موضوع : شرح اُکر ثاوذو سیوس

تقسیم علم:کتاب مشتمل بر یک مقدمه و سه مقاله است. در مقدمه آن مطلبی بیان می‌شود که در شکل دهم مقاله سوم به کار می‌آید لذا این مقدمه را در همان مقاله سوم مطرح می‌کنیم تا کاربرد آن هم روشن شود.

مقاله اول مشتمل بر ۲۲ شکل و به عبارت دیگر ۲۲ ادعا و به عبارت امروزی ۲۲ قضیه راجع به اشکال کروی است .

مقاله دوم مشتمل بر ۲۳ ادعا

و مقاله سوم مشتمل بر ۱۴ ادعا است

در نتیجه کل کتاب مشتمل بر ۵۹ شکل است .

اما در برخی نسخه های کتاب به جای ۵۹ شکل ، ۵۸ شکل ذکر شده است که این اختلاف فقط در شماره است و الا تعداد شکلها در همه نسخه ها یکی است و هیچ شکلی از قلم نیفتاده است. در واقع اختلاف شماره این نسخه ها به خاطر شکل ۱۱ و ۱۲ مقاله دوم است که در برخی نسخه ها این دو شکل را یکی حساب کرده اند و در بعضی نسخه ها آن دو را از هم تفکیک کرده اند و همین امر سبب اختلاف شماره اشکال از این شکل به بعد در برخی نسخه ها شده است .

باید توجه داشت که ترتیب اشکال این کتاب مانند ترتیب اشکال تحریر اقلیدوس به این صورت است که ابتدا شکلی که آسان تر و شکلی که اثباتش به شکل دیگری از اشکال کتاب وابسته نیست بیان می‌شود و هر چه جلو تر می‌رویم برای اثبات شکلهای بعدی از شکل های قبلی که اثبات شده است استفاده می‌کنیم. لذا شکل اول مقاله یک برای اثبات به هیچ یک از اشکال بعدی نیازی ندارد اما شکلهای بعدی برای اثبات به شکلهای قبل وابسته می‌باشند . در نتیجه به هر میزان از شکلهای اول کتاب جلو تر برویم شکل ها پیچیده تر و استدلال آنها به مراتب مشکل تر خواهد شد.

نویسنده کتاب: ثاوذوسیوس یونانی است و خواجه این کتاب ایشان را تحریر کرده است و همانند تحریر اقلیدوس ابداعات خود در حل مسائل را در ضمن ( اقول ) بیان کرده است . لکن روش خواجه در تحریر اقلیدوس این بود که در بسیاری از موارد مطالب را خلاصه می‌کرد تا جای که در بعضی موارد مطالب حذف شده آنقدر زیاد بود که بدونه توجه به آنها عبارت و مطلب کتاب اصلا قابل حل نبود .

موضوع علم: همان گونه که بیان شد موضوع این علم کُرات ثابت می‌باشند. در این علم راجع به ۵۹ حکم از احکام کُرات بحث و همگی آن احکام ثابت می‌شود.

فایده علم: این علم به عنوان یک پیش نیاز برای علم هیأت است لذا فایده آن در علم هیأت روشن می‌شود.

اکثر حواشی کتاب مربوط به میرزا محمد باقر یزدی است که از ریاضی دان های مطرح زمان صفوی است و گفته شده که حواشی ایشان بر اکر مانالائوس بیشتر است .

نکته: اُکر علمی است و اُکر متحرکه علم دیگری است. لذا این دو موضوعا با هم متفاوت می‌باشند اما هر دو به عنوان پیش نیازهای علم هیأت می‌باشند و هر کدام هم باید به صورت جداگانه مورد بحث و بررسی قرار گیرند.

المقاله الاولی

ابتدا تعاریفی را به عنوان مقدمه بیان می‌کنیم که از مسلمات است ( تعاریفی که نیازی به اثبات ندارند ) و در اثبات اشکال از آنها زیاد استفاده می‌شود.

الحدود:

نکته: اُکر جمع کُره است و این جمع مُکسر است و هکذا کُرات نیز جمع کُره می‌باشد.

الف: کُره چیست؟ جسمی( شکلی ) است که سطحی واحد آن را احاطه کرده است.

توجه: در میان اشکال هندسی تنها شکلی که یک سطح آن را احاطه کرده است کُره می‌باشد.

ب: تعریف مرکز کُره؟ نقطه ای است در مرکز کُره که هر خطی از آن به محیط کُره امتداد داده شود همگی آن خطوط مساوی هستند.

ج: محور کُره چیست؟ خطی است ثابت که در مرکز کُره فرض می‌شود و کُره حول آن می‌چرخد.

توجه: رابطه بین قطر کُره و محور آن عموم خصوص مطلق است یعنی هر محوری قطر است اما هر قطری محور نیست چراکه اطلاق محور بر قطر هنگامی صحیح است که کُره حول آن بچرخد لذا هر کُره ای بالفعل یک محور بیشتر ندارد اما قطر عام است و هر کُره می‌تواند بالفعل بی نهایت قطر داشته باشد. ( هر محوری قطر است اما هر قطری محور نیست ) در واقع اطلاق محور بر قطر وقتی صحیح است که کُره حول آن قطر بچرخد.

د: قطب کُره چیست؟ دو نقطه ای که در دو رأس محور وجود دارد را دو قطب کُره گویند و هر کُره دو قطب بالفعل دارد چرا که هر کُره یک محود بالفعل دارد و دو انتهای آن محور را قطب گویند .

ه: قطب دایره چیست؟ نقطه ای است در سطح کُره که اگر از آن نقطه خطهای بر محیط آن دایره وارد شود همگی خطوط مساوی اند. به عبارت دیگر اگر دایره ای در سطح یا درون کُره فرض شود این دایره کُره را به دو قسمت تقسیم می‌کند، این دایره فرضی دارای قطبی است و قطب آن رو سطح کُره قرار دارد و قطب آن نقطه ای است که اگر از آن خطهای به محیط آن دایره منتهی شود همگی آنها مساوی باشند. چنین نقطه ای را قطب کُره گویند.

نکته۱: در این گونه کتاب ها که بحث راجع به کُرات است اگر بحثی از دایره پیش می‌آید مراد دایره های در کُره یا دایره های واقع شده بر کُره است [1]

نکته۲: دایره ای که کُره را تقسیم می‌کند ممکن است آن را از وسط نصف کند. به عبارت دیگر ممکن است دایره عظیمه باشد در این صورت تمام خط های که از دو قطب آن دایره به محیط آن منتهی می‌شوند مساوی هستند چراکه فاصله آن دایره عظیمه با دو قطب خودش مساوی است . اما گاهی دایره بر سطح یا درون کُره آن را به دو قسم مساوی تقسیم نمی‌کند به عبارت دیگر دایره عظیمه نیست در این صورت خطوطی که از دو قطب دایره به محیط آن منتهی می‌شوند مساوی نخواهند بود .( بله تمام خطوطی که از یک قطب به محیط آن دایره منتهی می‌شوند مساوی هستند و هکذا خطوطی که از قطب دیگر بر محیط دایره وارد می‌شوند هم مساوی می‌باشند.

نکته۳: رابطه بین قطب کُره و قطب دایره علی کُره یا فی کُره عموم خطوص من وجه است . مورد اجتماع این دو در جای است که دایره را به صورتی فرض کنیم که قطب آن با قطب کُره یکی باشد ( مثلا قطب کُره در شمال و جنوب آن فرض شود و دایره را طوری رسم کنیم که کُره به دو قسمت شمالی و جنوبی تقسیم کند در این صورت قطب ها یکی می‌شود) ماده افتراق ها هم در صورتی است که دایره را به صورتی رسم کنیم که قطب های آن با قطب کُره یکی نباشد.

و: فاصله دو دایره تا مرکز کُره به چه معنی است؟ ( به عبارت دیگر دو دایره متساوی الابعاد به چه معنی است) عمودی که از مرکز کُره بر سطح آن دو دایره وارد ‌می‌شود را فاصله آن دو دایره تا مرکز کُره گویند.

توضیح: اگر بر سطح یا درون کُره دو دایره فرض شود دو صورت قابل تصویر است الف: یا آن دو دایره با مرکز کُره به یک اندازه فاصله دارند ب: یا فاصله های آنها با مرکز کُره متفاوت است . و فاصله هر دایره با مرکز کُره با آن عمود خارج شده از مرکز کُره سنجیده می‌شود به این صورت که اگر آن عمود بزرگتر باشد فاصله دایره با مرکز کُره بیشتر است و اگر کوچکتر باشد فاصله کمتر است.

البته از این کم و زیاد بودن فاصله دو دایره با مرکز کُره یک مطلب برداشت می‌شود وآن اینکه دایره ای که فاصله اش با مرکز دورتر است کوچکتر از دائره ای است که فاصله اش با مرکز کمتر است . ( این مطلب در شکل ۵ مقاله اول ثابت می‌شود)

ز: دو سطح مایل چه سطح های هستند ؟ و زاویه مایله چیست ؟

دو سطح مایل آنهای هستند که اولاً همدیگر را درفصل مشترک که خط است قطع کنند

ثانیا اگر از هر جای فصل مشترک بر محیط آنها عمود وارد شود تشکیل زاویه حادّه دهد.

به عبارت دیگر: دو سطحی که چنان همدیگر ار قطع کنند که اگر از فصل مشترک عمود های بر محیط آن سطح ها وارد شود آن عمود ها تشکیل زاویه حادّه دهند. و زاویه تشکیل شده بین دو سطح مایله را زاویه مایله و میل آن دو سطح گویند.

نکته ۱: اگر زاویه تشکیل شده قائمه باشد آن دو سطح بر هم عمود هستند .

نکته ۲: بین دو سطح متقاطع فصل مشترک یک خط است . و فصل مشترک دو خط یک نقطه است .اینها را سطح یا نقطه مشترک گویند چون جزء هر دو سطح می‌باشند.

ح: میل دو سطح مایل چیست ؟ به میزان آن زاویه حاده میل دو سطح گفته می‌شود. لذا اگر بخواهیم میل آنها را محاسبه کنیم باید میزان آن زاویه را محاسبه کنیم. هر چه زاویه حاده تر باشد میل شدید تر است و هر چه به سمت قائمه برود میل کم می‌شود تا زاویه قائمه شود که دیگر میل از بین می‌رود.

نکته: ممکن است برای کسی سوال پیش آید که چرا دو سطح مایل را به دو سطحی که زاویه بین آنها حاده باشد تعریف کرد در حالی که می‌توانست تعریف کند به دو سطحی که زاویه بین آنها منفرجه باشد ( یعنی ما به زاویه حاده نگاه نکنیم بلکه به زاویه منفرجه تشکیل شده در جانب دیگر توجه کنیم )؟

در جواب می‌گویم این گونه تعریف صحیح است اما از آنجا که عمده بحث ما در چنین دو سطحی آن زاویه حاده است لذا آن دو سطح را اینگونه تعریف کردیم .

ط: سطح های متساویه المیل چه سطح های هستند؟ سطح های که میزان (میل) زاویه بین آنها مساوی باشد . مثلا اگر زاویه انحراف دو سطح ۳۰ درجه باشد و زاویه انحراف دو سطح دیگر هم ۳۰ درجه باشد این سطح ها را متساوی المیول گویند.

تا اینجا جناب ثاوذوسیوس ۹ مطلب را به عنوان اصلهای مسلم این علم مطرح کرد که احتیاجی به اثبات ندارند .

اقول: جناب خواجه نیز چند اصل مسلم دیگر را در این فصل بیان می‌کند که در اشکال از آنها استفاده می‌شود .

الف: برای ما امکان دارد که بر روی سطح کُره هر نقطه ای را که خواستیم به عنوان قطب آن کُره فرض کنیم ( به شرط اینکه کُره حول آن بچرخد) و بر روی آن نقطه به هر بُعدی که خواستیم ( البته آن بُعد کمتر یا برابر با شعاع کُره باشد و الا اگر بزرگتر از شعاع کُره باشد دایره بیرون کُره می‌افتد و بر سطح کُره مماس نمی‌شود ) دایره رسم کنیم .

نکته: اگربخواهیم آن دایره را معین کنیم باید بُعد و قطر کُره مشخص باشد، اگر به بُعد نصف قطرکُره دایره رسم شود آن دایره معیَّن می‌شود و دایره عظیمه است و لذا بُعد آن دایره نباید بیشتر از نصف قطر کُره باشد.

ب: ما می‌توانیم با در دست داشتن قوسی از دایره آن را به صورت دایره تکمیل کنیم .

ج: هر گاه دو دایره مساوی داشته باشیم و از یکی قوسی جدا شده باشد و از ما خواسته شده باشد که از قوس بزرگتر به میزان آن قوس کوچکتر جدا شود حق چنین کاری را داریم .( روش جدا سازی در شکل ۲۹ مقاله سوم تحریر اقلیدوس بیان شده شده است )

نکته: دو قطعه متشابه آنهای هستند که زاویه های مساوی داشته باشند ( چه زاویه مرکزی چه محیطی البته باید در یک دایره یا دو دایره مساوی باشند ) ولذا از تساوی زاویه ها تشابه قطعه ها معلوم می‌شود و با تساوی قطعه ها تشابه دو قوس آنها هم روشن می‌شود.در نتیجه دو قوس متشابه آنهای هستند که در دو قطعه متشابه قرار دارند.

نکته: اگر دو قوس هر یک جداگانه با قوس سوم متشابه باشند خود آن دو قوس هم متشابه هستند.

مطالب دیگری هم هست که بدونه استدلال باید قبول شود که در اثنای مسائل بیان می‌شود.

