‌کرد. و لکن بیان شد که دایره عظیمه ( ا،ه،ج ) با آن مماس شده است نه متقاطع. پس دایره

( ل،م،س ) غیر عظیمه است .

حال ما در بین این دایره غیر عظیمه ( ل،م،س ) و نظیر آن که ما آن را رسم نکرده ایم نقطه ( ز ) را فرض می‌کنیم و با توجه به شکل ۱۵ مقاله ۲ [134] دایره عظیمه (‌ ن،ز،م،ع ) را رسم می‌کنیم. که این دایره عظیمه از نقطه ( ز ) می‌گزرد و با دایره (‌ ل،م،س ) در نقطه (‌ م )‌ مماس است.

اثبات مدعا:

دو دایره عظیمه ( ا،ه،ج ) و ( ن،ز،م،ع ) با یکی از دوایر متوازیه یعنی با دایره (‌ ل،م،س ) ـ که با دایره های متوازیه (‌ ا،ب،ج ) و ( ه،ز،ح،ط ) قطب مشترک و موازی است ـ مماس اند[135] و دو دایره متوازیه ( ا،ب،ج،د ) و ( ه،ز،ح،ط ) را قطع کرده اند[136] پس به شکل ۱۴ مقاله ۲ [137] دو قوس ( ه،ز ) و ( ا،ن ) که از دو دایره متوازیه ( ه،ز،ح،ط ) و ( ا،ب،ج،د ) جدا شده اند متشابه می‌باشند.

حال اگر قوس ( ه،ز ) و ( ا،ب ) نیز متشابه باشند لازم می‌آید که دو قوس ( ا،ن ) و ( ا،ب ) متشابه باشند و لکن تالی که تشابه دو قوس ( ا،ن ) و ( ا،ب ) باشد باطل است. زیرا با توجه به اینکه این دو قوس از یک دایره هستند تشابه آنها مستلزم تساوی دو قوس می‌باشد و تساوی این دو قوس مستلزم تساوی جزء و کل است و تساوی کل و جزء بالبداهه باطل است. در نتیجه مقدم که تساوی دو قوس ( ه،ز ) و ( ا،ب ) است نیز باطل است.

پس دو دایره عظیمه (‌ ا،ه،ج ) و (‌ب،ک،د ) که نه از قطب دایره های متوازیه عبور کرده اند نه با یکی از آنها مماس شده اند دایره های نیستند که که قوس ها متشابه از دایره های متوازیه جدا کنند. و هو المطلوب. توجه: بعد از اثبات بطلان هر سه فرض مذکور می‌گوییم: در هر سه صورت قوس (‌ ه،ز ) را با قوسی که مغایر قوس ( ا،ب ) بود و نسبت به قوس (‌ ا،ب ) ‌جزء و کل به حساب می‌آمد مشابه کردیم و گفتیم: اگر قوس ( ه،ز ) با قوس (‌ ا،ب ) مشابه باشند تساوی کل و جزء‌ لازم می‌آید و با توجه به بطلان این لازم نتیجه گرفتیم که قوس (‌ ه،ز ) با قوس ( ا،ب ) مشابه نیست و به این نتیجه رسیدیم که دایره های عظیمه ای که در این سه صورت مطرح شده اند نمی‌توانند از دوایر متوازیه قوس های متشابه جدا کنند. بلکه دو دایره عظیمه که می‌توانند از دایره های متوازیه قوس های متشابه جدا کنند منحصرا دو دایره ای هستند که یا هر دو از قطب های متوازیه ها عبور کرده باشند ( چنانچه در شکل ۱۰ همین مقاله بیان شد ) یا هر دو با یکی از دایره های متوازیه مماس باشند ( چنانچه در شکل ۱۴ همین مقاله بیان شد ).

*شکل یز*

مفروض ها:

الف: دو دایره ( ا،ح،ب ) و ( ج،ک،د ) در یک کره واقع شده و متوازی اند.

ب: دایره ( ه،ط،ز ) عظیمه ای است که در همان کره بین دو متوازیه واقع شده است و با هر یک از آن دو موازی است[138]

ج: دایره ( ا،ج،د،ب ) عظیمه دیگری است که در همان کره واقع است و دایره عظیمه ( ه،ط،ز ) را در نقطه دو نقطه ( ز ) و ( ه ) قطع کرده است. همچنین این دایره عظیمه دو دایره غیر عظیمه یعنی ( ا،ح،ب ) را در دو نقطه ( ا ) و ( ب ) و دایره ( ج،ک،د ) را در دو نقطه ( ج‌ ) و ( د ) قطع کرده است.

د: تقاطعی که بین دایره عظیمه ( ا،ج،ب،د ) و هر یک از سه دایره متوازیه ( ا،ح،ب ) و (‌ ج،ک،د )‌ و ( ه،ط،ز) به وجود آمده است باعث شده که دو دایره متوازیه ( ا،ح،ب ) و ( ج،ک،د ) در دو طرف دایره عظیمه

( ه،ط،ز ) از دایره ( ا،ج،ب،د ) دو قوس جدا کنند. به این صورت که دایره ( ا،ح،ب ) در یک طرف دایره عظیمه (‌ ه،ط،ز ) از دایره ( ا،ج،د،ب ) قوسی را جدا کنند و دایره ( ج،ک،د )‌ نیز در یک طرف دایره ( ه،ط،ز‌) از دایره (‌ ا،ج،د،ب ) قوسی را جدا کرده است.

ه: همچنین تقاطعی که بین دایره عظیمه (‌ ا،ج،د،ب ) و هر یک از سه دایره متوازیه ( ا،ح،ب ) و ( ج،ک،د ) و ( ه،ط،ز ) به وجود آمده است باعث شده است که سه فصل مشترک که عبارت اند از سه خط[139] ( ا،ب ) و

( ه،ز ) و ( ج،د ) به وجود آیند.

با توجه به این مفروض ها دو مدعا داریم.

مدعا اول: اگر دو قوسی که در دو طرف دایره عظیمه ( ه،ط،ز ) جدا شده اند مساوی باشند. به عنوان مثال اگر دو قوس ( ب،ز ) و ( ز،د ) مساوی باشند دو دایره متوازیه ( ا،ح،ب ) و ( ج،ک،د ) ـ که فاصله آنها تا دایره عظیمه ( ه،ط،ز ) مساوی است ـ با هم مساوی خواهند بود

مدعای دوم: اگر دو قوسی که در دو طرف دایره عظیمه ( ه،ط،ز ) جدا شده اند متفاوت باشند این دو دایره متوازیه نیز مساوی نخواهند بود. به این صورت که اگر قوسی بزرگتر از قوس دیگر باشد قهرا دایره ای که در سمت قوس بزرگتر قرار دارد کوچکتر از دایره ای است که در سمت قوس کوچکتر قرار دارد و بالعکس.

بیان مدعا به صورت کلی: دایره های متوازیه ای که در کره ای واقع می‌شوند اگر از دایره های عظیمه ای که آن را قطع کرده اند در دو طرف دایره عظیمه دیگر همان کره که با آن متوازیه ها موازی است قوس ها مساوی جدا کنند با هم مساوی خواهند بود. و اگر قوس های متفاوت جدا کنند آن دایره متوازیه ای که قوس بزرگتری جدا کرده است کوچکتر است.

دلیل بر مدعای اول[140]

توجه: در فرضی که مدعای اول را داریم. یعنی در فرض تساوی دو قوس ( ب،ز ) و ( ز،د ) یا تساوی دو قوس ( ا،ه ) و (‌ ه،ج ) که بحث فعلی ما نیز در همین فرض است یکی از دو اتفاق می‌افتد.

الف: دایره (‌ ا،ج،ب،د ) یا از قطب های دایره های متوازیه عبور می‌کند.

ب: و یا دایره ( ا،ج،د،ب ) از قطب های دایره های متوازیه عبور نمی‌کند.

و ما باید مدعا را در هر دو حالت ثابت کنیم. بنابراین برای اثبات مدعای اول لازم است دو بحث را مطرح کنیم.

بحث اول: اقامه دلیل بر تساوی دو دایره متوازیه (‌ ا،ب،ح )‌ و ( ج،ک،د ) در فرضی است که اولاً دو قوس

( ب،ز ) و ( ز،د ) یا ( ا،ه )‌ و (‌ ه،ج ) مساوی باشند. ثانیاً دایره عظیمه ( ا،ج،د،ب ) از قطب های دایره های متوازیه عبور کرده باشد.

اقامه دلیل در ضمن ۸ مرحله:

مرحله اول: در مفروض شماره (‌ الف ) و ( ب ) گفتیم سه دایره ( ا،ح،ب ) و ( ج،ک،د ) و ( ه،ط،ز ) سه سطح متوازی هستند. و در مفروض شماره ( ه ) گفتیم سه خط (‌ ا،ب ) و ( ج،د ) و ( ه،ز ) سه فصل مشترک بین این سه سطح می‌باشند. به عبارت دیگر این سه خط بر سطح های مذکور مماس هستند. در نتیجه این سه خط به شکل ۱۶ مقاله ۱۱[141] اصول مثل آن سه سطح متوازی اند.

مرحله دوم: از موازی بودن دو خط ( ج،د ) و ( ه،ز ) تساوی دو قوس ( ه،ج ) و ( ز،د ) و موازی بودن دو خط ( ه،ز ) و ( ا،ب ) تساوی دو قوس ( ا،ه ) و ( ب،ز ) را به دست می‌آوریم.