نکته: اگر در اثبات اشکال کتاب مطلبی را به اشکال اصول اقلیدوس ارجاع دهد هم شماره شکل هم شماره مقاله ای که شکل در آن قرار دارد را بیان می‌کند و برای اینکه نشان دهد از اشکال اقلیدوس استفاده کرده است یا از لفظ اصول یا ( ص ) یا ( ق ) خالی که مخفف اقلیدوس هستند استفاده می‌کند . به عنوان مثال اگر از شکل ۱ مقاله ۱ اقلیدوس برای اثبات شکلی از اشکال این کتاب استفاده کند اینگونه آدرس می‌دهد ( شکل ۱ م ا اصول ) و یا ( شکل ۱ م ۱ ص) و یا ( شکل ۱ م ۱ ق) اما اگر در شکلی از اشکال مقاله اول به شکلی که در همان مقاله است ازجاع دهد فقط شماره شکل را بیان می‌کند بدونه اینکه بیان کند که شکل مربوط به کدام مقاله است و از این اطلاق می‌فهمیم به شکل همان مقاله ارجاع می‌دهد اما اگر شکل مربوط به مقاله دیگر باشد علاوه بر بیان شماره شکل بیان می‌کند آن شکل ارجاع داده شده مربوط به کدام مقاله است.

*شکل الف*

نکته: روش خواجه این است که در هر شکلی ابتدا مدعا را سپس مفروضهای بحث را بیان می‌کند لکن ما بر خلاف روش خواجه ابتدا مفروضات بحث را مطرح سپس ادعا را بیان می‌کنیم.

توضیح کلی شکل: در این شکل دو فرض وجود دارد و هر فرض مشتمل بر دو ادعا می‌باشد . ابتدا فرض اول را بیان می‌کنیم و آن را اثبات ، سپس فرض دوم را مطرح خواهیم کرد وآن را نیز اثبات می‌کنیم.

فرض اول: اگر سطح مستوی را در درون کُره ای چنان نفوذ دهیم که این سطح دقیقا از مرکز کُره عبور کند به گونه ای که آن را به دو قسمت مساوی تقسیم کند ـ واضح است که این سطح عبور داده شده با سطح برش داده شده کُره فصل مشترکی که خط است [2] پیدا می‌کنند.

فرض می‌کنیم این فصل مشترک در شکل مورد نظر خط ( ا ب ج ) است[3] ـ در این صورت دو ادعا خواهیم داشت .

ادعای اول: فصل مشترک بوجود آمده بین کُره و آن سطح دایره است.

ادعای دوم : مرکز آن سطح مشترک و کُره یکی خواهد بود.

اثبات ادعای اول: قبل از شروع اثبات باید توجه کرد، فرض این است که مرکز کُره برای ما معلوم است حال که مرکز کُره مشخص است برای اثبات مدعا باید چند مرحله طی شود

مرحله اول: از مرکز کُره به سوی آن فصل مشترک که روی محیط کره قرار دارد خطوطی را خارج می‌کنیم. این خطوط همگی مساوی هستند چرا که در تعریف کُره و مرکز آن در حد اول و دوم همین مقاله داشتیم : کُره جسمی است که سطح واحدی آن را احاطه کرده و در مرکز آن نقطه ای قرار دارد که تمامی خطوط خارج شده از آن مرکز به محیط با هم برابرهستند.

مرحله دوم: از طرفی در صدر مقاله اول اصول در تعریف دایره داشتیم : الدائره شکل مسطح یحیط به خط واحد وفی داخله نقطه یتساوی جمیع الخطوط المستقیمه الخارجه منها الیه و ذلک الخط محیطها وتلک النقطه مرکزها.

مرحله سوم: از طرفی فرض شد که این سطح قاطع از مرکز کُره عبور کرده است. و بیان شد تمام خطوط خارج شده از مرکز کُره به فصل مشترک برابر هستند و از آنجا که مرکز کُره در درون سطح است و از آن نقطه درون سطح خطوط مساوی به فصل مشترک خارج شده و با توجه به تعریف دایره نتیجه می‌گیریم که این فصل مشترک دایره است.

اثبات ادعای دوم: در ادعای اول ثابت شد آن فصل مشترک دایره است و از نقطه مرکز کُره که درون دایره نیز قرار دارد خطوطی به محیط دایره ختم شده که همگی مساوی هستند . اکنون با توجه به این مطالب به و با توجه به شکل ۹ مقاله سوم اصول[4] می‌گوییم با توجه به اینکه آن نقطه مرکزی کُره درون دایره هم هست و تمام خطوط خارج شده از آن به محیط دایره مساوی هستند نتیجه می‌گیریم آن نقطه مرکز دایره است و از آنجا که آن نقطه واحد است نتیجه می‌گیریم که مرکز کُره و دایره یکی است.

فرض دوم: اگر سطح مفروض را به گونه ای در درون کُره نفوذ دهیم که از مرکز کُره عبور نکند در این صورت نیز آن سطح با کُره فصل مشترکی دارند که خط است و ما آن را ( ا،ب،ج‌ ) می‌نامیم . با توجه به این فرض دو ادعا داریم.

ادعای اول: فصل مشترک ایجاد شده دایره است.

ادعای دوم : مرکز آن با مرکز کُره یکی نیست.

آماده کردن شکل برای اثبات ادعای اول:

ابتدا فرض می‌کنیم که نقطه ( د ) مرکز کُره است که آن را رسم نکرده ایم . و ( ا،ب،ج ) سطحی است که از مرکز کره عبور نکرده است. با توجه به این فرض برای آماده کردن شکل به این صورت عمل می‌کنیم.

الف: از نقطه ( د ) که مرکز کُره است خط ( ‌د،ه ) را بر سطح ( ا،ب،ج ) عمود می‌کنیم ( این کار را به کمک شکل ۱۲ مقاله ۱ اصول انجام می‌دهیم ) و محل ورود عمود را ( ه ) نام می‌گزاریم.

ب: از نقطه ( ه ) دو خط ( ه،ج ) و ( ه،ب ) را به دلخواه به خط ( ا،ب،ج ) خارج می‌کنیم طبق دومین صدر مقاله ۱۱اصول[5] می‌گویم زاویه های ( د،ه،ج ) و ( د،ه،ب ) قائمه می‌باشند.

ج: در مرحله بعد از نقطه ( د )به نقاط ( ب ) و ( ج ) دو خط وصل می‌کنیم[6] که هر دو خط ( د،ج ) و ( د،ب ) نصف قطر دایره هستند و با رسم این دو خط دو مثلث قائم الزاویه ( د،ه،ب ) و ( د،ه،ج ) بدست می‌آید که زاویه های ( د،ه،ب ) و ( د،ه،ج ) قائمه و لذا ضلع های ( د،ب ) و ( د،ج ) وتر این دو زاویه هستند.

با توجه به این سه داده مدعای دوم را اینگونه اثبات می‌کنیم.

در شکل عروس( شکل ۴۷ مقاله ۱) داشتیم که مربع وتر زاویه قائمه برابر مجموع مربع دو ضلع دیگر است در نتیجه در مثلث ( د،ه،ج ) داریم مربع ( د،ه ) + مربع ( ه،ج ) = مربع( د،ج )

و در مثلث ( د،ه،ب ) خواهیم داشت مربع ( د،ه ) + مربع ( ه،ب ) = مربع ( د،ب )

سپس مربع( د،ه ) را که در هر دو رابطه مشترک است را از مربع ضلع های ( د،ج ) و ( د،ب ) کم می‌کنیم .

و با توجه به اینکه هر گاه از دو مقدار مساوی دو مقدار مساوی کم شود باقی مانده ها مساوی خواهند بود نتیجه می‌گیریم مربع ضلع های ( ه،ج ) و ( ه،ب ) مساوی هستند.

مربع ( ه،ج ) = مربع( د،ه ) – مربع ( د،ج )

مربع( ه،ب ) = مربع( د،ه ) – مربع ( د،ب )

و با توجه به اینکه مربع این دو ضلع مساوی هستند نتیجه می‌گیریم که خود دو ضلع ( ه،ج ) و ( ه،ب ) هم مساوی هستند. ( ه،ج ) = ( ه،ب )

در نتیجه درون سطح ( ا،ب،ج ) نقطه ای وجود دارد که تمام خط های خارج شده از آن نقطه به فصل مشترک مساوی است لذا با توجه به شکل ۹ مقاله ۳ اصول که در اثبات ادعای قبل به آن اشاره شد ثابت می‌شود که این سطح دایره است. و همچنین با توجه به تعریف دایره مشخص می‌شود که نقطه ( ه ) مرکز دایره است.

و قد بان من ذلک...

ما در اثبات ادعای دوم ثابت کردیم پای عمودی که از مرکز کُره بر سطح دایره وارد شده و در مرکز آن دایره فرود می‌آید حال از این مطلب یک قاعده کلی استخراج می‌کنیم.

قاعده: هر عمودی که از مرکز کُره بر سطح دایره ای که واقع در کُره است وارد شود قطعا بر مرکز آن دایره در کُره یا بر کُره وارد می‌شود.( اثبات این قاعده در ضمن همین استدلال بر مدعای دوم روشن می‌شود لذا نیاز نیست جداگانه اثبات شود)

*شکل ب*

این شکل عملی است به این معنی که از ما عملی خواسته شده است و باید آن را تحصیل کنیم.

عمل خواسته شده: دایره ای به ما داده اند و از ما خواسته شده که مرکز آن را بدست آوریم .

روش عمل:

عمل اول: ابتدا سطح مستوی را از درون آن دایره عبور می‌دهیم ( به شکل ۱ همین مقاله این سطح با سطح کُره فصل مشترکی پیدا می‌کند که دایره است) این سطح مشترک ( دایره) دو فرض دارد.

الف: یا از مرکز کُره عبور کرده است . دراین صورت از هر راهی که توانستیم ثابت می‌کنیم که آن فصل مشترک از مرکز کُره عبور کرده است. و هنگامی که این مطلب ثابت شد به شکل ۱ همین مقاله که می‌گفت در این صورت مرکز کُره و دایره یکی است با توجه به روشن بودن مرکز دایره مرکز کُره هم مشخص می‌شود.

ب: اما اگر آن سطح عبور داده شده از مرکز کُره عبور نکند و یا عبور کرده و لکن ما نمی‌دانیم که از مرکز عبور کرده است و نیاز به اثبات داشت در این صورت لازم است عمل را ادامه دهیم به این صورت که

عمل دوم: بعد عبور دادن آن سطح از درون کُره به شکل ۱۲ مقاله ۱۱ اصول یا به شکل ۱ مقاله ۳ عمودی از مرکز دایره بر سطح آن دایره وارد می‌کنیم .

عمل سوم: سپس آن عمود را از دو طرف امتداد می‌دهیم تا از هر دو طرف به سطح داخلی کُره در نقطه های ( د ) و ( ه ) متصل شود .

عمل چهارم: حال اگر به شکل ۱۰ مقاله ۱ اصول این عمود ( د.ه ) را نصف کنیم وسط آن عمود مرکز کُره می‌باشد. ادعای ما این است که این نقطه بدست آمده که در فرض ما ( ز ) است مرکز کُره می‌باشد.

دلیل صحت عمل:

در صورت اول: در فرضی که سطح عبور داده شده از مرکز کُره عبور کند مرکز دایره که مشخص شود مرکز کُره هم مشخص می‌شود و استدلال لازم ندارد.

در صورت دوم: برای اثبات صحت عمل در صورت دوم از قیاس استثنای کمک می‌گیریم به این صورت که می‌گوییم.

مقدم: اگر نقطه ( ز ) مرکز کُره نباشد.

تالی: باید نقطه دیگری مرکز باشد و ما فرض می‌کنیم نقطه ( ح ) مرکز باشد.

و لکن التالی باطل( مرکز بودن نقطه ( ح ) باطل است )

فالملزوم مثله( مرکز نبودن نقطه ( ز ) باطل است . درنتیجه ادعای ما ثابت است و نقطه ( ز ) مرکز کُره است و هو المطلوب.

بیان ملازمه روشن است و نیاز به توضیح ندارد.

اما دلیل بطلان تالی: از نقطه ( ح ) و یا هر نقطه دیگری غیر از نقطه ( ز ) که در درون کُره فرض شود به شکل ۱۱ مقاله ۱۱ اصول عمودی بر سطح دائره {( ا.ب ) همان دایره ای که از نفوذ دادن سطح مستوی در درون کُره پدید آمد وارد می‌کنیم }

این عمود دو صورت دارد.

الف: یا بر نقطه ( ج ) که مرکز دایره است وارد می‌شود.

ب: و یا بر نقطه دیگری مثلا نقطه ( ط ) وارد می‌شود.

لکن هر دو صورت باطل است.

اما وارد شدن آن بر نقطه ( ط ) باطل است به قد بان شکل ۱ همین مقاله[7] باطل است لذا باید پای عمودی که از مرکز کُره بر دایره وارد شده حتما بر مرکز دایره وارد شود در نتیجه باید نقطه ( ط ) مرکز دایره باشد در حالی که این خلف فرض است چرا که فرض شد نقطه ( ج ) مرکز دایره است .

اما وارد شدن این عمود بر نقطه ( ج ) هم باطل است به این دلیل که فرض این است که خط ( د.ه ) بر سطح دایره در نقطه ( ج ) عمود است و چون نقطه ( ز ) روی همین خط ( د.ه ) قرار دارد پس خط ( ج.ز) بر سطح دایره در نقطه ( ج ) عمود است .

حال اگر عمود خارج از نقطه ( ح ) بر نقطه ( ج ) واقع شود لازم می‌آید که خط ( ج.ح ) نیز بر سطح دایره در نقطه ( ج ) عمود باشد در حالی که به شهادت شکل ۱۳ مقاله ۱۱ اصول[8] معلوم می‌شود که نقطه ( ح ) و هر نقطه دیگری مانند آن نمی‌تواند مرکز کُره باشد بلکه مرکز همان نقطه ( ز ) است لذا روشی که برای پیدا کردن مرکز کُره بیان کردیم روشی کاملا صحیح است .

قاعده: از این شکل این نتیجه را می‌گیریم که هرگاه دایره ای در درون کُره ای واقع شود و ما عمودی بر سطح این دایره وارد کنیم به صورتی که از مرکز دایره عبور کند این عمود از مرکز کُره نیز عبور خواهد کرد.

*شکل ج*

این شکل اثباتی است به این معنی که ادعای را می‌خواهیم اثبات کنیم .

فرض: سطح ( ر.ه ) سطحی است مستوی که با کُره ای به مرکزیت ( ج ) ملاقات کرده است و آن را قطع نکرده است .

ادعا: این سطح با کُره فقط یک نقطه تماس و ملاقات دارد.

طرح مدعا به صورت کلی: هرگاه سطح مستوی با کُره ای ملاقات کند و آن را قطع نکند این سطح و کُره فقط یک نقطه تماس خواهند داشت.[9]

دلیل: برای اثبات این ادعا از برهان خلف کمک می‌گیریم به این صورت که در مقدم خلاف مدعای خود را مطرح می‌کنیم و با این فرض به تالی فاسد می‌رسیم.

مقدم: اگر این چنین سطح مستوی که کُره را قطع نکرده است با کُره در بیش از یک نقطه تماس داشته باشد.

تالی: خلف فرض لازم می‌آید.

و لکن التالی باطل ( لزوم خلف فرض باطل است )

فالملزوم مثله ( ملاقات سطح مذکور در بیش از یک نقطه با کُره باطل است )

بیان ملازمه: برای اینکه ملازمه روشن شود لازم است ابتدا شکل را آماده کنیم.

نکته: اولاً ( ا،ح،ب ) دایره ای است که درون کُره است و لکن الان سطح آن دایره فقط مشهود است و کُره را فرض نکرده ایم اما ما در ذهن کُره ای را فرض می‌کنیم که از وسط نصف شده و ما الان فقط دایره را مشاهده می‌کنیم.

ثانیاً ( ه،ر) سطح است هرچند الان به صورت خط مشاهده می‌شود چرا که از پهلو به آن نگاه می‌کنیم.

حال بحث را در این دایره پیاده می‌کنیم و خلف فرض را در آن ثابت می‌کنیم و در نهایت به صورت کلی خلف فرض را در کُره هم ثابت می‌کنیم.

اولاً: فرض می‌کنیم سطح ( ه،ر ) با سطح کُره در دو نقطه ( الف ) و ( ب ) ملاقات کرده است[10] . با در نظر گرفتن این فرض .

از مرکز کُره که نقطه ( ج ) است خطوطی به دو نقطه ( الف ) و ( ب ) وصل می‌کنیم تا دو خط ( ج،ا ) و

( ج،ب ) پدید آید . اکنون سه خط ( ا،ب ) و ( ج،ا ) و ( ج،ب ) مثلث ( ا،ب،ج ) را تشکیل داده اند . به عبارت دیگر این سه خط سطحی را ساخته اند ( در شکل ۲ مقاله ۱۱ اصول داشتیم کل خطین یتقاطعان فهما فی سطح و داشتیم کل مثلث فهو فی سطح )

ثانیاً:

الف: این سطح مذکور ( ا،ب،ج ) که با دو خط ( ج،ا ) و ( ج،ب ) و ضمیمه شدن خط ( ا،ب ) پدید آمده است چون مشتمل بر نقطه ( ج ) یعنی مرکز کُره است نافذ در کُره می‌باشد.

و در شکل ۱ همین مقاله بیان شد که هر سطح مستوی که در کُره نفوذ کند دایره ای را حادث می‌کند . بنابر این در کُره مورد بحث که مرکز آن ( ج ) فرض شد و به فرض با سطح ( ه،ر ) در دو نقطه ( ا،ب ) ملاقات کرده است دایره ( ا،ح.،ب ) حادث گشته است.

ب: واضح است که سطح مستوی ( ه،ر ) که به فرض در دو نقطه ( الف ) و ( ب ) با کُره ملاقات کرده است در اثر این ملاقات خط ( ه،ا،ب،د) حادث شده است .

ج: از طرفی فرض شد که سطح ( ه،ر) کُره را قطع نکرده است بلکه فقط با آن ملاقات کرده است . در نتیجه خط ( ه،ا،ب،د) نیز دایره ( ا،ج،ب) را قطع نکرده است بلکه با آن ملاقات کرده است (سطحی که در کُره نفوذ کرده و دایره ( ا،ح،ب ) را ساخته است به سطح ملاقی با کُره یعنی سطح ( ه،ر) منتهی شده ، پس با خط

( ه،ا،ب،د ) نیز که در آن سطح واقع شده است نیز ملاقات کرده است)

د: چون فرض شد که کُره با سطح( ه،ر) در دو نقطه ( الف ) و ( ب ) ملاقات کرده است لذا نتیجه گرفته می‌شود که دایره ( ا،ح،ب ) نیز با خط ( ه،ا،ب،د ) در دو نقطه.

*شکل د*

مفروض ها:

الف: کُره ای داریم با مرکزیت ( ب )

ب: سطحی با این کُره در نقطه ( ا ) ملاقات کرده است.

ج: خط ( ا،ب ) مرکز کُره که نقطه ( ب) است را به نقطه ملاقات سطح با کره که نقطه ( ا ) است وصل کرده است. به عبارت دیگر از مرکز کُره به نقطه تماس وارد شده است .

مدعا: ادعای ما این است که خط ( ا،ب ) که از مرکز کُره بر نقطه تماس وارد شده است بر سطح مماس در نقطه تماس عمود است.

طرح مدعا به صورت کلی: هر گاه سطحی با کُره ای در نقطه ای مماس شود و خطی از مرکز کُره به نقطه تماس وارد شود آن خط بر نقطه تماس آن دو عمود است.

اثبات ادعا: برای اثبات شکل لازم است چند مرحله طی شود .

مرحله اول بیان شکل:

ابتدا کُره ای را فرض کرده و از بالای کُره سطحی را به درون آن نفوذ می‌دهیم به گونه ای که آن سطح از مرکز عبور کند ـ و خط ( ا،ب ) درون آن باشدـ و آن سطح در طرف چپ و راست بر محیط کُره منطبق باشد و کُره را به دو نیم کُره تقسیم کند که یک نیم کُره مقابل ما و نیم کُره دیگر پشت آن نیم کُره قرار گیرد. این سطح

اولاً به شهادت شکل ۱ همین مقاله با کُره فصل مشترکی دارد که دایره ( ا،ج،د) است .

ثانیاً این سطحی که از درون کُره عبور داده شده زیرا سطح مماس با کُره را قطع می‌کند روی آن سطح مماس با کُره خطی( ه،ا،ر) را که فصل مشترک آن سطح عبور داده شده و سطح مماس با کُره است را احداث می‌کند.[11] اکنون خط ( ر،ا،ه ) با دایره ( ا،ب،ج ) و با کُره در نقطه ( ا ) تماس دارد.

سپس سطح دیگری از بالای کُره به پایین آن نفوذ داده به گونه ای که کُره را به دو نیم کُره یمینی و یساری تقسیم کند ـ و خط ( ا،ب ) درون آن باشد ـ این سطح نیز

اولاً با کُره فصل مشترکی دارد که دایره ( ا،د،ط ) است.

ثانیاً از آنجای که سطح مماس با کُره را نیز قطع کرده است فصل مشترکی با آن دارد که خط ( ک،ا،ل ) است و آن دایره و با آن خط مماس در نقطه ( ا ) ملاقات دارند. و کُره هم در همین نقطه با سطح در تماس است.

توجه: این دو دایره که از مرکز کُره عبور کرده اند اولاً مرکزشان با کُره یکی است ثانیاً در دو نقطه که فصل مشترک آنها نیز می‌باشد برخورد دارند.

نکته۱: هر دو خط ما روی آن سطح مماس با کُره هستند و نقطه تقاطع آنها فصل مشترک آنها می‌باشد چرا که در اصول بیان شد که فصل مشترک دو خط نقطه است...لذا نقطه ( ا ) در مثال ما فصل مشترک دو خط روی سطح است و نقطه تماس کُره با سطح نیز می‌باشد.

نکته۲: دايره ( ا،د،ج ) به دو نیم دایره تقسیم شده است که ( ا،د ) نصف آن و ( ا،ج،د ) نصف دیگر آن است هر چند شکل این را نشان نمی‌دهد اما فرض این است که این کُره به این دو نیم دایره تقسیم شده است هکذا در دایره ( ا،د،ط )که به دو بخش ( ا،د ) و ( ا،د،ط ) تقسیم شده است.

نکته۳: اگر در بیان شکل گفتیم سطح را در کُره عبور دادیم شرط می‌کنیم که خط ( ا،ب ) درون آن باشد. اما اگر گفتیم سطحی را از مرکز کُره عبور دهید لازم نیست شرط را اعتبارکرد به دلیل اینکه در این صورت آن خط حتماً درون آن سطح خواهد بود ( خواجه فرموده سطح را از مرکز عبور دهید لذا فرموده کیف اتفق . اما اگر به صورت دیگر بگوید عبارت کیف اتفق صحیح نمی‌باشد)

مرحله دوم استفاده از مطالب و نتیجه گیری:

الف: به عمل دیدیم که در دایره ( ا،د،ج ) خط ( ب،ا ) مرکز دایره را به نقطه تماس دایره با خط ( ه،ا،ر) یعنی به نقطه ( ا ) وصل کرده است لذا به شکل ۱۷ م۳ اصول [12] بر خط مماس یعنی بر خط ( ه،ا،ر) در نقطه ( ا ) عمود است. در نتیجه خط ( ب،ا ) بر نقطه ( ا ) عمود است.

ب: و باز به عمل دیدیم که در دایره ( ا،د،ط ) خط ( ب،ا ) مرکز دایره را به نقطه تماس دایره با خط

( ک،ا،ل ) یعنی به نقطه ( ا ) وصل کرده است لذا به شکل ۱۷ م ۳ اصول خط ( ب،ا ) نیز بر ( ا ) عمود است.

ج: با توجه به مطلب اثبات شده در قسمت الف و قسمت ب استفاده می‌شود که خط (ب،ا) بر هر دو خط

( ه،ا،ر ) و ( ک،ا،ل ) در نقطه ( ا ) عمود شده است .

در نتیجه خط ( ب،ا ) به شکل ۴ مقاله ۱۱ اصول[13] بر فصل مشترک دو خط ( ر،ا،ه) و ( ک،ا،ل ) عمود است و چون این دو خط در یک سطح قرار دارند لذا آن خط بر علاوه بر اینکه بر آن دو خط عمود است بر خود آن سطحی که آن دو خط روی آن قرار دارن نیز عمود است .و هو المطلوب.

*شکل ه*

مفروض ها:

الف: کُره ای داریم به مرکزیت ( ب )

ب: سطحی را با این کُره در نقطه ( ا ) تماس داده ایم.

ج: به شکل۱۱ مقاله اول اصول اگر خطی از نقطه تماس عمود ‌کنیم[14]

با توجه به این سه فرض ادعای ما این است.

ادعا: این خطی که از نقطه تماس کُره و سطح عمود شده است از مرکز کُره عبور کرده است ( به عبارت این عمود نقطه تماس را به مرکز کُره وصل می‌کند ).

طرح مدعا به بیان کلی: هر گاه سطحی با کُره ای در نقطه ای مما س شود و خطی بر نقطه تماس آن دو عمود شود این خط از مرکز کُره عبور می‌کند ( یعنی مرکز کُره را به نقطه تماس وصل می‌کند)

نکته: ادعای ما دراین شکل عکس ادعای شکل چهارم است به این بیان که در شکل چهارم گفته شد خطی که مرکز را به نقطه تماس وصل می‌کند بر نقطه تماس عمود است .

اما در این شکل گفته می‌شود خطی که از نقطه تماس عمود است مرکز کُره را به نقطه تماس وصل می‌کند.

بیان شکل: کُره مورد نظر ( ا ) است . سطحی که با کُره تماس گرفته سطح ( د،ا،ه ) و نقطه تماس آن دو

( ا ) است.

دلیل:

اگر خط عمود که اسم آن را ( ا،ب ) گذاشته ایم از مرکز کُره که نقطه ( ب) است عبور نکند، به عبارت دیگر اگر نقطه ( ب ) مرکز کُره نباشد. به خصم می‌گوییم به نظر شما مرکز کُره چه نقطه ای است ؟

فرض می‌کنیم که خصم عقیده دارد که نقطه ( ج ) مرکز کُره باشد .

طبق این فرض مطلب را پیش می‌بریم اگر به تالی فاسد نرسیدیم ادعای خصم تمام و ادعای ما باطل است و الا مطلوب ما ثابت می‌شود.

از طرفی از نقطه ( ج ) که خصم آن را مرکز کُره فرض کرده است خطی به نقطه تماس( ا ) وارد می‌کنیم تا خط ( ا،ج ) بدست آید .

این خط ( ا،ج ) به شهادت شکل ۴ همین مقاله بر سطح مماس در نقطه الف عمود است.[15]

از طرفی در فرض داشتیم که خط( ا،ب ) بر این سطح در همین نقطه ( ا ) عمود است.[16]

با توجه به این مطلب لازم می‌آید در یک نقطه واحد ( ا ) از یک سطح آن هم از یک طرف دو عمود وارد شود و این مطلب باطل است ( لا یقوم علی سطحٍ عمودان علی نقطهٍ منه)[17]

در نتیجه با عمل به ادعای خصم به تالی فاسد رسیدیم لذا ادعای او باطل و مطلوب ما ثابت می‌شود.