توضیح: دو خط ( ج،د ) و ( ه،ز ) موازی ان. ما نقطه ( ه ) را به نقطه ( د ) وصل می‌کنیم تا خط ( ه،د ) که قاطع این دو متوازی است به وجود آید. و دو زاویه ( ج،د،ه ) و ( د،ه،ز ) درست شود. این دو زاویه به مدعای اول شکل ۲۹ مقاله ۱ اصول[142] مساوی اند. در نتیجه به شکل ۲۵ مقاله ۳ اصول [143] قوس های مقابل این زاویه های یعنی قوس های ( ه،ج ) و ( ز،د ) نیز مساوی خواهند بود.

همچنین دو خط ( ه،ز ) ( ا،ب ) متوازی اند. ما نقطه (‌ ا ) را به نقطه ( ز ) وصل می‌کنیم تا خط ( ا،ز ) که قاطع این دو متوازیه است وجود بگیرد و دو زاویه ( ه،ز،ا ) و ( ز،ا،ب ) درست شوند. این دو زاویه به مدعای اول شکل ۲۹ مقاله ۱ اصول مساوی اند. پس به شکلل ۲۵ مقاله ۳ اصول قوس های مقابل آنها یعنی دو قوس ( ر،ه ) و ( ب،ز ) نیز مساوی خواهند بود.

مرحله سوم: وقتی ثابت شده که دو قوس ( ه،ج ) و (‌ ز،د ) با هم و دو قوس ( ا،ه ) و ( ب،ز ) با هم مساوی اند. با توجه به اینکه به فرض دو قوس (‌ ب،ز ) و ( ز،د ) یا دو قوس ( ا،ه )‌ و ( ه،ج ) یا هم مساوی اند نتیجه می‌گیریم که هر چهار قوس با هم برابراند. لذا نتیجه می‌گیریم که مجموع دو قوس ( ا،ه ) و ( ب،ز ) با مجموع دو قوس ( ه،ج ) و ( ز،د ) برابراند.

مرحله چهارم: دو دایره عظیمه ( ‌ه،ط،ز ) و ( ا،ج،د،ب ) در یک کره واقع شده اند لذا به شکل ۱۲ مقاله ۱ [144] همدیگر را نصف کرده اند. پس قوس های ( ه،ل،ز ) و ( ه،م،ز ) به خاطر اینکه هر کدام نصف محیط دایره هستند با هم مساوی اند.

مرحله پنجم: مجموع دو قوس (‌ ا،ه ) و ( ب،ز ) را از قوس ( ه،ل،ز ) و مجموع دو قوس ( ه،ج )‌ و ( ز،د ) را از قوس ( ه،م ) کم می‌کنیم. باقی می‌ماند دو قوس ( ا،ل،ب ) و ( ج،م،د ) . از آنجا که مفروق منه ها به شهادت آنچه در مرحله چهارم گذشت مساوی اند و مفروق ها نیز به شهادت آنچه در مرحله سوم گذشت مساوی اند در نتیجه باقی مانده ها نیز مساوی خواهند بود. پس (‌ ا،ل،ب )‌ = ( ج،م،د ) است.

مرحله ششم: چون دو قوس ( ا،ل،ب ) و ( ج،م،د ) با هم مساوی اند پس به شکل ۲۹ مقاله ۳ اصول[145] وتر های آنها نی با هم مساوی است. یعنی دو خط ( ا،ب ) و ( ج،د ) با هم مساوی اند.

مرحله هفتم: فرض کردیم که دیره عظیمه ( ا،ج،د،ب ) از قطب های دایره های متوازیه عبور کرده است. پس به شکل ۱۶ مقاله ۱ [146] دایره های متوازیه ( ا،ب،ح ) و ( ج،ک،د ) را نصف کرده است ـ همچنین دایره عظیمه (‌ ه،ط،ز ) را نصف کرده است لکن ما به این دایره فعلا احتیاجی ندریم ـ پس دو نقطه ( ا‌ ) و ( ب ) روی نصف محیط دایره ( ا،ح،ب ) واقع شده اند. در نتیجه خط ( ا،ب ) که این دو نقطه را به هم وصل می‌کند قطر دایره ( ا،ح،ب ) است. همچنین دو نقطه ( ج ) و ( د ) روی نصف محیط دایره ( ج،ک،د ) واقع شده اند پس خط ( ج،د ) که این دو نقطه را به هم وصل کرده است قطر دایره ( ج،ک ) است.

مرحله هشتم: از آنچه در مرحله هفتم بیان شده به دست آمد که دو خط ( ا،ب ) و ( ج،د ) دو قطر دو دایره ( ا،ب،ح ) و ( ج،ک،د ) هستند. و از آنچه در مرحله ششم بیان شد به دست آمد که این دو خط مساوی اند. از جمیع این دو مطلب نتیجه می‌گیریم که دو دایره ( ا،ب،ح ) و ( ج،ک،د ) قطر های مساوی دارند.

و می‌دانیم دایره های که قطر های مساوی داشته باشند با هم مساوی اند. در نتیجه دو دایره متوازیه

( ا،ب،ح ) و ( ج،ک،د ) با هم مساوی اند. و هو المطلوب.

بحث دوم: بحث دوم ما اقامه دلیل بر تساوی دو دایره متوازیه ( ا،ب،ح ) و ( ج،ک،د ) است در فرضی که اولاً دو قوس ( ب،ز ) و ( ز،د ) یا دو قوس ( ا،ه ) و ( ه،ج ) مساوی باشند. ثانیاً دایره عظیمه ( ا،ج،د،ب ) از قطب های این دایره های متوازیه عبور نکرده باشد.

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: قطب دایره های متوازیه را تعیین می‌کنیم و آن را نقطه ( ن ) فرض می‌کنیم.

ب: به کمک شکل ۲۱ مقاله ۱ دایره عظیمه ( ل،ن،م،س ) را به گونه ای رسم می‌کنیم که از قطب دایره های متوازیه که نقطه ( ن ) است و از قطب دایره عظیمه ( ا،ج،د،ب ) عبور کند.

ج: قوس ( ل،ن،م،س ) از این دایره عظیمه را که رسم شده است مورد توجه قرار می‌دهیم و از آن قوس

( م،س ) را به اندازه قوس ( ل،ن ) جدا می‌کنیم و می‌گوییم: قوس ( ن،م ) بین دو قوس ( ل،م ) و ( ن،س ) مشترک است. حال اگر به این مشترک قوس ( ل،ن ) را اضافه کنیم قوس ( ل،م ) به دست می‌آید. و اگر قوس ( م،س ) را اضافه کنیم قوس ( ن،س ) به دست می‌آید. و از آنجا که دو قوس ( ل،ن ) و ( م،س )‌ مساوی اند قوس های به دست آمده بعد از اضافه کردن نیز مساوی خواهند بود. پس ( ل،م ) = ( ن،س ) است. و لکن ( ل،م )‌ نصف دایره است[147] در نتیجه مساوی آن یعنی قوس ( ن،س ) نیز نصف دایره است. لذا با توجه به مساوی بودن این دو قوس و با توجه به اینکه فاصله بین دو قطب هر دایره ای نصف دایره است کشف می‌کنیم که نقطه ( س ) قطب دیگر دایره متوازیه ( ا،ب،ح ) و ( ج،ک،د ) است. پس یک قطب آنها نقطه ( ن ) و قطب دیگر آنها نقطه ( س ) است.

اثبات مدعا در ضمن ۵ مرحله:

مرحله اول: در بحث اول در طی ۵ مرحله ثابت کردیم که دو قوس (‌ ا،ل،ب ) و ( ج،م،د ) با هم مساوی اند. در این بحث نیز همان مطالب تکرار می‌شود تا تساوی این دو قوس نتیجه گرفته شود[148]

مرحله دوم: دایره عظیمه ( ا،ج،د،ب ) و دایره متوازیه ( ج،ک،د ) متقطع اند و دایره عظیمه ( ل،ن،م،س ) به عمل از قطب های آن دو گذشته است. در نتیجه دایره عظیمه ( ل،ن،م،س ) به شکل ۹ مقال ۲ [149] قطعه

( ا،ل،ب ) را در نقطه ( ل ) و قطعه ( ج،م،د ) را در نقطه ( م ) نصف کرده است. و در بحث اول ثابت کردیم این دو قطعه مساوی اند. لذا نتیجه می‌گیریم که نصف های آنها نیز مساوی اند. یعنی قوس های ( ج،م ) و

( م،د ) و ( ا،ل ) و ( ل،ب ) مساوی اند. لکن آنچه ما به آن احتیاج داریم تساوی دو قوس ( ا،ل ) و ( م،د ) است.

مرحله سوم: دایره عظیمه ( ل،ن،م،س ) که به عمل بر دو قطب دایره عظیمه ( ا،ج،د،ب ) یعنی بر دو نقطه

( ن ) و ( س ) گذشته است بر روی قطر دایره ( ا،ج،د،ب ) دو قطعه به وجود آورده است که یک قطعه قوس اش ( ل،ط،م ) است که در طرفی از این دایره و روی قطر آن ساخته شده است. و قطعه دیگر که در مقابل این قطعه است را در طرف دیگر این دایره و بر روی قطر آن ساخته است به گونه ای که هر دو قطعه به شکل ۱۶ مقاله ۱ بر سطح دایره ( ا،ج،د،ب ) قائم و عمود شده اند.