بیان منطقی

مقدم: اگر خط ( ا،ب) که به فرض عمود بر نقطه ( ا ) است از مرکز کُره عبور نکند. به عبارت دیگر اگر

( ب ) که مرکز نباشد.

تالی: لازم می‌آید بر یک نقطه از یک سطح آن هم از یک طرف دو عمود فرود آید.( بیان ملازمه روشن شد)

و لکن التالی باطل به شهادت شکل ۱۳م ۱۱ اصول.

فالملزوم مثله یعنی نقطه ج مرکز باشد باطل است.

*شکل و*

مفروض ها:

الف: کُره ای داریم با مرکزیت ( ح )

ب: در این کُره دایره ( ج،د ) را از مرکز کُره عبور می‌دهیم. واضح است که مرکز این دایره همان مرکز کُره

است و مرکز کره نقطه ( ح ) است.

مُدعا: این دايره و هر دایره دیگری که از مرکز کُره عبور کند بزرگترین دایره ای است می‌تواند در کُره عبور داده شود و به این جهت دایره عظیمه نامیده می‌شود..

مفروض دوم:

الف: کُره ای داریم با مرکزیت ( ح )

ب: دو دایره ( ا،ب ) و ( ه،ز ) به یک فاصله از مرکز کُره هستند.

مُدعا: این دو دایره و هر دو دایره دیگری که از مرکز به یک فاصله قرار گیرند مساوی هستند

مفروض سوم:

الف: کُره ای داریم با مرکزیت ( ح )

ب: در این کُره دو دایره ( ا،ب ) و ( ه،ز) را به گونه ای نفوذ داده ایم که فاصله دایره ( ا،ب ) بیشتر از فاصله دایره ( ه،ر) است.در این صورت ادعا این است

مُدعا: دایره ( ا،ب ) و هر دایره دیگری که فاصله اش از مرکز بیشتر است کوچکتر است از دایره ( ه،ر) و هر دایره دیگری است که فاصله اش از مرکز کُره کمتر باشد.

نکته: با ثابت کردن این اصل حکم عکس نیز روشن می‌شود.

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: سه دایره ( ا،ب ) و ( ج،د ) و ( ه،ز) را در کُره ای که مرکزش ( ح ) است واقع می‌سازیم به صورتی که دایره ( ج،د ) از مرکز کُره عبور کند. در این صورت مرکز دایره منطبق بر مرکز کُره است.

و دو دایره ( ا،ب ) و ( ه،ز) را یک بار در فاصله مساوی از مرکز کُره و یک بار در فاصله های مختلف از مرکز کُره قرار می‌دهیم.

ب: از مرکز کُره (نقطه ح) که مرکز دایره ( ج،د ) نیز هست به شکل ۱۱مقاله ۱۱ اصول عمود ( ح،ط ) را بر سطح دایره ( ا،ب ) وارد می‌کنیم و همچنین عمود ( ح،ک ) را بر سطح دایره ( ه،ز ) وارد می‌کنیم. این دو عمود.

اولاً برابر هستند زیرا به عمل این دو دایره را با یک فاصله از مرکز کُره رسم کردیم.

ثانیاً با توجه به استبانه شکل ۱ همین مقاله مشخص می‌شود که محل ورود این دو خط مرکز دو دایره است. یعنی نقطه ( ط ) مرکز دایره ( ا،ب ) و نقطه ( ک ) مرکز دایره ( ه،ز ) است.

ج: از مرکز های سه دایره به محیط های آنها سه خط ( ح،م ) در دایره ( ج،د ) و ( ط،ل ) در دایره ( ا،ب ) و (ک،ن) در دایره ( ه،ز ) رسم می‌کنیم . واضح است که این سه خط نصف قطر های دایره های خود هستند .

د: از نقطه ( ح ) که مرکز کُره است به دو نقطه ( ل ) و ( ن ) که دو نقطه از محیط کُره هستند و علاوه بر این اولی نقطه ای از محیط دایره ( ا،ب ) و دومی نقطه ای از محیط دایره ( ه،ز) است دو خط ( ح،ل ) و

( ح،ن ) را رسم می‌کنیم تا با رسم آنها ـ به خاطر نصف قطر بودنشان مساوی هستندـ دو مثلث قائم الزاویه

( ح،ط،ل ) و ( ح،ک،ن ) به وجود می‌آید.

بیان یک مقدمه: بیان شد که خط ( ح،ط) بر سطح دایره ( ا،ب ) و خط ( ح،ک ) بر سطح دایره ( ه،ز ) عمود هستند لذا به دومین صدر از صدور مقاله ۱۱ اصول خط های ( ح،ط ) و ( ح،ک ) به ترتیب بر بر دو خط ( ط،ل ) و ( ک،ن ) که وتر دو دایره هستند عمود شده اند. یعنی دو مثلث ( ح،ط،ل ) و ( ح،ک،ن ) دو مثلث قائم الزاویه هستند.

لذا با توجه به شکل ۴۷ مقاله اول اصول (شکل عروس) راجه به مثلث ( ح،ط،ل ) این رابطه صحیح خواهد بود.

مربع ( ط،ل ) + مربع ( ح،ط ) = مربع ( ح،ل )

و راجع به مثلث ( ح،ک،ن ) این رابطه صحیح خواهد بود.

مربع ( ک،ن ) + مربع ( ح،ک ) = مربع ( ح،ن )

نکته: دو وتر این دو مثلث یعنی خط های ( ح،ل ) و ( ح،ن ) و همچنین نصف قطر دایره ( ج،د ) یعنی خط ( ح،م ) به خاطر اینکه هر سه نصف قطر کُره هستند با هم مساوی هستند. حال که این مقدمه بیان شد با توجه به تمام مطالب ذکر شده تا کنون وارد استدلال و اثبات ادعای اول می‌شویم

اثبات ادعای اول:

می‌گوییم با توجه به هر یک از این دو رابطه بدست می‌آید که وتر زاویه قائمه در هر مثلث قائم الزاویه ای بزرگتر است از وتر دو زاویه دیگر که غیر قائمه هستند می‌باشد (به شکل ۱۹ مقاله۱ اصول)

بنابراین حکم می‌کنیم که خط ( ح،ل ) از نصف قطر دایره ( ا،ب ) یعنی از خط ( ط،ل ) و همچنین خط

( ح،ن) از نصف قطر دایره ( ه،ز ) یعنی از خط ( ک،ن ) بزرگتر است.

و قبلاً در مقدمه گفتیم که خط ( ح،م ) که نصف قطر ( ج،د ) است با دو خط ( ح،ل ) و ( ح،ن ) مساوی است درنتیجه ( ح،م ) نیز از دو خط ( ط،ل ) و ( ک،ن ) نیز بزرگتر است.

از این جا معلوم می‌شود که نصف قطر دائره(ج،د) از نصف قطر دو دائره دیگر یعنی( ا،ب) و ( ه،ز) بزرگتر است. و همچنین از هر دائره دیگری که از مرکز عبور نکرده باشد بزرگتر است .

و همچنین نتیجه گرفته می‌شود که خود دایره ( ج،د ) نیز از آن دو دائره دیگر بزرگتر است. و هو المطلوب

اثبات ادعای دوم:

برای اثبات مساوی بودن دو دایره ای که فاصلا آنها از مرکز کُره به یک اندازه است می‌گوییم.

در دو رابطه قبلی نوشته شد وترها ، یعنی دو خط ( ح،ل ) و ( ح،ن ) به خاطر اینکه نصف قطر هستند با هم مساوی می‌باشند.

و همچنین دو خط ( ح،ط ) و ( ح،ک ) نیز با توجه به اینکه فاصله دو دایره ( ا،ب ) و ( ه،ز ) تا مرکز کُره مساوی است برابر می‌باشند. لذا نتیجه گرفته می‌شود که خط های ( ط،ل ) و ( ک،ن ) نیز با هم مساوی هستند .

و از آنجا که خط ( ط،ل ) نصف قطر دایره ( ا،ب ) و خط ( ک،ن ) نصف قطر دایره ( ه،ز ) است نتیجه گرفته می‌شود که نصف قطر های این دو دایره نیز با هم مساوی هستند.

از اینجا بدست می‌آید که خود این دو دایره نیز با هم مساوی هستند و هو المطلوب الثانی.

اثبات ادعای سوم: برای اثبات کوچکتر بودن دایره ای که از مرکز دورتر است نسبت به دایره ای که نزدیک مرکز است می‌گوییم.

بنابر اینکه فاصله دایره ( ا،ب ) تا نقطه ( ح ) که مرکز کُره است بیشتر از فاصله دایره ( ه،ز ) تا نقطه مرکز کُره باشد در نتیجه خط ( ح،ط ) نیز بلند تر از خط ( ح،ک ) خواهد بود .

حال اگر در دو رابطه نوشته شده مربع ( ح،ط ) زا از مربع ( ح،ل ) و مربع ( ح،ک ) را از مربع ( ح،ن ) کم کنیم

و با توجه به اینکه مفروق منه ها که نصف قطر های کُره هستند با هم مساوی هستند.

و از طرفی جون مفروق در تفریق اول یعنی مربع ( ح،ط ) بزرگتر از مفروق در تفریق دوم یعنی مربع

( ک،ن ) است .

در نتیجه باقی مانده در تفریق اول یعنی مربع( ط،ل ) کوچکتر از باقی مانده در تفریق دوم یعنی مربع

( ک،ن ) است . و هنگامی که مربع ( ط،ل ) کوچکتر از مربع ( ک،ن ) باشد خود ( ط،ل ) نیز کوچکتر از

( ک،ن ) می‌باشد.

و از آنجا که ( ط،ل ) نصف قطر دایره ( ا،ب ) است و ( ک،ن ) نصف قطر دایره ( ه،ز ) است پس نصف قطر دایره ( ا،ب ) کوتاهتر از نصف قطر دایره ( ه،ز ) است .

از اینجا بدست می‌آید که خود دایره ( ا،ب ) نیز کوچکتر از دایره ( ه،ز ) است و هو المطلوب الثالث.

نکته: ما دلیل اثبات سه مدعا را با توجه به سه دایره مذکور بیان کردیم . واضح است که دلیل ما در دایره های مشابهی که در کُره فرض شود نیز جریان خواهد داشت. در نتیجه گویا هر سه مدعا به صورت کلی ثابت شده اند.

*شکل ز*

مفروض ها:

الف: کُره ای داریم به مرکزیّت ( ه )

ب: در این کُره دایره ای واقع کرده ایم به مرکزیّت ( ز )

ج: مرکز کُره را به مرکز دایره وصل کرده ایم که در اثر این کار خط ( ه،ز ) که از سطح دایره به مرکز آن رسیده است را بدست آورده ایم.

با توجه به این سه فرض:

مدعا: خط ( ه،ز ) بر سطح دایره مذکور عمود است.

بیان مدعا به صورت کلی: هر گاه دایره ای در کُره ای واقع شود و از مرکز کُره به مرکز دایره خطی رسم شود این خط بر سطح دایره مذکور و در نقطه مرکز آن دایره عمود است.

نکته: همانگونه که مشاهده می‌کنید این شکل عکس استبانه شکل اول است.

آماده کرده شکل برای استدلال:

الف: در دایره مفروض دو قطر ( ا،ز،د ) و ( ب،ز،ج ) را که در مرکز دایره یعنی نقطه ( ز ) همدیگر را قطع کرده اند رسم می‌کنیم.

ب: از مرکز کُره ( ه ) به نقطه ( ب ) و ( ح ) که هر دو بر محیط دایره واقع شده اند دو خط ( ه،ج ) و

( ه،ب ) را رسم می‌کنیم که در اثر این کا دو مثلث ( ه،ب،ز ) و ( ه،ج،ز ) بدست می‌آید.

ج: بار دیگر از مرکز کُره ( ‌ه ) به دو نقطه ( ا ) و ( د ) که هر دو برمحیط دایره هستند وصل می‌کنیم که در اثر این کار دو مثلث ( ه،ا،ز ) و ( ه،د،ز ) بدست می‌آید.

با توجه به این اعمال شروع به استدلال می‌کنیم.

اثبات مدعا در ضمن سه مرحله:

مرحله اول: در دو مثلث ( ه،ب،ز ) و ( ه،ج،ز ) دو ضلع ( ه،ب ) و ( ه،ج ) مساوی هستند چرا که هر دو نصف قطر کُره می‌باشند.

و دو ضلع ( ب،ز ) و ( ج،ز ) نیز مساوی هستند چرا که هر دو نصف قطر دایره هستند.

و ضلع ( ه،ز ) نیز نیز مشترک میان این دو مثلث است.

در نتیجه به مدعای دوم شکل شکل ۸ مقاله ۱ اصول[18] این دو مثلت مساوی هم هستند.

و به مدعای همین شکل ۸ مقاله ۱ اصول دو زاویه ( ه،ز،ب ) و ( ه،ز،ج ) با هم مساوی هستند.

اما برای اثبات قائمه بودن این دو زاویه از شکل ۱۳ مقاله ۱ اول استفاده می‌کنیم که می‌گفت: اذا قام خطٌ علی خطٍ کیف کان حدثت عن جنبتیه زاویتان اما قائمتان او متساویتان معاً لقائمتین.

با توجه به این قاعده و مساوی بودن این دو زاویه که از شکل ۸ استفاده شد نتیجه می‌گیریم که این دو زاویه قائمه می‌باشند. همچنین نتیجه می‌گیریم که خط ( ه،ز ) بر قطر دایره ( ا،ب،ج،د ) یعنی ( ب،ج ) عمود است.

مرحله دوم: در دو مثلث ( ه،ا،ز ) و ( ه،د،ز ) دو ضلع ( ه،ا ) و ( ه،د ) با هم مساوی می‌باشند چرا که هر دو نصف قطر کُره هستند.

و همچنین دو ضلع ( ا،ز ) و ( د،ز ) نیز مساوی هستند چرا که هر دو نصف قطر دایره می‌باشند.

و ضلع ( ه،ز ) نیز مشترک بین این دو مثلث است.

در نتیجه به مدعای دوم شکل ۸ مقاله ۱ اصول این دو مثلث نیز با هم مساوی هستند.

و به مدعای اول همین شکل دو زاویه ( ه،ز،ا ) و ( ه،ز،د ) نیز با هم مساوی هستند.

و با توجه به شکل ۱۳ مقاله ۱ اصول این دو زاویه مذکور یا هر یک قائمه هستند یا معادل قائمتین.

و از آنجا که به شکل ۸ مقاله ۱ تساوی آن دو ثابت شد نتیجه می‌گیریم که این دو زاویه قائمه می‌باشند.

و همچنین نتیجه می‌گیریم که خط ( ه،ز ) بر قطر دایره مفروض یعنی ( ا،د ) در نقطه ( ز ) عمود است.

مرحله سوم: از مطالبی که در مرحله اول بیان شد بدست می‌آید که خط ( ه،ز ) بر خط ( ب،ج ) در نقطه ( ز ) عمود است.

و از مطالبی که در مرحله دوم بیان شد بدست می‌آید که خط ( ه،ز ) بر خط ( ا،د ) در نقطه ( ز ) نیز عمود است.

از مجموع این دو مطلب مشخص می‌شود که خط ( ه،ز ) بر فصل مشترک دو خط ( ا،د ) و ( ب،ج ) عمود شده است.

در نتیجه به شکل ۴ مقاله ۱۱ اصول[19] معلوم می‌شود که این خط بر سطحی که این دو خط بر آن قرار دارند نیز عمود است. و چون این دو خط هر دو قطر دایره مفروض هستند و بر سطح آن قرار دارند در نتیجه خط ( ه،ز ) بر سطح این دایره عمود است و هو المطلوب.

اثبات مدعا با استفاده از برهان خلف:

اگر خط ( ه،ز ) و هر خط دیگری مانند آن بر سطح دایره مفروض عمود نباشد از مرکز کُره عمودی را بر سطح آن دايره اخراج می‌کنیم قهراً این عمود به استبانه شکل ۱ همین مقاله بر مرکز دایره واقع می‌شود و لازم می‌اید که از اجتماع دو خط مستقیم سطح بوجود آید در حالی که بوجود آمدن سطح با دو خط مستقیم به صدر مقاله ۱ اصول که می‌گفت: لا یحیط خطان مستقیمان بسطح ... باطل است. در نتیجه عمود دوم باطل است و لذا همان خط اول یعنی ( ه،ز) بر سطح دایره عمود است. و هو المطلوب.

*شکل ح*

مفروض ها:

الف: کُره ای داریم به مرکزیّت ( د )

ب: دراین کُره دایره ( ا،ب،ج ) را با مرکزیّت ( ه ) واقع ساخته ایم.

ج: از مرکز کُره ( د ) بر مرکز دایره ( ه ) خط ( د،ه ) را عمود کرده ایم به گونه ای که پای عمود نقطه ( ه ) است.

د: این عمود را از یک طرف تا نقطه ( ز ) و از طرف دیگر تا نقطه ( ح ) که هر دو بر سطح کُره واقع شده اند ادامه داده ایم.

با توجه به این سه فرض:

مدعا: دو نقطه ( ز ) و ( ح ) که در سطح کُره واقع شده اند و امتداد عمود خارج شده از مرکز کُره می‌باشند دو قطب دایره ( ا،ب،ج ) هستند. به عبارت دیگر عمود مذکور از دو قطب دایره می‌گزرد.

بیان مدعا به صورت کلی:

هر گاه دایره ای در کُره ای واقع شود و عمودی از مرکز آن کُره بر سطح آن دایره فرود آید آن عمود اگر امتداد داده شود از دو قطب دایره عبور می‌کند.

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: ابتدا دو قطر دایره ( ا،ب،ج ) را به دلخواه رسم می‌کنیم و اسم آن دو قطر را ( ا،ج ) و ( ب،ط ) می‌گزاریم.

ب: در مرحله دوم یک باز از نقطه ( ز ) که بر سطح کُره قرار دارد خطوطی را به نقاط ( ا ) ، ( ب ) ، ( ج ) ، ( ط ) وصل می‌کنیم که در اثر این کار چهار خط ( ز،ا ) ، ( ز،ب ) ، ( ز،ج ) ، ( ز،ط ) بدست می‌آید و در نتیجه چهار مثلث ( ز،ا،ه ) ، ( ز،ب،ه ) ، ( ز،ج،ه ) ، ( ز،ط،ه ) بدست می‌آید.

بار دیگر از نقطه ( ح ) که بر سطح کُره قرار دارد خطوطی را به نقاط ( ا ) ، ( ب ) ، ( ج ) ، ( ط ) وصل می‌کنیم که در اثر این کار چهار خط ( ح،ا ) ، ( ح،ب ) ،‌ ( ح،ج ) ، ( ح،ط ) بدست می‌آید. و همچنین با رسم این خطوط چهار مثلث ( ح،ا،ه ) ، ( ح،ج،ه ) ، ( ح،ب،ه ) ، ( ح،ط،ه ) به وجود می‌آید.

با توجه به این اعمال شروع به استدلال می‌کنیم.

اثبات مدعا در ضمن سه مرحله:

مرحله اول:

الف: در چهار مثلث ( ز،ا،ه ) ، ( ز،ب،ه ) ، ( ز،ه،ج ) ، ( ز،ه،ط ) زاویه های چهارگانه ( ز،ه،ا ) ، ( ز،ه،ب ) ،

( ز،ه،ج ) ، ( ز،ه،ط ) قائمه هستند . به این دلیل که.

اولاً طبق شکل ۷ همین مقاله خط ( د،ه ) بر سطح دایره ( ا،ب،ج ) عمود است .

ثانیاً به شهادت دومین صدر مذکور در مقاله ۱۱ اصول که می‌گفت هر گاه خطی بر سطحی عمود باشد بر تمام خطوط موجود در آن سطح نیز عمود است نتیجه می‌گیریم که خط ( د،ه ) بر دو قطر ( ا،ج ) ، ( ب،ط) عمود است . در نتیجه چهار زاویه بدست آمده در اثر برخورد این عمود بر این دو خط قائمه هستند.

ب: ضلع ( ز،ه ) مشترک بین این چهار مثلث است.

ج: چهار ضلع ( ه،ا ) ، ( ه،ب ) ، ( ه،ج ) ، ( ه،ط ) نیز با هم مساوی می‌باشند چرا که همگی نصف قطر دایره هستند.

نتیجه: چهار مثلث مذکور به شکل ۴ مقاله اول اصول[20] با هم مساوی می‌باشند.

و از تساوی این چهار مثلث بدست می‌آید که چهار ضلع ( ز،ا ) ، ( ز،ب) ، ( ز،ج ) ، ( ز،ط ) که نقطه ( ز ) از محیط کُره را به دایره وصل می‌کنند و همچنین هر خطی که از نقطه ( ز ) به محیط دایره وصل شود با هم مساوی می‌باشند.

مرحله دوم:

در چهار مثلث ( ح،ا،ه ) ، ( ح،ج،ه ) ، ( ح،ب،ه ) ، ( ح،ط،ه )

اولاً چهار زاویه ( ا،ه،ح ) ، ( ج،ه،ح ) ، ( ب،ه،ح ) ، ( ط،ه،ح ) همگی قائمه و مساوی هستند به همان بیانی که در چهار مثلث قبلی بیان شد.

ثانیاً چهار ضلع ( ه،ا ) ، ( ه،ب ) ، ( ه،ج ‌) ، ( ه،ط ) مساوی می‌باشند چرا که همگی نصف قطر دایره هستند.

ثالثاً ضلع ( ح،ه ) مشترک بین این چهار مثلث است.

نتیجه: چهار مثلث مذکور به شکل ۴ مقاله اصول مساوی و در نتیجه چهار ضلع ( ح،ا ) ، ( ح،ب ) ، ( ح،ج ) ، ( ح،ط ) و هر خط دیگری که از نقطه ( ح ) که در سطح کُره قرار دارد به محیط دایره وصل شود با هم مساوی هستند.

مرحله سوم: از مطالب مذکور در مرحله اول بدست آمد که همه خطوطی که از نقطه ( ز ) که بر سطح کُره قرار دارد به محیط دایره ختم شود مساوی هستند.

و از مطالب مذکور در مرحله دوم بدست آمد که تمام خطوطی که از نقطه ( ح ) که بر سطح کُره قرار دارد به محیط دایره ختم شود مساوی می‌باشند.

از طرفی با توجه به تعریف قطب دایره که در ابتدای همین مقاله بیان شد[21] بدست می‌آید که دو نقطه ( ز ) و ( ح ) دو قطب دایره ( ا،ب،ج) هستند.

به عبارت دیگر می‌یابیم که عمود ( د،ه ) از دو قطب دایره ( ا،ب،ج ) می‌گزرد و لذا حکم می‌کنیم به اینکه هر گاه دایره ای در کُره ای واقع شود و از مرکز کُره بر سطح آن دایره عمودی فرود آید آن عمود که بر مرکز دایره وارد شده است اگر از دو طرف امتداد داده شود از دو قطب دایره مذکور می‌گزرد. و هو المطلوب.

*شکل ط*

مفروض ها:

الف: کُره ای داریم با مرکزیّت نقطه ( د )

ب: در این کُره دایره ( ا،ب،ج ) را با مرکزیّت نقطه ( ه ) واقع ساخته ایم.

ج: بین دو قطب این دایره یعنی بین دو نقطه ( ز ) و ( ح ) که بر روی سطح کُره قرار دارند خط ( ز،ح ) را رسم می‌کنیم.

د: این خط از مرکز دایره عبور و قسمتی از خط ( ز،ح ) مرکز کُره را به مرکز دایره وصل کرده است.

با توجه به این مفروض ها.

مدعا: آن قسمتی از خط ( ز،ح ) که مرکز کُره را به مرکز دایره وصل کرده است بر سطح دایره ( بر نقطه که مرکز دایره است ) عمود است.

بیان مدعا به صورت کلی:

هر گاه دایره ای بر کُره ای واقع شود و خطی بین دو قطب دایره رسم شود و از مرکز دایره عبور کند ( به عبارت دیگر بین هر یک از دو قطب و مرکز دایره رسم شود) این خط بر سطح دایره عمود است.

نکته: همانگونه گه مشاهده می‌کنید این شکل عکس شکل هشتم است.

آماده کرده شکل برای استدلال:

مانند شکل قبل دو قطر ( ا،ه،ج ) و ( ب،ه،ط ) را در دایره رسم می‌کنیم که در اثر این عمل چهار خط

( ز،ا ) ، ( ز،ح ) ، ( ز،ب ) ، ( ز،ط ) و همچنین خط های ( ح،ا ) ، ( ح،ج ) ، ( ح،ب ) ،‌ ( ح،ط ) بدست می‌آید.

با توجه به این مطلب مدعا را را به سه روش اثبات می‌کنیم.

اثبات مدعا به روش اول در ضمن سه مرحله:

مرحله اول: در چهار مثلث ( ز،ه،ا ) ، ( ز،ه،ب ) ، ( ز،ه،ج ) ، ( ز،ه،ط )

اولاً ضلع های ( ز،ا ) ، ( ز،ج ) ، ( ز،ب ) ، ( ز،ط ) با هم مساوی هستند چرا که همگی آنها نصف قطر کُره هستند.

ثانیاً ضلع های ( ز،ا ) ، ( ز،ج ) ، ( ز،ب ) ، ( ز،ط ) نیز مساوی هستند که در آنها فاصله قطب دایره اند و با توجه به تعریف قطب دایره مساوی هستند

ثالثاً ضلع ( ز،ه ) در هر چهار مثلث مشترک است.

نتیجه: با توجه به شکل ۸ مقاله ۱ اصول که می‌گفت : هر گاه سه ضله مثلثی با سه ضلع مثلث دیگر نظیر به نظیر مساوی باشند زاویه های آنها نیز نظیر به نظیر با هم برابر می‌باشند. و همچنین خود آن دو مثلث نیز با هم برابر هستند. در نتیجه چهار زاویه ای که با حرف ( ه ) نشان داده شده اند نیز با هم برابر می‌باشند.

مرحله دوم:

زاویه های که با حرف ( ه ) نشان داده شده اند از قیام خط ( ز،ه ) بر خط ( ا،ج ) یا خط ( ب،ط ) درست شده اند و از آن جا که این دو خط مساوی هستند به شهادت شکل ۱۳ مقاله ۱ اصول[22] مشخص می‌شود که همگی این چهار زاویه قائمه هستند. یعنی خط ( ه،ز ) بر خط های ( ا،ب ) ، ( ب،ط ) و به عبارت دیگر بر فصل مشترک این دو خط عمود است .

همین بیان را در چهار مثلثی که در طرف دیگر دایره با رأس مشترک ( ح ) تشکیل می‌شوند نیز بیان می‌کنیم.

مرحله سوم: خط ( ز،ه ) و همچنین خط ( ح،ه ) از آنجا که بر فصل مشترک دو خط مرسوم در دایره یعنی دو خط ( ا،ج ) و ( ب،ط ) بر سطح دایره مفروض به شهادت شکل ۴ مقاله ۱۱ [23] عمود می‌باشند و هو المطلوب.

اثبات مدعا به روش دوم:

در این روش مدعا را در طی دو مرحله اثبات می‌کنیم.