از قطعه ای که آن را ( ل،ط،م ) نامیده ایم قوس (‌ ل،ن )‌ و از قطعه دوم که مقابل قطعه ( ل،ط،م ) است قوس ( م،س ) را جدا می‌کنیم. دو قوس ( ل،ن )‌ و ( ن،س ) اولاً به عمل مساوی هستند ثانیاً کمتر از ربع دایره های خود هستند به دو بیان.

بیان اول: اگر ( ل،ن )‌ یا ( م،س ) ربع دایره باشند با توجه به اینکه دایره ( ا،ج،د،ب ) عظیمه است و قطب هر دایره عظیمه ای تا محیط آن به اندازه ربع دایره فاصله است لازم می‌آید که نقطه ( ن ) یا نقطه ( س ) که قطب دایره های متوازیه هستند قطب دایره ( ا،ج،د،ب ) نیز باشند. و اگر چنین باشد با توجه به اینکه دو دایره متوازیه و دایره ( ا،ج،د،ب ) متقاطع هستند لازم می‌اید که دو دایره متقاطع قطب مشترک داشته باشند و ایین محال است. در نتیجه قطب بودن نقطه ( ن ) یا نقطه ( س ) برای دایره ( ا،ج،د،ب ) و در نتیجه به اندازه ربع بودن قوس ( ل،ن ) یا ( م،س ) محال است. لذا هر کدام از این دو قوس کمتر از ربع دایره می‌باشند.

بیان دوم: اگر (‌ ل،ن )‌ ربع دایره باشد ـ با توجه به اینکه ( ن،ط ) که فاصله قطب دایره عظیمه (‌ ه،ط،ز ) تا محیط آن است و ربع دایره می‌باشند ـ لازم می‌آید که ( ل،ط ) نصف باشد و ( ل،ط،م ) بزرگتر از نصف باشد در حالی که ( ل،ط،م ) نصف دایره عظیمه ( ل،ن،م،س ) است. همچنین اگر ( م،س ) ربع باشد با توجه به اینکه ( س، و نظیر ط )[150] ربع دایره است، لازم می‌آید که ( م،ط، ) یا بهتر بگوییم ( م،ط،س ) نصف باشد و (‌ م،ط،س،ل ) از پشت دایره ( ا،ج،د،ب ) بزرگتر از نصف باشد. در حالی که ( م،ط،س،ل ) نصف دایره عظیمه ( ل،ن،م،س ) است و

بعد از اینکه معلوم شد ( ل،ن ) و ( م،س ) مساوی و کمتر از ربع دایره اند می‌گوییم: دو قوس ( ا،ل ) و

( د،م ) که بر روی دایره عظیمه ( ا،ج،د،ب ) واقع شده اند ـ همانگونه که در مرحله دوم گذشت ـ مساوی اند.

حال خط ( ا،ن ) را از نقطه فصل قطعه اول که نقطه ( ن ) است به محیط دایره ( ا،ج،د،ب ) یعنی نقطه ( ا ) وصل می‌کنیم. همچنین خط ( س،د ) را از نقطه فصل مشترک قطعه دوم که نقطه ( س ) است به محیط دایره ( ا،ج،د،ب ) یعنی نقطه ( د ) وصل می‌کنیم. با توجه به شکل ۱۲ مقاله ۲ [151] می‌گوییم دو خط ( ا،ن ) و

( س،د ) برابراند[152]

مرحله چهارم: خط (‌ ا،ن ) همانگونه که به تعبیری نقطه فصل قطعه اول را به محیط دایره ( ا،ج،د،ب ) وصل می‌کند و به تعبیر دیگر قطب دایره ( ا،ح،ب ) که نقطه ( ن ) باشد را به محیط این دایره که نقطه ( ا‌ ) باشد وصل می‌کند. همچنین خط ( س،د ) که به تعبیری نقطه فصل قطعه دوم را به محیط دایره

( ا،ج،د،ب ) وصل می‌کند و به تعبیر دیگر قطب دایره ( ج،ک،د ) را که نقطه ( س ) است را به محیط آن که نقطه ( د ) است وصل می‌کند. بنابراین با توجه به تساوی این دو خط می‌توانیم بگوییم: خطی که قطب دایره ( ا،ب،ح ) را به محیطش وصل می‌کند مساوی است با خطی که قطب دایره ( ج،ک،د ) را به محیط اش وصل می‌کند.

مرحله پنجم: قطب دایره ( ا،ب،ح ) که نقطه (‌ ن )‌ است نقطه ای است که بر سطح داخلی کره ای که این دایره در آن است، همچنین قطب دایره ( ج،ک،د ) که نقطه ( س ) است نقطه ای است که بر سطح داخلی کره ای که این دایره در آن است ( هر دو دایره در یک کره اند پس قطب های آنها نیز در یک کره است لکن مقابل یکدیگر قرار گرفته اند ) بنابراین خطی که از قطب دایره ( ا،ب،ح ) به محیط آن وصل می‌شود یعنی خط ( ا،ن ) فاصله این دایره تا آن نقطه سطح داخلی کره و در نتیجه فاصله این دایره تا مرکز را نشان می‌دهد. همچنین خطی که از قطب دایره ( ج،ک،د ) به محیط آن وصل می‌شود که خط ( س،د ) است فاصله این دایره تا آن نقطه سطح داخلی کره و در نتیجه فاصله این دایره تا مرکز کره را نشان می‌دهد. بنابراین تساوی این دو خط ( ا،ن ، س،د ) که درمرحله چهارم ثابت شد نشان می‌دهد که فاصله دایره ( ا،ب،ح ) تا مرکز کره با فاصله دایره ( ج،ک،د )‌تا مرکز مساوی است. پس به کمک مدعای دوم شکل ۶ مقاله ۱[153] خود دو دایره متوازیه ( ا،ب،ح ) و ( ج،ک،د ) با هم مساوی اند. و هو المطلوب.

دلیل بر مدعای دوم:

مدعا دوم کوچکتر بودن دایره ( ج،ک،د ) از دایره ( ا،ب،ح ) است در صورتی که قوسی که از دایره عظیمه

( ا،ج،د،ب ) در یک طرف دایره عظیمه ( ‌ه،ط،ز ) جدا می‌کند بلند تر باشد از قوسی که دایره ( ا،ح،ب ) از همان دایره عظیمه ( ا،ج،د،ب ) در طرف دیگر دایره ( ه،ط،ز ) جدا می‌کند. به عبارت خلاصه تر: به شرط اینکه قوس ( د،ز ) بزرگتر از قوس ( ز،ب ) یا قوس ( ه،ج ) بزرگتر از قوس ( ا،ه ) باشد.

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: از قوس (‌ د،ز ) که بزرگتر از قوس ( ب،ز ) است قوس ( ز،ع ) را به اندازه قوس ( ب،ز ) جدا می‌کنیم.

ب: دایره ( ع،ق،ف ) را چنان رسم می‌کنیم که اولاً با دایره عظیمه ( ه،ط،ز ) مشترک در قطب باشد ثانیاً از نقطه ( ع ) عبور کند.

اثبات مدعا در ضمن دو مرحله:

مرحله اول: دایره ( ع،ق،ف ) به گونه ای رسم شده است که از دایره عظیمه ( ا،ج،د،ب ) قوسی جدا کند که قوسی باشد که دایره ( ا،ب،ح ) از این دایره عظیمه جدا کرده است. بنابراین مثل دایره ( ج،ک،د ) در فرض قبل می‌باشد. در نتیجه دلیلی که مدعای قبل را ثابت می‌کرد ثابت می‌کند که دایره ( ع،ق،ف ) با دایره

( ا،ب،ح ) مساوی است به همان بیانی که ثابت کرد دایره ( ج،ک،د ) با ( ا،ب،ح )‌ مساوی است.

مرحله دوم: دایره ( ع،ق، ف ) چون بین دایره ( ج،ک،د ) و دایره عظیمه ( ه،ط،ز ) که مرکز آن مرکز کره است واقع شده است لذا از دایره ( ج،ک،د ) به مرکز کره نزدیک تر است. در نتیجه به مدعای سوم شکل ۶ مقاله ۱ [154] از دایره ( ج،ک،د ) بزرگتر است. به عبارت دیگر:‌ دایره ( ج،ک،د ) از آن کوچکتر است. بنابراین مساوی این دایره که ( ا،ب،ج ) است نیز از دایره ( ج،ک،د ) بزرگتر است. به عبارت دیگر دایره ( ج،ک،د ) از ( ع،ق،ف ) کوچکتر است و هم المطلوب.

*شکل یح*

مفروض ها:

الف: دو دایره ( ا،ب ) و ( ج،د ) متوازی هستند ـ به این معنی که قطب مشترک دارند ـ که در یک کره قرارگرفته اند.

یک بار فرض می‌کنیم که این دو دایره متساوی نیز هستند و بار دیگر فرض می‌کنیم که مثلا ( ا،ب ) بزرگتر از دایره ( ج،د )‌ است یا بالعکس.

ب: دایره ( ه،ز ) عظیمه همان کره است که با آن دو دایره متوازی ، موازی است. یعنی در قطب مشترک هستند.

ج: دایره ( ا،ب،ج،د ) دایره عظیمه دیگر آن کره است که هم دایره عظیمه ( ه،ز ) را قطع کرده است و هم دو دایره متوازیه ( ا،ب‌ ) و ( ج،د ) را قطع کرده است.