مقدمه اول: خطی که قطب دایره را به مرکز آن وصل می‌کند از مرکز کُره عبور می‌کند ( اگر دایره از مرکز کُره گذشته باشد مرکز کُره و مرکز دایره یکی است . و اگر دایره از مرکز کُره عبور نکرده باشد خطی که قطب نزدیک را به مرکز دایره وصل می‌کند بعد از رسیدن به مرکز دایره از مرکز کُره عبور می‌کند)

مقدمه دوم: چنین خطی که از قطب دایره به مرکز دایره و از آنجا به مرکز کُره می‌رسد و از آن عبور می‌کند ( قطب دایره را به مرکز کُره وصل می‌کند ) بر سطح دایره عمود است.

اثبات مقدمه دوم: این مقدمه به وسیله شکل ۷ همین مقاله ثابت می‌شود.

اثبات مقدمه اول:

اگر این خط از مرکز کُره عبور نکند از آن جای که مرکز کُره خالی می‌باشد می‌توانیم از آن نقطه عمودی بر سطح دایره وارد کنیم.

و اگر چنین کاری را انجام دهیم باید این عمود بر خطی که قطب دایره را به مرکز آن وصل می‌کند منطبق شود و الا مطلوب ما ( یعنی عمود بودن خطی که قطب دایره را به مرکز آن وصل می‌کند) که خصم آن را قبول نکرد ثابت می‌شود . و معلوم است که عمودِ خارج از مرکز کُره و وارد بر مرکز دایره اگر بر خطی که قطب دایره را به مرکز آن وصل می‌کند منطبق نباشد لازم می‌آید که دو خط مستقیم ( ۱ـ عمود خارج از مرکز کُره و وارد بر مرکز دائره .۲ـ خطی که قطب دایره را به مرکز آن وصل کرده است) که هر دو در مرکز دایره ملاقات کرده اند سطحی را احاطه کرده باشند. یعنی بدونه ضمیمه شدن خط سوم سطحی پدید آورده باشند در حالی که این مطلب به شهادت صدر مقاله اول اصول که می‌گفت: لا یحیط خطان مستقیمان بسطحٍ با طل است .

در نتیجه اینکه خط واصل بین قطب و مرکز دایره از مرکز کُره عبور نکرده باشد و مرکز کُره را برای عبور عمود مذکور خالی بگزارد محال است . بنابراین این خط واصل بین قطب و مرکز دایره باید از مرکز کُره عبور کند و هو المطلوب.

اثبات مدعا به روش سوم:

به شهادت شکل ۷ همین مقاله خط واصل بین مرکز کُره و مرکز دایره بر سطح دایره عمود است .

و واضح است که این خط بر خط واصل بین قطب و مرکز دایره منطبق است . در نتیجه خط واصل بین قطب و مرکز داره نیز بر سطح دایره عمود است و هو المطلوب.

*شکل ی*

مفروض ها:

الف: دایره ( ا،ب،ج ) را داریم که یکی از دو قطب آن که نقطه ( د ) است روی سطح کُره واقع شده است.

ب: به شکل ۱۱ مقاله ۱۱ اصول از نقطه ( د ) بر سطح دایره عمود ( د،ه ) را اخراج می‌کنیم.

با توجه به این دو فرض.

مدعا:

اولاً نقطه ( ه ) که پای عمود ( د،ه ) است مرکز دایره است.

ثانیاً نقطه (ز) قطب دیگر دایره است و عمود ( د،ه ) اگر امتداد داده شود از آن قطب عبور می‌کند.

بیان مدعا به نحو کُلیّ: هر گاه دایره ای درون کُره ای واقع شود و عمودی از یک قطب این دایره بر سطح دایره عمودی وارد شود این عمود اولاً بر مرکز دایره واقع می‌شود ثانیاً اگر امتداد داده شود بر قطب دیگر دایره نیز عبور می‌کند.

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: از نقطه ( ه ) که محل وقوع عمود است دو خط ( ه،ا ) و ( ه،ب ) را به دلخواه رسم می‌کنیم.( این دو خط در واقع نصف قطرهای دایره می‌بانشد اما از آن جا که مرکز دایره بودن نقطه ( ه ) فعلاً ثابت نشده است نصف قطر بودن این دو خط نیز ثابت نیست)

ب: دو خط ( د،ا ) و ( د،ب ) را وصل می‌کنیم که در اثر این کار دو مثلث ( د،ه،ا ) و ( د،ه‌،ب ) پدید می‌آید.

ج: خط ( د،ه ) یعنی خط واصل بین قطب و سطح دایره را تا نقطه ( ز ) امتداد می‌دهیم. ( بعد مشخص خواهد شد که نقطه ( ز ) روی سطح کُره و در نتیجه قطب دیگر دايره است)

د: از نقطه ( ز ) خطوطی را به دو نقطه ( ا ) و ( ب ) که روی محیط دایره قرار دارند وصل می‌کنیم تا دو خط ( ز،ا ) و ( ز،ب ) بدست آید.

اثبات مدعای اول در ضمن دو مرحله:

مرحله اول: در دو مثلث ( د،ه،ا ) و ( د،ه،ب ) اولاً ضلع ( د،ه ) مشترک است و ثانیاً چون نقطه ( د ) قطب دایره است لا با توجه به تعرف قطب دایره (که در بحث حدود همین مقاله گذشت) ضلع ( د،ا ) وضلع ( د،ب ) مساوی و ثالثاً زاویه ( د،ه،ا ) و زاویه ( د،ه،ب ) به عمل قائمه و مساوی هستند.

بنابراین دو مثلث مذکور به شکل عروس مساوی می‌باشند.

توضیح: مفاد شکل عروس این بود که مربع وتر زاویه قائمه برابر مجموع مربع دو ضلع دیگر است. لذا در این دو مثلث زاویه های ( ا،ه،د ) و ( ا،ه،د ) قائمه هستند و ضلع های ( ا،د ) و ( ب،د ) وتر این دو زاویه هستند و وتر دو زاویه مساوی با هم مساوی می‌باشند در نتیجه ضلع ( ا،د ) = ( ب،د ) است.

از طرفی ضلع ( د،ه ) در دو مثلث مشترک است.

با توجه به این دو داده می‌گوییم اگر دو مقدار مساوی ( د،ه ) را از دو مقدارمساوی ( ا،د ) و ( ب،د ) کم کنیم باقی مانده ها نیز مساوی می‌باشند.

مربع ( ا،ه ) = مربع ( د،ه ) – مربع ( ا،د )

مربع ( ه،ب ) = مربع ( د،ه ) – مربع ( ب،د )

حال که مربع دو ضلع مساوی است خود این دو ضلع نیز مساوی می‌باشند و هو المطلوب. ( ا،ه = ه،ب )

و از تساوی این دو مثلث نتیجه گرفته می‌شود که دو خط ( ه،ا ) و ( ه،ب ) مساوی می‌باشند.

مرحله دوم:

با همین بیانی که دو خط ( ه،ا ) و ( ه،ب ) را مساوی کردیم می‌توانیم تمام خطوطی که از نقطه ( ه ) به محیط دایره وصل می‌شود را مساوی کنیم . لذا با توجه به شکل ۹ مقاله ۳ اصول[24] نتیجه می‌گیریم که نقطه ( ه ) مرکز دایره است و هو المطلوب.

اثبات مدعای دوم در ضمن دو مرحله:

مرحله اول: در دو مثلث ( ز،ه،ا ) و ( ز،ه،ب ) اولاً ضلع ( ز ) مشترک است و ثانیاً دو ضلع ( ه،ا ) و ( ه،ب ) چنانچه در اثبات ادعای اول در ضمن مرحله اول بیان شد مساوی می‌باشند ثالثاً دو زاویه ( ز،ه،ا ) و

( ز،ه،ب ) به عمل قائمه هستند.

در نتیجه دو مثلث مذکور به شکل ۴ مقاله ۱ اصول مساوی اند. بنابراین دو خط ( ز،ا ) و ( ز،ب ) با هم مساوی می‌باشند.

مرحله دوم: به همین بیانی که دو خط ( ز،ا ) و ( ز،ب ) را مساوی کردیم می‌توانیم تمامی خطوطی که نقطه ( ز ) را به محیط دایره وصل می‌کنند را نیز مساوی کنیم. لذا با توجه به تعریف قطب دایره که در ضمن بحث از حدود همین مقاله گذشت [25] نتیجه می‌گیریم که نقطه ( ز ) قطب دیگر دایره است . بنابراین امتداد عمودی که یک قطب دایره را به سطح دایره وصل می‌کند از قطب دیگر دایره می‌گزرد. و هو المطلوب.

*شکل یب*

مفروض:

دو دایره ( ‌ا،ب ) و (‌ ج،د ) عظیمه های هستند که در کُره ای به مرکزیَّت نقطه ( ح ) واقع شده اند[26]

مدعا: اینچنین دو دایره ای همدیگر ار نصف می‌کنند.

بیان مدعا به صورت کلی: هر دو دایره عظیمه ای که در کُره ای واقع شوند همدیگر را نصف می‌کنند.

توجه: باید توجه داشت که هر دو دایره عظیمه ای که در کره واقع شوند همدیگر را نصف می‌کنند اما ما در این شکل دو دایره ای را در نظر داریم که که جهت واحده دارند. مثلا هر دو از نقطه قطب شمال و جنوب کره گذشته باشند لکن یکی از یمین و یسار کره عبور کرده است و دیگری از قُدام و خلف آن گذشته است.

همچنین باید توجه داشت که لازم نیست این دو دایره بر هم عمود باشند بلکه ممکن است نسبت به هم متمایل باشند.

اثبات مدعا در ضمن چهار مرحله:

مرحله اول: این دو دایره هر دو از نقطه واحدی که همان مرکز کره است عبور می‌کنند و این أمر مسلَّم است که اگر دو سطح از نقطه واحدی عبور کنند همدیگر را قطع می‌کنند. پس این دو دایره همدیگر را قطع می‌کنند.

مرحله دوم: این دو دایره دو سطح اند و دو سطح زمانی که یکدیگر را قطع از دو نقطه که بین آنها خط مستقیمی رسم می‌شود همدیگر را قطع می‌کنند. در نتیجه این دو دایره در دو نقطه ( ه ) و (‌ ز ) همدیگر را قطع می‌کنند و بین این دو نقطه خط مستقیمی وجود دارد که فصل مشترک این دو دایره است[27] این خط که از مرکز هر دو دایره و به عبارت دیگر از مرکز کره می‌گزرد در شکل ترسیم شده خط ( ه،ح،ز ) است.

مرحله سوم: خط مستقیم ( ه،ح،ز ) چون در هر یک از دو دایره از نقطه ای از محیط شروع شده و با عبور از مرکز دایره به نقطه دیگری از محیط ختم شده است قطر دایره می‌باشد. و چون فصل مشترک دو دایره است (‌یعنی در سطح هر دو دایره وجود دارد ) قطر هر یک از دو دایره نیز به حساب می‌آید.

مرحله چهارم: واضح است که قطر هر دایره ای سطح آن دایره را نصف می‌کند. در نتیجه خط مستقیم

( ه،ح،ز ) که قطر مشترک دو دایره (‌ ا،ب ) و (‌ ج،د ) است، سطح هر دو دایره را نصف کرده است. و چون این قطر مشترک در محل تقاطع دو دایره واقع شده است پس دو دایره در محل تقاطع خود نصف شده اند. ( یعنی همدیگر را به نحو تناصف قطع کرده اند ) و هو المطلوب.

*شکل یج*

مفروض ها:

الف: دو دایره (‌ ا،ب ) و ( ج،د ) در کره ای واقع شده اند.

ب: این دو دایره همدیگر را در دو نقطه ( ه ) و ( ز ) ـ و به عبارت دیگر در خط واصل بین این دو نقطه ـ نصف کرده اند.

مدعا: هر دو دایره مذکور عظیمه می‌باشند.

بیان مدعا به صورت کلی: دایره های که در کره ای و اقع می‌شود و همدیگر را نصف می‌کنند همگی عظیمه اند.

آماده کردن شکل برای استدلال:

عمل اول: بین دو نقطه ( ه ) و ( ز ) که دو نقطه تقاطع دو دایره اند، و هر دو روی یک سطح قرار دارند خط ( ه،ز ) را رسم می‌کنیم.

عمل دوم: به کمک شکل ۱۰ مقاله ۱ وسط خط ( ه،ز ) را به دست می‌آوریم و آن را (‌ ح ) می‌نامیم.

عمل سوم: به کمک شکل ۱۲ مقاله ۱۱ اصول از نقطه ( ح ) عمود ( ح،ک ) را بر سطح دایره ( ا،ب ) و عمود ( ح،ط ) را بر سطح دایره ( ج،د ) فرود می‌آوریم. ( پای هر دو عمود نقطه ( ح ) در سطح دو دایره است )

اثبات مدعا در ضمن چهار مرحله:

مرحله اول: خط ( ه،ز ) ـ که در تمام نقاط آن سطح دو دایره تماس دارند ـ به شهادت شکل ۳ مقاله ۱۱ اصول[28] فصل مشترک بین دو دایره است. و با توجه به اینکه نصف کننده سطح هر یک از دو دایره است ( یعنی با توجه به این که خصوصیت قطر دایره را دارد قطر مشترک بین هر دو دایره است )

مرحله دوم: می‌دانیم که قطر دایره اگر نصف شود نقطه نصف آن مرکز دایره است. پس نقطه ( ح ) که وسط قطر ( ه،ز ) است مرکز هر دو دایره است.

مرحله سوم: با توجه به اینکه نقطه ( ح ) مرکز دو دایره است، دو عمود ( ح،ک ) و ( ح،ط ) دو عمودی هستند که بر سطح دو دایره که از مرکز خارج شده اند ( پای آنها مرکز های دو دایره است ) پس به استبانه شکل ۲ مقاله ۱ [29] ین دو عمود از مرکز کره گذشته اند. یعنی مرکز کره فصل مشترک این دو عمود است.