د: دو دایره متوازیه ( ا،ب ) و (‌ ج،د ) از دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) در دو طرف دایره ( ه،ز ) دو قوس ( ا،ه ) و ( ه،ج ) و نیز دو قوس ( ب،ز ) و ( ز،د ) را جدا کرده اند[155]

مدعای اول: در صورتی که دو دایره متوازیه ( ا،ب ) و ( ج،د ) مساوی باشند، دو قوسی که از دو طرف دایره عظیمه ( ه،ز ) از دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) جدا می‌کنند مساوی اند. یعنی دو قوس ( ا،ه ) و ( ه،ج ) یا دو قوس ( ب،ز ) و ( ز،د ) با هم مساوی هستند.

مدعای دوم: در صورتی که مثلا دایره ( ا،ب ) بزرگتر از دایره ( ج،د ) است از دو قوس که این دو دایره جدا کرده اند ـ آن دو تای که (‌ ا،ب ) را جدا کرده اند کوتاهتر از آن دو تای است که ( ج،د ) کرده اند بلند تر اند ـ یعنی قوس ( ا،ه ) کوتاهتر از قوس ( ه،ج ) و به عکس قوس ( ه،ج ) بلندتر از قوس ( ا،ه ) است. همچنین قوس ( ب،ز ) کوتاهتر از قوس ( ز،د ) و بالعکس قوس ( ز،د ) بلندتر از قوس ( ب،ز ) است.

بیان مدعا به صورت کلی: دایره های متوازیه واقع در یک کره که از دایره عظیمه ای که در دو طرف دایره عظیمه دیگر قوس هائی جدا می‌کنند ـ اگر با هم مساوی باشند ـ قوس هائی هم که از دو طرف آن دایره عظیمه جدا کرده اند با هم مساوی می‌باشند. و اگر یکی از آنها بزرگتر باشد قوسی که جدا می‌کند کوتاهتر می‌باشد.

دلیل بر مدعای اول: ( مدعای اول تساوی دو قوس در فرض تساوی دو دایره جدا کننده آنها بود )

مقدم: اگر این دو قوس مساوی نباشند یعنی یکی بزرگتر و یکی کوچکتر باشد تالی: به شهادت شکل ۱۷ مقاله ۲ دو دایره جدا کننده این قوس ها مساوی نیستند بلکه یکی بزرگتر و یکی کوچکتر خواهد بود.

و لکن التالی یعنی ( مساوی نبودن دو دایره جدا کننده قوس ها است ) خلف فرض و باطل است.

در نتیجه مقدم یعنی ( مساوی نبودن دو قوس جدا شده در دو طرف دایره عظیمه ( ه،ز ) نیز باطل است.

بنابراین در فرض تساوی دو دایره جدا کننده دو قوس جدا شده تساوی دارند و هو المطلوب الاول.

دلیل بر مدعای ثانی:( مدعای دوم کوچکتر بودن یک قوس درفرض بزرگتر بودن دایره ای که آن را جدا کرده است می‌باشد. )

مقدم: اگر قوسی که به وسیله دایره بزرگتر جدا شده است کوچکتر از قوس دیگر نباشد بلکه مساوی و یا بزرگتر باشد تالی: به شکل ۱۷ مقاله ۲ لازم می‌آید که دایره جدا کننده آن نیز با دایره دیگر مساوی و یا از آن کوچکتر باشد. و لکن تالی یعنی ( مساوی بودن دایره جدا کننده قوس کوچکتر با دایره دیگر و یا کوچکتر از آن بودنش ) خلف فرض و محال است. در نتیجه مقدم یعنی ( بزرگتر نبودن قوسی که به وسیله دایره بزرگتر جدا شده ) نیز باطل است. بنابراین باید قوسی که به وسیله دایره بزرگتر جدا می‌شود کوچکتر باشد و هو المطلوب الثانی.

*شکل یط*

مفروض ها:

الف: دایره ( ا،ب،ج،د ) عظیمه ای است در کره ای و سه دایره ( ا،د ) ، ( ه،ز ) و ( ب،ج ) سه دایره متوازیه همان کره می‌باشند.

توجه: از میان این سه دایره متوازیه ، دایره (‌ ه،ز ) عظیمه است و دایره های ( ا،د ) و ( ب،ج ) با هم مساوی و هر دو غیر عظیمه هستند.

ب: دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) سه دایره متوازیه را قطع کرده است و لکن از قطب های این سه دایره ( که قطب مشترک دارند ) عبور نکرده است. لذا این عظیمه نسبت به سه متوازیه مایل است نه عمود.

ج: نقطه ( ح ) قطب ظاهر سه دایره متوازیه مذکور می‌باشد و نقطه مقابل قطب خفی آنها می‌باشد.

با توجه به این سه مفروش مدعا های ما عبارت اند از.

مدعای اول: دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) سه دایره متوازیه را قطع کرده است[156] . به این صورت که بزرگترین آن دایرهای متوازیه را که در مثال ما ( ه،ز ) است و عظیمه می‌باشد را نصف کرده است[157] اما ما بقی دایره های متوازیه را به دو قسم نا مساوی تقسیم کرده است.

توجه: دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) اگر بر این سه دایره عمود بود هر سه را نصف ( به دو قسم مساوی تقسیم ) می‌کرد. ولی چون بر آنها مایل وارد شده است فقط دایره عظیمه را به دو قسم مساوی تقسیم کرده است و سایر دایره های متوازیه را به قسم های غیر مساوی تقسیم کرده است[158]

مدعای دوم: قطعه هائی از دو دایره متوازیه که در یک نصف از دو نصف کره بین بزرگترین دایره از دوایر متوازیه که در مثال ما دایره ( ه،ز ) است و قطب ظاهر این دوایر واقع می‌شوند بزرگتر از نصف دایره اند. و قطب های که در نصف دیگر کره بین بزرگترین دایره از دوایر متوازیه و قطب خفی این دوایر واقع می‌شوند کوچکتر از نصف دایره اند.

توضیح ذلک: کره ای را فرض کنید که در آن از بالا به پایین به ترتیب دایره غیر عظیمه ( ا،د ) و عظیمه ( ه،ز ) و دایره غیر عظیمه ( ب،ج ) واقع شده اند و یک قطب آنها را نقطه ( ح ) که در قسمت عالی کره است فرض کنید. و قطب دیگر آن را نقطه مقابل ( ح ) و در قسمت سافل کره قرار دهید. واضح است که دایره ( ه،ز ) عظیمه است در وسط کره قرار می‌گیرد لذا در بالای آن نصف کره و در پایین آن نصف دیگر کره واقع می‌شود. و دایره غیر عظیمه ( ا،ر ) را در بالای آن و دایره غیر عظیمه ( ب،ج ) را در نصف پایین آن فرض می‌کنیم. حال دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) را به صورت مایل بر این سه دایره متوازیه به گونه ای وارد می‌کنیم که وقتی مقابل کره می ایستیم نقطه ( ح ) که قطب بالائی از دایرها است را جلو و قسمت عالی این دایره عظیمه را خلف آن ببینیم. یعنی دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) را به گونه ای فرض می‌کنیم که قطب عالی آنها که نقطه ( ح ) است را نپوشانده باشد بلکه این عظیمه در پشت نقطه ( ح ) واقع شده باشد و نقطه( ح ) برابر ما که در مقابل کره ایستاده ایم ظاهر باشد.

روشن است که این دایره چون نسبت به سه دایره متوازیه مایل است قسمت پائینی آن ـ بر خلاف قسمت بالائی آن که به پشت میل کرده است ـ به جلو میل کرده است و قطب پایینی این سه دایره متوازیه به پشت این قسمت پائینی دایره قرار می‌گیرد. و برای شما که در مقابل کره ایستاده اید مخفی می‌باشد.

توجه کنید:

در مدعای اول گفتیم: دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) که به صورت مایل بر سه دایره متوازیه وازد شده است و آنها را قطه کرده است متوازه عظیمه از این سه دایره که ( ه،ز ) است را نصف کرده است به گونه ای که نصف دایره ( ه،ز ) در جلوی دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) واقع شده است و نصف دیگر آن در پس این عظیمه قرار دارد. از این جا نتیجه گرفتیم که دایره عظیمه ( ه،ز ) به دو قسم مساوی تقسیم شده است.

همچنین بیان شده که دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) که به صورت مایل بر این سه دایره متوازیه وارد شده است و آنها را قطع کرده است دایره غیر عظیمه ( ا،د ) را که در نصف بالای کره و روی دایره ( ه،ز ) قرار گرفته است و همچنین دایره غیر عظیمه ( ب،ج ) را که در نصف پایین کره و زیر دایره ( ه،ز ) قرار گرفته است را به دو قسم نامساوی تقسیم کرد است.

اکنون برای توضیح تقسیم نامساوی این دو دایره می‌گوییم: از آنجا که دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) اینگونه فرض شد که قسمت فوقانی آن به سمت پشت کره است قسمت تحتانی آن به سمت جلوی کره مایل است پس دایره (‌ ا،د ) که در بالا واقع شده است را به گونه ای قطع می‌کند که قوس جلوی این دایره بزرگتر از قوس پشتی آن باشد. به عبارت دیگر آن را به گونه ای قطع می‌کند که قوس جلوی آن بزرگتر از نصف دایره و قوس پشتی آن کوچکتر از نصف دایره باشد.

اما دایره ( ب،ج ) که در پایین کره واقع شده است را به گونه ای قطع می‌کند که قوس جلوی آن کوچکتر از قوس پشت آن باشد. این بود تمام آنجه در مدعای اول بیان کردیم.

حال در مدعای دوم گوییم: با توجه به اینکه قطعه از قوس و وتر به وجود می‌آید ( به عبارت دیگر حکم قطعه حکم قوس است ) می‌گوییم: وقتی دایره ( ا،ب،ج،د ) به صورت مایل بر سه دایره متوازیه وارد می‌شود و آنها را قطع می‌کند دو قطعه ای که با قطع شدن دایره عظیمه ( ه،ز ) در طرف جلو و عقب کره درست می‌شود مساوی می‌باشند ( هر کدام به اندازه نصف دایره هستند ) و لکن دو قطعه ای که با قطع شدن دایره غیر عظیمه ( ا،د ) در بالای کره یعنی روی دایره عظیمه ( ه،ز ) در طرف جلو و عقب کره درست می‌شوند مساوی نیستند. همچنین دو قطعه ای که با قطع شدن دایره غیر عظیمه ( ب،ج ) در نصف پایین کره یعنی در زیر دایره عظیمه ( ه،ز ) در قسمت جلو و عقب کره درست می‌شوند مساوی نیستند. بلکه در دایره ( ا،د ) قوس قسمت جلوی آن بزرگتر از قوس قسمت عقب آن می‌باشد و در دایره ( ب،ج ) قوس قسمت جلوی آن کوچکتر از قوس قسمت عقب آن می‌باشد[159]

توجه کنید: از آنجا که قوس و قطعه تقریبا یکی هستند و حکم آنها واحد است در نتیجه ما این دو مدعا را با هم مدعای اول حساب می‌کنیم و استدلالی که مطرح می‌کنیم مربوط به هر دو مدعا خواهد بود نه اینکه هر یک را به صورت جداگانه ثابت کنیم.

مدعای سوم: قطعه های که اولاً متبادل هستند ثانیاً از دو دایره متساوی هستند با هم مساوی خواند بود.

توضیح ذلک: در مدعای دوم بیان شد که دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) بر دایره های متوازیه ( ا،د ) و ( ه،ز ) و ( ب،ج ) به صورت مایل وارد شده است و هر یک از دو دایره ( ا،د ) و ( ب،ج ) را به دو قسم غیر مساوی تقسیم کرده است[160]

حال می‌گوییم: در دایره ( ا،د ) قوسی که جلو است و در دایره ( ب،ج ) قوسی که عقب است با هم متبادل می‌باشند. همچنین در دایره ( ا،د ) قطعه ای که عقب است و در دایره ( ب،ج ) قطعه ای که جلو است متبادل می‌باشند. و چون فرض ما این بود که این دایره های متوازیه که در بالا و پایین کره قرار گرفته اند با هم مساوی هستند در نتیجه می‌گوییم: قطعه های متبادل آنها مساوی می‌باشند[161]

بیان مدعا به صورت کلی: هر گاه دایره عظیمه کره ای دایره های متوازیه واقع در آن کره را قطع کند و لکن از قطب های آنها عبور نکند بلکه به صورت مایل بر آنها وارد شود.

اولاً این عظیمه بزرگترین دایره متوازیه این کره ـ مراد دایره عظیمه است نه بزرگترین نسبت به دیگر متوازیه ها ـ را نصف می‌کند.

ثانیاً قطعه های که از دیگر متوازیه ها جدا می‌کند مساوی نیستند بلکه یکی بزرگتر از دیگری است( توضیح آن در متن بیان شد )

ثالثاً قطعه های متبادل که از قطع شده دایره های غیر عظیمه در بالا و پایین کره به دست می‌آید مساوی می‌باشند البته درصورتی که خود دایره های متوازیه مساوی باشند.

آماده کرده شکل برای استدلال:

ابتدا به کمک شکل ۲۱ مقاله ۱ دایره عظیمه ( ط،ه،ح،ز،ک ) را به گونه ای رسم می‌کنیم که از دو نقطه

( ح ) و ( ه ) که یکی از نقاط برخورد عظیمه ( ا،ب،ج،د ) با دایره ( ه،ز ) است عبور کند.

دایره عظیمه ( ط،ه،ح،ز،ک ) اولاً علاوه بر اینکه از نقطه ( ه ) که یکی از نقاط برخورد عظیمه ( ا،ب،ج،د ) با دایره ( ه،ز ) است عبور می‌کند از نقطه ( ز‌ ) که نقطه برخورد دیگر این دو دایره است نیز عبور می‌کند[162]

ثانیاً از دایره متوازیه ( ب،ج ) نیز عبور می‌کند و آن را در نقطه ( ط ) و ( ک ) قطع می‌کند. به تعبیر خواجه دایره ( ب،ج ) در نقطه ( ط ) و ( ک ) به آن متصل می‌شود.

دلیل: دایره عظیمه ( ط،ه،ح،زک ) که از قطب ظاهر دایره های متوازیه که نقطه ( ح ) است گذشته است، از قطب خفی این دایره ها نیز عبور می‌کند. از این مطلب مشخّص می‌شود که قطب خفی روی قوس ( ب،ج ) نیست بلکه روی محیط دایره ( ط،ه،ح،ز،ک ) و پشت دایره ( ا،ب،ج،د ) مخفی است. بنابراین دایره عظیمه ( ط،ه،ح،ز،ک ) مشتمل بر قوس ( ب،ج ) نیست. یعنی قوس ( ب،ج ) قسمتی از محیط این دایره عظیمه را تشکیل نمی‌دهد.

دلیل بر مدعای اول و دوم در ضمن دو مرحله[163]

مرحله اول: دایره عظیمه ( ط،ح،ک ) که قبلا شیوه رسم کردن آن را بیان کردیم. به عمل از قطب های سه دایره متوازیه مذکور عبور کرده است. در نتیجه به شکل ۱۶ مقاله ۱[164] در حالی که عمود بر آنها است آنها زا نصف کرده است و از نقطه های که مبدآ و منتهای نصف هستند عبور کرده است.

بنابراین در دایره ( ا،د ) قوس ( م،ن ) و در دایره ( ه،ز ) قوس ( ه،ز ) و در دایره ( ب،ج ) قوس ( ط،ک ) که بین نقطه های تقاطع این دایره ها با دایه عظیمه ( ط،ح،ک ) واقع شده اند نصف می‌باشند.

مرحله دوم:

اولاً از دایره ( ا،د ) که بین قطب ظاهر متوازیه ها و دایره متوازیه عظیمه ( ه،ز ) واقع شده است ، دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) قوس یا قطعه ( ا،د ) یا به عبارت خواجه قوس یا قطعه ( ا،م،ن،د ) را جدا کرده است که این قوس بزرگتر از نصف دایره است زیرا از نصف دایره که در مرحله قبل گفتیم ( م،ن ) برابر نصف دایره است به اندازه ( ا،م ) و ( ن،د ) اضافه دارد. در نتیجه دایره ( ا،ب،ج،د ) از دایره ای که بین قطب ظاهر و دایره عظیمه متوازیه واقع شده است قوسی بزرگتر از نصف را جدا کرده است.

ثانیاً از دایره متوازیه عظیمه که در مثال ما دایره ( ه،ز ) است ، دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) قوس ( ه،ز ) را جدا کرده است که این قوس همانگونه که در مرحله اول بیان کردیم برابر نصف دایره است . در نتیجه دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) از دایره متوازیه عظیمه قوس های که برابر نصف دایره است جدا کرده است.

ثالثاً از دایره ( ب،ج ) که بین قطب خفی و دایره متوازیه عظیمه واقع شده است ، دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) قوس ( ب،ج ) را جدا کرده است و این قوس کوچکتر از نصف دایره است زیرا نصف دایره ( ط،ک ) است که قوس ( ج،ب ) به اندازه ( ط،ب ) و ( ج،ک ) کم دارد.

در نتیجه دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) از دایره های که بین قطب خفی و متوازیه عظیمه قرار دارند قوس کوچکتر از نصف را جدا کرده است .

دلیل بر مدعای سوم در ضمن هفت مرحله[165]

مرحله اول: طبق فرض دو دایره غیر عظیمه ( ا،د ) و ( ب،ج ) مساوی بودند. بنابراین به شکل ۱۸ مقاله ۲[166] دو قوس ( ا،ه ) و ( ه،ب ) از دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) با هم و دو قوس ( ز،د ) و ( ز،ج ) از همان دایره عظیمه با هم مساوی اند. لذا با توجه به قانون: اذا زید علی المتساویه و نقص منها متساویه حصلت متساویه که در صدر مقاله اول اصول بیان شده است.

می‌گوییم: مجموع دو قوس ( ا،ه ) و ( ز،د ) با مجموع دو قوس ( ه،ب ) و ( ز،ج ) مساوی اند.

مرحله دوم: دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) و عظیمه ( ه،ز ) در یک کره واقع شده اند در نتیجه به شکل ۱۲ مقاله ۱ [167] همدیگر را نصف کرده اند. به این بیان که دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) در دو نقطه ( ه ) و ( ز ) نصف شده است. لذا دو قوس ( ه،ا،د،ز ) و ( ه،ب،ج،ز ) با هم برابراند.