و فصل مشترک دو عمود نقطه (‌ ح )‌ است . در نتیجه مرکز کره نقطه ( ح ) است.

و دانستیم که نقطه ( ح ) مرکز دو دایره نیز می‌باشد. در نتیجه مرکز کره با مرکز دو دایره یکی می‌باشد.

مرحله چهارم: به شهادت شکل ۶ مقاله ۱ [30] دایره ای که مرکزش با مرکز کره که این دایره در آن واقع شده است یکی باشد دایره عظیمه آن کره است. پس دو دایره ( ا،ب ) و ( ‌ج،د ) که در کره واقع شده اند و همدیگر را نصف کرده اند چون مرکز آنها با مرکز کره یکی است هر دو عظیمه هستند. و هو المطلوب.

*شکل ید*

مفروض ها:

الف: دایره ( ا،ب،ج،د ) عظیمه ای است که مرکز آن نقطه ( ح ) و مرکز آن مرکز کُره نیز می‌باشد.

ب: دایره ( ه،ب،ز،د ) دایره دیگری است که در همان کره واقع شده است و لکن عظیمه نیست و لذا مرکز آن همان مرکز کره نمی‌باشد.

ج: این دو دایره همدیگر را در حالی که بر هم عمود هستند قطع کرده اند. به عبارت دیگر دایره ( ا،ب،ج،د ) بر دایره ( ه،ب،ز،د ) عمود شده و از آن عبور کرده است. با توجه به این فرض ها دو مدعا داریم.

مدعای اول: دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د )‌ دایره غیر عظیمه ( ه،ب،ز،د ) ر نصف می‌کند.

مدعای دوم: دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) ‌علاوه بر اینکه دایره ( ه،ب،ز،د ) را نصف می‌کند از دو قطب این دایره غیر عظیمه نیز عبور کرده است.

بیان مدعا به صورت کلی: هر گاه دو دایره که این صفت دارند یکی عظیمه و دیگری صغیره است در کره ای واقع شوند و دایره عظیمه بر دایره صغیره عمود باشد و همدیگر را مانند دو خط عمود بر هم قطع کنند آن دایره عظیمه اولاً دایره صغیره را نصف می‌کند. ثانیاً از دو قطب آن می‌گذرد.

توجه کنید: این حکم در جای که هر دو دایره عظیمه باشند نیز جاری می‌شود لذا مدعا به این صورت است که: هر گاه در کره ای دایره عظیمه ای بر دایره دیگر ـ چه آن دایره دیگر عظیمه باشد چه غیر عظیمه ـ عمود باشد اولا دایره دیگر را نصف می‌کند ثانیا از دو قطب آن می‌گذرد اما چون در شکل مطرح شده دایره دیگر غیر عظیمه فرض شده است لذا ما در مدعا فرض کردیم که عظیمه بر غیر عظیمه عمود شده است.

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: فصل مشترک بین دو دایره متقاطع را که به شهات شکل ۳ مقاله ۱۱ اصول خط است. و در شکل ترسم شده خط ( د،ب ) نامیده شده را رسم می‌کنیم.

ب: از نقطه ( ح ) که هم مرکز دایره عظیمه است هم مرکز کره به شکل ۱۲ مقاله ۱۱ اصول خط ( ح،ط ) را عمود می‌کنیم و این عمود را از دو طرف ادامه می‌دهیم تا در یک طرف به نقطه ( ا ) و در طرف دیگر به نقطه ( ج ) منتهی شود.

اثبات مدعای اول در ضمن چهار مرحله:

مرحله اول: به عمل هم سطح دایره ( ا،ب،ج،د ) بر سطح دایره ( ه،د،ز،ب ) عمود شده است و هم در سطح دایره ( ا،ب،ج،د )‌ خط ( ح،ط ) بر فصل مشترک دو سطح که خط ( ب،د ) ‌است عمود شده است. لذا خط

( ح،ط ) به استبانه شکل ۱۸ مقاله ۱۱ [31] اصول بر سطح دایره (‌ ه،ب،ز،د ) عمود می‌باشد.

مرحله اول: نقطه ( ح )‌که عمود ( ح،ط ) از آن خارج شده است همانطور که گفته شده است مرکز دایره

( ا،ب،ج،د ) یعنی مرکز عظیمه کره است پس به شکل ۶ مقاله ۱ مرکز خود کره نیز می‌باشد. بنابراین عمود ( ح،ط ) از مرکز کره خارج شده است و با توجه به آنچه در شماره مرحله قبل گفته شد بر سطح دایره

( ه،ب،ز،د ) وارد گشته است.

مرحله سوم: عمود ( ح،ط ) که از مرکز کره بر سطح دایره ( ه،ب،ز،د ) وارد شده به استبانه شکل ۱۵ مقاله ۱ [32] بر مرکز دایره ( ه،ب،ز،د ) وارد شده. یعنی نقطه ( ط ) مرکز دایره ( ه،ب،ز،د ) می‌باشد. و چون قطر دایره از مرکز آن عبور می‌کند پس خط ( ب،د ) که از مرکز ( ط ) عبور کرده قطر دایره ( ه،ب،ز،د ) می‌باشد.

مرحله چهارم: چون قطر هر دایره ای دایره را نصف می‌کند در نتیجه قطر ( ب،د ) دایره (‌ ه،ب،ز،د ) را نصف کرده است. و چون دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) از دو طرف قطر ( ب،د ) عبور کرده است در نتیجه دایره

( ا،ب،ج،د ) نیز دایره ( ه،ب،ز،د ) را نصف کرده است. بنابراین دایره عظیمه هر کره ای اگر بر دایره دیگر در آن کره عمود باشد آن دایره دیگر را نصف می‌کند و هو المطلوب الاول.

اثبات مدعای دوم: در اثبات مدعای اول در ضمن مرحله دوم گفتیم: عمود ( ح،ط ) از مرکز کره بر سطح دایره ( ه،ب،ز،د ) وارد شده است. حال با توجه به شکل ۸ مقاله ۱ [33] می‌گوییم: عمود ( ح،ط ) یعنی ادامه آن از دو طرف که خط ( ا،ج ) می‌شود از دو قطب دایره (‌ ه،ب،ز،د ) عبور می‌کند. لذا دو قطب دایره ( ه،ب،ز،د ) که دو نقطه ( ا ) و ( ج ) هستند به دست می‌آید. و چون دایره عظیمه (‌ ا،ب،ج،د ) نیز از همین قطب ها عبور کرده است می‌گوییم: دایره عظیمه هر کره ای که بر دایره دیگر آن کره عمود می‌شود از دو قطب آن می‌گزرد و هو المطلوب الثانی.

*شکل یه*

مفروض ها:

الف: دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) با مرکزیَّت ( ح ) و دایره غیر عظیمه ( ه،ب،ز،د ) هر دو در کره ای واقع شده اند.

ب: دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) دایره غیر عظیمه ( ه،ب،ز،د ) را نصف کرده است.

مدعا: دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) دایره غیر عظیمه ( ه،ب،ز،د ) را بر قوائم قطع کرده است ( بر آن عمود شده است و از آن عبور کرده است )

بیان مدعا به صورت کلی: هر گاه دو دایره ، یکی عظیمه و دیگری غیر عظیمه ، در یک کره واقع شوند و دایره عظیمه غیر عظیمه را قطع کرده باشد حتما آن عظیمه غیر عظیمه را بر قوائم قطع کرده است. به این معنی که بر آن عمود شده است.

توجه کنید: مقیَّد کردن شکل به اینکه یک دایره عظیمه و دیگری غیر عظیمه باشد به جهت این است که: اگر هر دو عظیمه باشند اگر چه همدیگر را نصف می‌کنند و موضوع این شکل را محقق می‌کنند اما لازم نمی‌آید که بر هم عمود باشند بلکه ممکن است نسبت به هم مایل باشند. و اگر هر دو صغیره باشند یا با هم برخورد نمی‌کنند و یا اگر برخورد داشته باشند چنین نیست که یکی دیگری را نصف کند. لذا در این صورت اصلا موضوع شکل محقق نمی‌شود تا حکم مترتب شود.

آماده کرده شکل برای استدلال: از نقطه ( ح ) که مرکز دایره عظیمه و مرکز کره است بر خط ( ب،د ) که فصل مشترک دو دایره و نیز دایره ( ه،ب،ز،د ) است خط ( ح،ط ) را عمود می‌کنیم و آن را از یک طرف تا نقطه ( ا ) و از طرف دیگر تا نقطه ( ج ) امتداد می‌دهیم.

اثبات مدعا در ضمن چهار مرحله:

مرحله اول: چون به فرض دایره ( ه،ب،ز،د ) به توسط خط ( ب،د ) نصف شده است، کشف می‌کنیم که خط ( ب،د ) قطر آن است. و چون وسط قطر مرکز دایره است حکم می‌کنیم که وسط خط ( ب،د ) که نقطه ( ط ) باشد مرکز دایره ( ه،ب،ز،د ) است.

مرحله دوم: در فرض بیان شد نقطه ( ح ) مرکز دایره عظیمه است و در مرحله قبل بیان کردیم که نقطه

( ط) مرکز دایره ( ه،ب،ز،د) است. لذا با توجه به شکل ۶ مقاله ۱ نقطه ( ح ) مرکز کره آن دایره عظیمه است. و با توجه به اینکه دایره ( ه،ب،ز،د ) در همین کره فرض شده است می‌گوییم: خط ( ح،ط ) خطی است که مرکز کره ای را به مرکز دایره ای که در آن کره واقع است وصل می‌کند.

مرحله سوم: خطی که مرکز کره ای را به مرکز دایره ای که در آن کره واقع شده است وصل می‌کند، به شهادت شکل ۷ مقاله ۱ [34] بر سطح آن دایره عمود می‌باشد. در نتیجه خط ( ح،ط ) بر سطح دایره ( ه،ب،ز،د ) عمود می‌باشد.

مرحله چهارم: خط ( ح،ط ) که بر سطح دایره ( ه،ب،ز،د ) عمود است ، به عمل بر سطح دایره عظیمه

( ا،ب،ج،د ) قرار داده شده است. به عبارت دیگر بر سطح دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) قائم گشته است. پس سطح دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) با توجه به شکل ۱۸ مقاله ۱۱ اصول [35] بر سطح دایره ( ه،ب،ز،د ) عمود است و آن را علی قوائم قطع می‌کند. و هو المطلوب.

*شکل یه*

مفروض: دایره ( ا،ب،ج،د ) عظیمه ای است که در کره ای قرار دارد. و دایره ( ه،ب،ز،د ) دایره دیگری است ( می‌تواند عظیمه باشد یا غیر عظیمه باشد ) که در همان کره واقع شده است که دو قطب آن عبارت اند از نقطه های ( ا ) و ( ج ) و دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) دایره ( ه،ب،ز،د ) را قطع کرده است و از دو قطب آن گذشته است. با توجه به این فرض مدعای ما این است.

مدعا: دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) دایره ( ه،ب،ز،د ) را نصف کرده است و بر آن عمود شده است.

بیان مدعا به صورت کلی: هر گاه دو دایره در کره ای واقع شوند و لا اقل یکی از آنها عظیمه باشد و از دو قطب دایره دیگر عبور کند آن دایره دیگر را نصف می‌کند و بر آن عمود می‌شود. به عبارت دیگر در حالی که بر آن عمود است آن را نصف می‌کند.

آماده کردن شکل برای استدلال: خط ( ا،ج ) که واصل بین دو قطب دایره ( ه،ب،زد ) است را رسم می‌کنیم.

اثبات مدعا در ضمن سه مرحله:

مرحله اول: خط ( ا،ج ) دو قطب دایره ( ه،ب،ز،د ) را که در کره واقع شده است به هم وصل کرده است لذا به شکل ۱۱ مقاله ۱[36] هم بر سطح دایره مذکور عمود است هم از مرکز این دایره و کره ای که دایره در آن واقع شده است می‌گذرد.

مرحله دوم: خط ( ا،ج ) بر سطح دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) واقع شده است. به عبارت دیگر بر سطح این دایره عمود گشته است. لذا سطح دایره ( ا،ب،ج،د ) به شکب ۱۸ مقاله ۱۱ اصول[37] بر سطح دایره ( ه،ب،ز،د ) عمود است و آن را علی زوایا قائمه قطع کرده است.

مرحله سوم: شکل ۱۴ مقاله ۱ [38] دلالت دارد. بر اینکه اگر دایره عظیمه ای که در کره واقع است بر دایره های دیگر در همان کره عمود شود آن دایره دیگر را نصف می‌کند.

بنابراین در مورد بحث ما دایره عظیمه ( ا،ب،ج،د ) که در کره واقع شده است چون بر دایره ( ه،ب،ز،د ) که در همان کره واقع شده است عمود شده است ، آن را نصف کرده است. و هو المطلوب.

توجه: در بسیاری از نسخه ها عبارت چنین است: ( فهو ینصّفها و یمر بقطبیها ) و در برخی نسخه ها عبارت چنین است: ( فهو ینصّفها ) و ما به این نسخه دوم عمل کردیم زیرا مرور بر قطبین در موضوع شکل اخذ شده است لذا جا ندارد در حکم هم بیاید هرچند آمدن آن در حکم اشکالی ندارد به خصوص با توجه به این مطلب که این حکم مستند به شکل ۱۴ مقاله ۱ است و این شکل مرور بقطبین را نیز در بر دارد.

*شکل یز*

مفروض ها:

الف: دایره ( ا،ب،ج،د ) عظیمه ای است که در کره ای واقع شده است.

ب: مرکز این دایره ـ که به شهادت شکل ۶ مقاله ۱ مرکز کره نیز هست ـ نقطه ( ه ) می‌باشد[39] .