مرحله سوم: اگر مجموع دو قوس ( ا،ه ) و ( د،ز ) را از قوس ( ه،ا،د،ز ) که نصف دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) است کن کنیم . همچنین اگر مجموع دو قوس ( ه،ب ) و ( ز،ج ) را از قوس ( ه،ب،ج،ز ) که نصف دیگر دایره عظیمه مذکور است کم کنیم به ترتیب دو قوس ( ا،د ) از نصف اول و ( ب،ج ) از نصف دوم باقی می‌ماند. و چون مفروغ ها به بیانی که در مرحله اول بیان شد مساوی اند و مفروغ منه ها به بیانی که در مرحله دوم بیان شد مساوی اند در نتیجه دو قوس ( ا،د ) و ( ب،ج ) که باقی مانده های ما هستند نیز مساوی خواهند بود.

مرحله چهارم: از آنجا که دو قوس ( ا،د ) و ( ب،ج ) از دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) با هم مساوی اند پس به شکل ۲۸ مقاله ۳ اصول[168] وتر های این دو قوس نیز با هم مساوی خواهند بود.

مرحله پنجم: وتر های ( ا،د ) و ( ب،ج ) به شکل ۳ مقاله ۱۱[169] اصول فصل مشترک های دایره عظیمه

( ا،ب،ج،د ) با دو دایره ( ا،د ) و ( ب،ج‌ ) هستند. لذا علاوه بر اینکه وتر دو قوس از دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) هستند وتر دو قوس از دو دایره ( ا،د ) و ( ب،ج )‌ نیز می‌باشند.

مرحله ششم: قبلا بیان شد که دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) هر یک از دو دایره غیر عظیمه ( ا،د ) و ( ب،ج ) را به دو قسمت نامساوی تقسیم می‌کند با در نظر گرفتن این مطلب الان می‌گوییم: اگر دو نقطه تقاطع دایره

عظیمه ( ا،ب،ج،د ) و دایره متوازیه ( ا،د ) که دو نقطه ( ا ) و ( د ) است را به هم وصل کنیم تا وتر ( ا،د ) حاصل شود ، این وتر دایره ( ا،د ) را به دو قسمت که یکی بزرگتر و دیگری کوچکتر است تقسیم می‌کند.

و می‌توان گفت: این وتر هم مقابل قوس بزرگتر این دایره است و هم مقابل قوس کوچکتر آن.

هچنین اگر دو نقطه تقاطع دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) و دایره متوازیه ( ب،ج ) که دو نقطه ( ب ) و ( ج ) است را به هم وصل کنیم وتر ( ب،ج ) حاصل می‌شود که این وتر دایره ( ا،ب،ج،د ) را به دو قسمت که یکی بزرگتر و دیگری کوچکتر است تقسیم می‌کند. همچنین می‌توان گفت: این وتر هم مقابل قوس بزرگتر این دایره است هم مقابل قوس کوچکتر آن.

مرحله هفتم: در مرحله اول بیان شد: دو دایره متوازیه ( ا،د ) و ( ب،ج ) مساوی هستند. در مرحله پنجم بیان شد: که وتر های این دو دایره ـ وتر های ( ا،د ) و ( ب ،ج ) ـ با هم مساوی اند. بنابراین با کمک شکل ۲۷ مقاله ۲ اصول[170] می‌گوییم: قوس های مقابل وتر ( ا،د ) و قوس های مقابل وتر ( ب،ج ) با هم مساوی اند.

به عبارت دوم: قوس بزرگتر دایره ( ا،د ) و قوس بزرگتر دایره ( ب،ج ) چون مقابل وتر های مساوی در دایره های مساوی قرار دارند مساوی می‌باشند. همچنین قوس کوچکتر دایره ( ا،د ) با قوس کوچکتر دایره ( ب،ج) چون مقابل وتر های مساوی در دایره های مساوی قراردارند با هم مساوی می‌باشند.

به عبارت سوم: قوس ها یا قطعه های متبادله از این دو دایره مساوی با هم مساوی اند. و هو المطلوب.

*شکل ک*

مفروض ها:

الف: در کره ای دایره عظیمه ( ا،ب،ه،ز ) و سه دایره متوازیه ( ا،ب ) ( ج،د ) ( ه،ز ) را داریم.

ب: دایره عظیمه ( ا،ب،ه،ز ) سه دایره متوازیه مذکور را قطع کرده است اما از قطب های آنها عبور نکرده است بلکه نسبت به آنها مایل است[171]

ج: قطب ظاهر دایره ای متوازیه نقطه ( ح ) است و قطب خفی آن نقطه مقابل ( ح ) است که به جهت میل عظیمه از پایین به سمت جلوی کره این قطب برای ما مشهود نیست.

مدعا: قوس ( ‌ا،ب ) ـ به قطب ظاهر که نقطه ( ح ) است از قوس ( ج،د ) نزدیکتر است ـ بزرگتر است از قوس ( ل،م ) که بعض قوس ( ا،ب ) و مشابه قوس دورتر یعنی ( ج،د ) است. در نتیجه قوس ( ا،ب ) بزرگتر از مشابه بعض خودش یعنی از قوس ( ب،ج ) است که این قوس نسبت به قطب ظاهر دورتر از قوس (‌ ا،ب ) است.

بیان مدعا به صورت کلی: اگر دایره عظیمه واقع در کره ای دایره های متوازیه واقع در آن کره را قطع کند اما از قطب آنها عبور نکند بلکه نسبت به آنها مایل باشد از بین این قوس های که دایره عظیمه از آن دایره های متوازیه جدا می‌کند هر قوسی که به قطب ظاهر نزدیک تر است بزرگتر می‌باشد از قوسی که مشابه بعض آن قوس است و از قطب ظاهر دورتر است.

توجه به دو نکته:

نکته اول: مراد از بزرگتر بودن قوس دایره نزدیکتر به قطب ظاهر ، بزرگی به لحاظ طول نیست به این معنی که بگوییم: این قوس دایره ی نزدیک تر به قطب ظاهر بزرگتر است از حیث طول از قوس مشابه با بعض قوس همین دایره. زیرا چه بسا ممکن است این دایره نزدیکتر به قطب ظاهر کوچکتر از دایره های دورتر باش.

مثلا اگر دایره دورتر عظیمه باشد و دایره نزدیکتر به قطب ظاهر صغیره باشد و دایره عظیمه ای بر اینها به صورت عمود وارد شده باشد که در این صورت قهرا این دایره عظیمه وارد شده دایره متوازیه عظیمه را نصف می‌کند اما دایره های صغیره دیگر را نصف نمی‌کند لذا نصف دایره عظیمه متوازیه ممکن است چند برابر قوس جدا شده از دایره غیر عظیمه باشد لذا مراد از بزرگی از حیث طول نیست. چه بسا نصف دایره متوازیه عظیمه به اندازه تمام محیط دایره صغیره یا حتی بزرگتر باشد.

اما با توجه به اینکه مقدار جدا شده از دایره نزدیکتر کسری از محیط این دایره است و همچنین مقدار جدا شده از محیط دایره دورتر کسری از محیط آن است ، لذا وقتی می‌گوییم: قوس جدا شده از دایره نزدیکتر بزرگتر از قوس جدا شده از دایره دورتر است مراد این است که از دایره نزدیکتر کسر بزرگتری جدا شده است و از دایره دورتر کسر کوچکتری جدا شده است.

مثلا از دایره نزدیکتر آن جدا شده است و از دایره دورتر آن را جدا کرده است. به عبارت دیگر از دایره نزدیکتر ۲۷۰ درجه را جدا کرده است و از دایره دورتر ۱۸۰ درجه از محیط آن را جدا کرده است. در این صورت روشن است که قوس دایره نزدیکر به قطب ظاهر از حیث درجه بزرگتر از قوس دایره دورتر از قطب ظاهر است گرچه از حیث طول کوچکتر است[172]

نکته دوم: ما در شکل قبل مقدار جدا شده از هر دایره ای را با خود آن دایره می‌سنجیدیم و گفتیم: دایره عظیمه ای که دایره های متوازیه را به صورت مایل قطع کند از دایره نزدیکتر به قطب ظاهر بیش از نصف این دایره که نزدیک به قطب ظاهر است را جا می‌کند و از دایره عظیمه متوازیه نصف آن را جدا می‌کند و از دایره نزدیک به قطب خفی کمتر از نصف آن را جدا می‌کند و لکن در این شکل مقدار جدا شده از هر دایره ای را با مقدار جدا شده از دایره بعدی می‌سنجیم و می‌گوییم: مقدار جدا شده از دایره نزدیکتر به قطب ظاهر بزرگتر از مقدار جدا شده از دایره دورتر است.

آماده کردن شکل برای استدلال:

اولاً برای اثبات مدعا در دو قوس ( ا،ب ) و ( ج،د ) به کمک شکل ۲۱ مقاله ۱ دو دایره عظیمه رسم می‌کنیم که یکی از آن از نقطه ( ح ) که قطب متوازیه ها است و نقطه ( د ) که محل تلاقی دایره عظیمه

( ا،ب،ز،ه ) و دایره ( ج،د ) است عبور کند و عظیمه دیگر از نقطه ( ح ) که قطب متوازیه ها است و نقطه

( ج ) که محل دیگر تلاقی عظیمه ( ا،ب،ز،ه ) با دایره ( ج،د ) است عبور کند.

ثانیاً برای اثبات مدعا در دو قوس ( ج،د ) و ( ه،ز ) باز به کمک شکل ۲۱ مقاله ۳ ۱ اصول دو دایره عظیمه رسم می‌کنیم که یکی از آنها از نقطه ( ح ) که قطب متوازیه ها است و نقطه ( ز ) که یکی از نقطه های تلاقی دایره عظیمه ( ا،ب،ز،ه ) و ( ه،ز ) بگذرد و عظیمه دیگر از نقطه ( ح ) که قطب متوازیه ها است و نقطه ( ه ) که محل تلاقی دیگر دایره عظیمه ( ا،ب،ز،ه ) و دایره ( ه،ز ) است عبور کند.

توجه کنید: دو دایره عظیمه ای که از نقطه ( ح ) و نقطه های ( د ) و ( ج ) می‌گذرد از دایره ( ا،ب ) قوس ( ل،م ) را و از دایره ( ج،د ) قوس ( ج،د ) را جدا می‌کنند. و دو دایره عظیمه ای که از نقطه ( ح ) و دو نقطه ( ز ) و ( ه ) می‌گذرد و از دایره ( ج،د ) قوس ( ن،ک ) را و از دایره ( ه،ز ) قوس ( ه،ز ) را جدا می‌کنند.

اثبات مدعا به دو روش:

روش اول: اثبات مدعا در دو بخش:

بخش اول مدعا: اثبات مدعا از دو قوس ( ا،ب ) و (‌ ج،د ) در ضمن شش مرحله:

مرحله اول: قوس ( ل،م ) بعض قوس ( ا،ب ) است زیرا اگر بعض قوس ( ا،ب ) نباشد یا خود ( ا،ب )‌ است یا خارج از ( ا،ب )‌ است.

اگر خود ( ا،ب ) باشد منطبق بر ( ا،ب ) خواهد بود و قهرا قاطع هائی که ( ح،ل،ج * ح،م،د ) آن را از دایره ( ا،ب ) جدا کرده اند منطبق می‌شوند بر قاطعی ( ب،ه،ز ) که قوس ( ا،ب ) را از دایره ( ا،ب ) جدا کرده است یعنی دایره عظیمه ( ا،ب،ه،ز ) در حالی که انطباق خلف فرض است زیرا فرض ما تقاطع است.

اگر ( ل،م ) بزرگتر از ( ا،ب ) باشد لازم می‌آید که دایره عظیمه ( ح،ل،ج ) با دایره ( ‌ا،ب ) سه نقطه تقاطع داشته باشد[173] همچنین لازم می‌آید که دایره عظیمه ( ح،م ) نیز با دایره ( ا،ب ) سه نقطه تقاطع داشته باشد[174] در حالی که سه نقطه تقاطع داشتن دو دایره متقاطعه به شهادت شکل ۱۰ مقاله ۳ اصول[175] مردود است.

پس: قوس ( ل،م ) نه می‌تواند خود قوس ( ا،ب ) باشد و نه می‌تواند خارج از آن باشد در نتیجه باید بعض آن باشد.

مرحله دوم: از آنچه در مرحله اول بیان شد معلوم شد که قوس ( ا،ب ) و به عبارت دیگر قوس ( ا،ل،م،ب ) از قوس ( ل،م ) بزرگتر است زیرا ( ا،ل،م،ب ) کل است و ( ل،م ) بعض است و هر کلی از بعض خودض بزرگتر است. به عبارت دیگر قوس ( ا،ل،م ) چون از قوس ( ل،م ) به اندازه ( ا،ل ) اضافه دارد از قوس( ل،م ) بزرگتر است. در نتیجه قوس ( ا،ل،م،ب ) که از قوس ( ل،م ) به اندازه دو برابر ( ا،ل ) اضافه دارد[176] از قوس

( ل،م ) بزرگتر است.

مرحله سوم: چون قوس ( ‌ا،ب ) از قوس ( ل،م ) بزرگتر است مشابه قوس (‌ ا،ب ) نیز از مشابه قوس( ل،م ) برزگتر خواهد بود.

توضیح: چون قوس ( ا،ب ) از قوس ( ل،م ) بزرگتر است زاویه ای که در نقطه ( ح )‌ تشکیل می‌شود و دهانه آن رو به قوس ( ا،ب ) باز می‌شود بزرگتر از زاویه ای است که در همان نقطه ( ح ) تشکیل می‌شود و دهانه آن رو به قوس ( ل،م ) است. در نتیجه قوسی که در ادامه زاویه اول واقع می‌شود و مشابه قوس( ا،م ) می‌باشد بزرگتر از قوسی است که در ادامه زاویه دوم واقع می‌شود و مشابه قوس ( ل،م ) است. لذا چون قوس ( ا،ب ) از قوس ( ل،م ) بزرگتر است مشابه قوس (‌ ا،ب ) نیز از مشابه قوس ( ل،م ) بزرگتر است.

مرحله چهارم: مشابه قوس ( ‌ل،م ) در شکل رسم شده قوس ( ج،د ) است.

توضیح: قوس (‌ ج،د ) ـ که آن را دو دایره عظیمه ( ح،ل،ج )‌ و ( ح،م،د ) آن را از دایره ( ج،د ) جدا کرده اند ـ با قوس ( ل،م ) ـ که دو دایره مذکور آن را از دایره ( ا،ب ) جدا کرده اند ـ به شکل ۱۰ مقاله ۲ مشابه اند[177] زیرا زاویه ای که از نقطه ( ح ) و رو به قوس ( ج،د ) باز می‌شود مساوی با زوایه ای است که از همین نقطه ( ح ) و رو به قوس ( ل،م ) باز می‌شود. و در صدر مقاله سوم اصول بیان شد: القطع المتشابه من الدوائر هی التی تقبل الزوایه المتساویه... در نتیجه قوس ( ج،د ) مشابه قوس ( ل،م ) است.

مرحله پنجم: از آنچه در مرحله سوم بیان شده به دست آمد: مشابه قوس ( ا،ب ) از مشابه قوس ( ل،م ) بزرگتر است. و از آنچه در مرحله چهارم بیان شد به دست آمد: مشابه قوس ( ل،م ) قوس ( ج،د )‌ است.

از مجموع این دو مطلب به دست می‌آید: مشابه قوس (‌ ا،ب ) از قوس (‌ج،د ) بزرگتر است. معنی این جمله این است که: زوایه ای که در نقطه ( ح ) به سمت قوس ( ا،ب ) باز می‌شود از زاویه ای که در نقطه ( ح ) و به سمت قوس ( ج،د ) باز می‌شود بزرگتر است. لذا با توجه به فحوای شکل ۲۵ مقاله ۳ اصول نتیجه گرفته می‌شود که قوس ( ‌ا،ب ) در دایره خودش از قوس ( ج،د ) در دایره خودش بزرگتر است. لذا اگر چه ممکن است قوس (‌ ا،ب ) از نظر طول از قوس ( ج،د ) کوچکتر باشد و لکن از نظر درجه ای که در دایره دارد از قوس ( ج،د ) بزرگتر است و مثلا قوس ( ا،ب ) ۲۷۰ درجه است و قوس ( ج،د ) ۱۸۰ درجه

مرحله ششم: حال که ثابت شد قوس (‌ ا،ب ) از حیث درجه بزرگتر از قوس ( ‌ج،د ) است. با توجه به اینکه دایره ( ا،ب ) به قطب نزدیکتر و دایره ( ج،د ) از قطب ظاهر دورتر است ، ثابت می‌شود دایره عظیمه

( ا،ب،ه،ز ) که دایره های متوازیه ( ا،ب ) ، ( ج،د ) ، ( ه،ز ) را بدونه عبور از قطب آنها قطع کرده است از دایره ای که به قطب نزدیکتر است قوس بزرگتر از قوسی که از دایره دورتر جدا کرده است جدا می‌کند و هو المطلوب.

بخش دوم مدعا: اثبات مدعا در دو قوس ( ج،د ) و (‌ ه،ز ) در ضمن شش مرحله.

بعد اینکه دایره عظیمه ( ج،ن،ه ) را از نقطه ( ح ) و نقطه ( ه ) و دایره عظیمه ( ح،ک،ز ) از نقطه ( ح )‌ و نقطه ( ز )‌ عبور دادیم. و قوس ( ن،ک ) را روی قوس ( ج،د ) به وجود آوردیم چنین می‌گوییم:

مرحله اول: قوس ( ن،ک ) بعض قوس ( ‌ج،د ) است.

مرحله دوم: در نتیجه قوس ( ج،ن،ک،د ) و به عبارت دیگر قوس ( ج،د ) بزرگتر از قوس ( ‌ن،ک ) است.

مرحله سوم: چون قوس ( ج،د ) بزرگتر از قوس ( ن،ک )‌ است ، در نتیجه مشابه قوس ( ج،د ) نیز بزرگتر از مشابه قوس ( ن،ک )‌ است.

مرحله چهارم: مشابه قوس ( ن،ک ) در شکل رسم شده قوس ( ه،ز )‌ است.

مرحله پنجم: پس معنی جمله { مشابه قوس ( ج،د ) بزرگتر از مشابه قوس ( ن،ک ) است } به این معنی است: مشابه قوس ( ج،د ) بزرگتر از قوس ( ه،ز ) است. و نتیجه می‌دهد که قوس ( ج،د ) در دایره خودش بزرگتر از قوس ( ه،ز ) در دایره خودش است.

مرحله ششم: با توجه به اینکه دایره ( ج،د ) به قطب نزدیکتر و دایره ( ه،ز ) از قطب دورتر است نتیجه می‌دهد که دایره عظیمه ( ا،ب،ه،ز ) که دایره های متوازیه ( ا،ب ) و ( ه،ز ) و ( ج،د ) را به صورت مایل قطع کرده است ، از دایره ای که به قطب نزدیکتر است قوسی بزرگتر از قوسی که از دایره دورتر جدا کرده است جدا می‌کند و هو المطلوب[178]

توجه کنید: ما چون خواستیم ثابت کنیم قوس جدا شده از دایره ( ا،ب ) بزرگتر از قوس جدا شده از دایره

( ج،د ) است و قوس جدا شده از دایره ( ج،د ) بزرگتر از قوس جدا شده از دایره ( ه،ز ) است استدلالی که در دو بخش بود را ارائه کردیم.

اگر می‌خواستیم ثابت کنیم که قوس جدا شده از دایره هائی که بالای دایره عظیمه کره واقع شده اند بزرگتر است از قوس های جدا شده از دایره هائ که زیر دایره عظیمه کره واقع شده اند با استمداد از آنچه در شکل قبل گفتیم استدلال راحت تری ارائه می‌کردیم به این صورت که می‌گفتیم: در شکل قبل ثابت کردیم: دایره عظیمه ای که به صورت مایل دایره های متوازیه واقع در کره را قطع می‌کند ، از دایره های که بالای دایره عظیمه متوازیه هستند قوس های بزرگتر از نصف جدا می‌کند و از خود دایره عظیمه متوازیه قوسی که نصف است را جدا می‌کند و از دایره های که پایین تر از دایره عظیمه متوازیه قرار دارند قوس های که کمتر از نصف هستند را جدا می‌کند. پس در این شکل وقتی می‌خواهیم ثابت کنیم که دایره عظیمه مایله از دایره هائی روی دایره عظیمه متوازیه قوس های جدا می‌کند که بزرگتر از قوس های است از دایره های زیر دایره عظیمه متوازیه جدا کرده ، می‌گوییم: دایره عظیمه مایله از دایره های روی عظیمه متوازیه بیش از نصف و از دایره های زیر عظیمه متوازیه کمتر از نصف قوس را جدا می‌کند. و معلوم است که بیش از نصف قوس از کمتر از نصف بزرگتر است. در نتیجه دایره عظیمه مایله از دایره های روی عظیمه متوازیه قوس های جدا می‌کند که بزرگتر از قوس هائی از دایره های زیر عظیمه متوازیه هستند.

روش دوم اثبات مدعا:

آماده کردن شکل برای استدلال:

به کمک شکل ۲۱ مقاله ۱ دایره عظیمه ( ط،ه،ح،ز،ک ) را به گونه ای رسم می‌کنیم که از نقطه ( ح ) که قطب ظاهر دایره های متوازیه است و نقطه ( ه ) که یکی از دو نقطه برخورد دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) و عظیمه ( ه،ز ) مرور کند. این دایره عظیمه

اولاً از نقطه ( ز ) که نقطه دیگر برخورد دو عظیمه مذکور است به همان بیانی که در شکل قبل گفتیم عبور می‌کند. بنابراین از دایره متوازیه ( ه،ز ) قوس ( ه،ز ) را جدا می‌کند در حالی که قبل از رسیدن به این دایره عظیمه ( ه،ز ) قوس ( م،ن )‌ را از دایره ( ‌ا،ج ) جدا کرده بود

ثانیاً قوس ( ب،ج ) از دایره متوازیه ( ب،ج ) عبور می‌کند و آن را در نقطه ( ط ) و ( ک ) قطع می‌کند. ـ به تعبیر خواجه دایره ( ب،ج ) در نقطه ( ط ) و ( ک ) به آن وصل می‌شود[179]

اثبات مدعا در ضمن چهار مرحله:

مرحله اول: دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) که از قطب های دایره های متوازیه عبور نکرده است بلکه بر آنها مایل است از دایره غیر عظیمه ( ا،ب ) قوس ( ا،ب ) را و از دایره عظیمه ( ه،ز ) قوس ( ه،ز ) را جدا کرده است.

دایره عظیمه ( ط،ه،ح،ز،ک ) که قائم بر دایره های متوازیه است از دایره غیر عظیمه ( ا،ب ) قوس ( م،ن ) را و از دایره عظیمه ( ه،ز ) مثل دایره قبلی قوس ( ه،ز ) را جدا کرده است.

مرحله دوم: در دایره ( ا،ب ) قوس ( م،ن ) که به وسیله دایره عظیمه قائمه جدا شده است بعض قوس

( ‌ا،ب ) است که به وسیله عظیمه مایل جدا شده است[180] این بعض ـ قوس ( م،ن ) ـ چون به وسیله دایره عظیمه ای که از قطب عبور کرده است جدا شده است به شکل ۱۶ مقاله ۱ [181] صف دایره است ، و قوس ( ه،ز ) نیز چون از تقاطع دو دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) و ( ه،ز ) به وجود آمده است به شکل ۱۲ مقاله ۱ [182] نصف دایره است و نصف های دایره با هم مشابه هستند زیرا همگی به شهادت مدعای اول شکل ۳۰ مقاله ۳ اصول[183] رو به روی زاویه قائمه اند. به این معنی که زاویه مقابل هر کدام مساوی زاویه مقابل دیگری است و معنای تشابه به شهادت صدر مقاله ۳ اصول[184] همین می‌باشد. از این بیان [185] نتیجه گرفته می‌شود که قوس

( ه،ز ) از دایره عظیمه ( ه،ز ) با قوسی که بعض دایره غیر عظیمه ( ا،ب ) است یعنی با قوس ( م،ن ) مشابه است.

مرحله سوم: در دایره (‌ ا،ب ) قوس ( ا،ب ) از قوس ( م،ن ) بزرگتر است زیرا قوس ( ا،ب ) کل و قوس (‌م،ن ) جزء آن است و هر کلی از بعض خودش بزرگتر است. در نتیجه مشابه قوس ( ا،ب ) از مشابه قوس

( م،ن ) نیز بزرگتر است. و با توجه به اینکه در مرحله قبل بیان شد که قوس مشابه ( م،ن ) قوس ( ه،ز ) است به جای اینکه بگوییم: مشابه قوس ( ا،ب ) از مشابه قوس ( م،ن ) بزرگتر است می‌گوییم: مشابه قوس

( ا،ب ) از قوس ( ه،ز ) بزرگتر است. و معنی این جمله این است:‌ زاویه ای که از نقطه ای به سمت قوس

( ا،ب) باز می‌شود از زاویه ای که از همان نقطه به سمت قوس ( ه،ز ) باز می‌شود بزرگتر است. لذا با توجه به فحوای شکل ۲۵ مقاله ۳ اصول[186] نتیجه گرفته می‌شود که قوس ( ا،ب ) در دایره خودش از قوس ( ه،ز ) در دایره خودش بزرگتر است.

مرحله چهارم: حال که ثابت شد قوس ( ا،ب ) از قوس (‌ ه،ز ) بزرگتر است از حیث درجه ، با توجه به اینکه دایره ( ا،ب ) به قطب نزدیگتر و دایره ( ه،ز ) از قطب دورتر است ثابت می‌شود دایره عظیمه

( ا،ب،ج،د ) که دایره های متوازیه ( ا،ب ) ، ( ه،ز ) و ( ب،ج ) را بدونه عبور از قطب آنها قطع کرده است از دایره ای که قطب نزدیکتر است قوس بزرگتر از قوسی که از دایره دورتر جدا کرده است جدا می‌کند و هو المطلوب.

توجه کنید: در بیان اولی که برای ارائه دلیل داشتیم دایره دورتر از قطب را مقیَّد نکردیم. یعنی نگفتیم عظیمه باشد یا غیر عظیمه و لکن در روش دوم دلیل آن را مقیَّد می‌کنیم به اینکه حتما عظیمه باشد. سبب این مقیَّد کردن این است: همانگونه که ملاحظه کردید در هر دو بیان برای قوسی که دایره عظیمه مایله از دایره نزدیکتر به قوس جدا می‌کرد ( قوس ا،د در بیان اول و قوس ا،ب در بیان دوم ) بعض را که به وسیله دایره عظیمه قائمه به وجود می‌آمد [187] درست کردیم و گفتیم که این بعض مشابه است با قوسی که دایره عظیمه مایله از دایره دور از قطب جدا می‌کند.

در بیان دوم مشابه بودن این بعض با قوسی که از دایره دورتر از قطب جدا می‌شد ـ همانگونه که در مرحله دوم استدلال ملاحظه شد ـ متوقف بر این بود که قوسی که از دایره دورتر از قطب جدا می‌شد نصف دایره باشد و نصف بودن این قوس منحصر است به صورتی که دایره دورتر از قطب عظیمه باشد بله اگر دایره غیر عظیمه باشد درست است دایره عظیمه قائمه آنها را نصف می‌کند اما دایره عظیمه مایله بیش از نصف را در آن جدا می‌کند البته اگر دایره غیر عظیمه ای روی دایره عظیمه فرض شود. و کمتر از نصف را جدا می‌کند از دایره ای که زیر دایره عظیمه فرض شود. و در این صورت تشابه بعض قوسی که در دایره نزدیکتر به قطب وجود دارد با قوس دایره دورتر از قطب ثابت نمی‌شود در حالی که در استدلال به این تشابه احتیاج داریم لذا باید دایره دورتر از قطب را به عظیمه بدون مقیَّد کنیم.