ج: خط ( ه،ز ) عمودی است که به کمک شکل ۱۲ مقاله ۱۱ اصول از مرکز کره که نقطه ( ه ) است بر سطح دایره ( ا،ب،ج،د ) عمود شده است و به سمت این دایره پیش رفته است تا به نقطه ( ز ) که بر روی سطح دایره قرار دارد رسیده است و به شکل ۸ مقاله [40] ۱ معلوم می‌شود که نقطه ( ز ) یکی از قطب های دایره ( ا،ب،ج،د ) است.

د: خط ( ا،ب ) که در اثر وصل کردن دو نقطه ( ا ) و ( ب ) به دست آمده است ضلع مربع واقع در دایره

( ا،ب،ج،د ) [41]

ه: خط ( ز،ا ) یا خط ( ز،ب ) هر کدام خطی هستند که از قطب دایره ( ا،ب،ج،د ) بر محیط آن وارد شده اند. با توجه به این پنج فرض ادعای ما این است:

مدعا: خط ( ز،ا ) یا خط ( ز،ب ) که از قطب دایره ( ا،ب،ج،د ) بر محیط آن وارد شده است با خط ( ا،ب ) که ضلع مربع واقع شده در دایره مذکور است مساوی می‌باشد.

بیان مدعا به صورت کلی: هر گاه از قطب دایره عظیمه ای که در کره واقع شده است خطی به محیط آن دایره وصل کنیم آن خط با ضلع مربعی که در آن دایره واقع می‌شود مساوی است.

آماده کردن شکل برای استدلال: سه خط ( ز،ا ) ، ( ز،ب ) و ( ا،ب ) را همانگونه که در فرض آوردیم رسم می‌کنیم تا مثلث های از جمله دو مثلث ( ا،ب،ه ) و ( ا،ه،ز ) که در استدلال ما نقش دارند به وجود آید.

اثبات مدعا در ضمن دو مرحله:

مرحله اول: در دو مثلث ( ا،ب،ه ) و ( ا،ه،ز ) اولاً ضلع (‌ ا،ه ) مشترک است ثانیاً ضلع ( ه،ب ) از مثلث اول و ضلع ( ه،ز ) از مثلث دوم چون هر دو نصف قطر یک کره هستند با هم برابراند ثالثاً زاویه بین دو ضلع

( ا،ه ) و ( ه،ب ) از مثلث اول و زاویه بین دو ضله ( ه،ا ) و ( ه،ز ) از مثلث دوم هر دو قائمه می‌باشند. لذا دو مثلث مذکور به شکل ۴ مقاله ۱ اصول[42] با هم برابراند.

مرحله دوم: از تساوی دو مثلث مذکور نتیجه گرفته می‌شود که ضلع ( ا،ب ) از مثلث ( ا،ب ) و ضلع ( ا،ز ) از مثلث دوم مساوی اند. و چون خط ( ا،ز ) خط واصل بین دو قطب دایره و محیط آن است و ( ا،ب ) ضلع مربع واقع در آن است نتیجه گرفته می‌شود: هر گاه خطی از قطب دایره عظیمه ای که در کره واقع شده است به محیط آن دایره وصل شود آن خط با ضلع مربعی که در همان دایره واقع می‌شود مساوی است و هو المطلوب.

*شکل یح*

مفروض ها:

الف: دایره ( ا،ب،ج، ) درون کره ای واقع شده است.

ب: نقطه ( د ) که روی سطح کره واقع شده است یکی از قطب های این دایره است. در نتیجه ( د،ج ) خطی است که از قطب این دایره بر محیط آن وارد شده است.

ج: خط ( د،ج ) با ضلع مربعی که در دایره عظیمه کره مذکور واقع می‌شود برابر است.

مدعا: دایره ( ا،ب،ج ) ـ که از قطب تا محیط آن خطی وصل شده است و این خط برابر ضلع مربعی است که درون عظیمه این کره وصل می‌شود می‌باشد ـ نیز عظیمه است.

بیان مدعا به صورت کلی: هر گاه دایره ای در کره ای واقع شود و خطی که از قطب این دایره تا محیط آن وصل می‌شود با ضلع مربعی که در دایره عظیمه همین کره واقع می‌شود مساوی است، این دایره نیز یک دایره عظیمه دیگر برای کره است.

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: سطحی را از خط ( د،ج ) ـ خطی که قطب دایره ( ا،ب،ج ) را به محیط آن وصل کرده است ـ و از مرکز کره ای که دایره ( ا،ب،ج ) در آو واقع شده است عبور می‌دهیم. این سطح چون کره را قطع می‌کند [43] به شکل ۱ مقاله ۱ دایره می‌باشد[44] و از آنجا که از مرکز عبور می‌کند به شکل ۶ مقاله ۱[45] دایره عظیمه می‌باشد که ما آن را دایره عظیمه ( ب،د،ج،ه ) می‌نامیم. چون از خط ( د،ج ) که قطب دایره ( ا،ب،ج ) را به محیط آن وصل می‌کند می‌گذرد و با دایره ( ا،ب،ج ) برخورد می‌کند و با هم فصل مشترکی که خط ( ب،ج) است را به وجود می‌آورند.

ب: خط (‌ د،ب ) که مانند خط ( ج،د ) قطب دایره ( ا،ب،ج ) را به محیط آن وصل می‌کند را رسم می‌کنیم.

اثبات مدعا در ضمن سه مرحله:

مرحله اول: در فرض سوم بیان شد: ضلع ( د،ج ) با ضلع مربعی که در دایره عظیمه این کره که دایره

( ا،ب،ج ) در آن واقع شده است برابر می‌باشد. لذا اگر دایره عظیمه را ( ب،د،ج،ه ) فرض کنیم خط ( د،ج ) در آن یک ضلع مربعی می‌باشد که در این دایره اقع شده است. و می‌دانیم که یک ضلع مربع ربع محیط مربع است. در نتیجه خط ( د،ج‌ ) ربع اضلاع مربعی است که در دایره عظیمه ( ب،د،ج،ه ) واقع می‌شود به شهادت شکل ۲۷ مقاله ۳ اصول[46] . اگر وتری ربع مجموع وتر های دایره ای باشد قوس مقابل آن وتر ربع آن دایره می‌باشد در نتیجه قوس ( د،ج ) ربع دایره ( ب،د،ج،ه ) است زیرا ( د،ب ) برابر ( د،ج ) است چرا که هر دو خطی هستند که از قطب دایره بر محیط آن وارد شده اند و در حدود مقاله اول بیان شد: خطوطی که از قطب دایره بر محیط آن وارد می‌شوند با هم مساوی اند در نتیجه قوس ( د،ب ) نیز مساوی قوس ( د،ج ) است. یعنی این خط نیز برابر ربع دایره ( ب،د،ج،ه ) است. حال اگر این دو ربع دایره را با هم جمع کنیم واضح است که نصف دایره به دست می‌اید. در نتیجه ( ب،ج،د ) نصف دایره ( ب،د،ج،ه ) است و در نتیجه خط ( ب،ج ) که فصل مشترک دو دایره ( ب،د،ج،ه ) و ( ا،ب،ج ) است‌ ، قطر دایره ( ب،د،ج ) می‌شود. از آنچه گفته شد به دست می‌آید که دایره ( ب،د،ج،ه ) از دو نقطه ( ج ) و ( ب ) نصف شده است و به عبارت دیگر دو دو نقطه ای که در آن دو با دایره ( ا،ب،ج ) ملاقات کرده اند نصف شده است.

مرحله دوم: همانگونه که ملاحظه می‌شود دایره عظیمه ( ب،د،ج،ه ) به دو قطب دایره ( ا،ب،ج ) که دو نقطه ( د ) و ( ه ) هستند عبور کرده پس به شکل ۱۶ مقاله ۱ دایره [47] ( ا،ب،ج ) را نصف کرده است.

مرحله سوم: از آنچه در مرحله اول گفته شد معلوم می‌شود که دایره (‌ ا،ب،ج ) دایره ( ب،د،ج،ه ) را نصف کرده است و از آنچه در مرحله دوم مطرح شد معلوم شد که دایره ( ب،د،ج،ه ) دایره ( ا،ب،ج ) را نصف کرده است پس این دو دایره متناصفان اند و به شکل ۱۳ مقاله ۱ [48] دایره های که هدیگر را نصف کنند همگی دایره عظیمه اند لذا دایره ( ا،ب،ج ) مثل دایره ( ب،د،ج،ه ) عظیمه است و هو المطلوب.

*شکل یط*

مفروض: دایره ( ا،ب،ج ) که در کره ای ساخته شده است را داریم.

خواسته: می‌خواهیم خطی که مساوی قطر این دایره است را به دست آوریم.

روش رسیدن به مطلوب در ضمن پنج مرحله:

مرحله اول: روی محیط دایره مذکور سه نقطه به دلخواه انتخاب می‌کنیم. مثل نقطه های ( ا ، ب ، ج )

مرحله دوم: سه نقطه مذکور را به هم وصل می‌کنیم تا سه خط ( ا،ب ) ، ( ا،ج ) و ( ب،ج ) که با هم مثلث

( ا،ب،ج ) را تشکیل می‌دهند به وجود آید.

مرحله سوم: به کمک شکل ۲۲ مقاله ۱ اصول مثلث (‌ د،ه،ز ) را در بیرون دایره مذکور چنان می‌سازیم که ضلع ( د،ه ) در آن به اندازه ضلع ( ا،ب ) در مثلث ( ا،ب،ج ) و ضلع ( د،ز ) در آن به اندازه ( ا،ج ) در مثلث

( ا،ب،ج ) و بالاخره ضلع ( ه،ز ) در آن به اندازه ( ب،ج ) در مثلث ( ا،ب،ج ) باشد. در نتیجه مثلث ( ‌د،ه،ز ) جایگزین مثلث ( ا،ب،ج ) می‌باشد.

مرحله چهارم: در مثلث ( د،ه،ز ) به کمک شکل ۱۱ مقاله ۱ اصول بر ضلع ( د،ه ) خط ( ه،ح ) و بر ضلع

( د،ز ) خط ( ز،ح ) را عمود می‌کنیم و هر دو را ادامه می‌دهیم تا همدیگر را بر نقطه ( ح ) ملاقات کنند[49] و چهار ضلعی ( ز،د،ه،ح ) را بوجود آوردند.

مرحله پنجم: در این چهار ضلعی به وجود آمده خط ( ه،ز ) را ـ که در واقع یک قطر این چهار ضلعی است ـ از قبل داریم و خط ( د،ح ) که قطر دیگر این چهار ضلعی می‌باشد را رسم می‌کنیم.

ادعای ما این است که: خط ( د،ح ) همان خطی است ما در سدد به دست آوردن آن بودیم. یعنی خطی است مساوی قطر دایره ( ا،ب،ج ).

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: قطر دایره که خط ( ر،ط ) است را رسم می‌کنیم.

ب: نقطه ( ج ) را به نقطه ( ط ) وصل می‌کنیم تا خط ( ج،ط ) و مثلث ( ا،ط،ج ) به دست آید.

ج: بر چهار ضلعی ( د،ه،ح،ز ) دایره ای را در در توهم و تصور محیط می‌کنیم. به این صورت که:خط ( د،ح ) را نصف می‌کنیم و نقطه نصف را مرکز قرار می‌دهیم و به شعاع این خط دایره ای رسم می‌کنیم که این دایره بر چهار نقطه رأس چهار ضلعی عبور می‌کند و بر آن محیط می‌شود[50]

اثبات مدعا در ضمن پنج مرحله:

مرحله اول: ابتدا باید ثابت کنیم که زاویه ( ا،ط،ج ) در مثلث ( ا،ط،ج ) با زاویه ( د،ح،ز ) از مثلث ( ‌د،ح،ز ) مساوی است. برای این کار اولاً ثابت می‌کنیم که زاویه ( ا،ط،ج ) با زاویه ( ا،ب،ج ) مساوی است ثانیاً ثابت می‌کنیم که با مساوی زاویه ( ا،ب،ج ) یعنی با زاویه ( د،ه،ز ) نیز مساوی است ثالثاً ثابت می‌کنیم که با مساوی زاویه ( د،ه،ز ) یعنی با زاویه ( د،ح،ز ) نیز مساوی است.

اثبات مساوی بودن زاویه ( ا،ط،ج ) با زاویه ( ا،ب،ج ): زاویه ( ا،ط،ج ) و زاویه ( ا،ب،ج ) هر دو زاویه محیط هستند و رو به قوس واحدی ( ا،ج ) دارند لذا به شکل ۲۶ مقاله ۳ اصول[51] و یا به شکل ۲۰ مقاله ۳ اصول[52] با هم برابراند. به عبارت دیگر: زاویه ( ا،ط،ج ) با زاویه ( ا،ب،ج ) مساوی است.

اثبات مساوی بدون زاویه ( ا،ط،ج ) با زاویه ( د،ه،ز ): به عمل اضلاع مثلث ( د،ه،ز ) با اضلاع مثلث ( ا،ب،ج ) مساوی است. پس با توجه به شکل ۸ مقاله ۱ اصول [53] زاویه ( د،ه،ز ) از مثلث ( د،ه،ز ) با زاویه ( ا،ب،ج ) از مثلث ( ا،ب،ج ) مساوی است. بنابراین زاویه ( ا،ط،ج ) که با زاویه ( ا،ب،ج ) مساوی است با مساوی این زاویه یعنی زاویه ( د،ه،ز ) نیز مساوی است.

اثبات مساوی بودن زاویه (‌ ا،ط،ج ) با زاویه ( د،ح،ز ): وقتی دایره ای را بر چهار ضلعی ( د،ه،ح،ز ) محیط می‌کنیم می‌بینیم زاویه (‌ د،ه،ز ) و ( د،ح،ز ) رو به قوس واحدی دارند. لذا به شکل ۲۶ مقاله ۱ اصول حکم می‌کنیم به مساوات آن دو. بنابراین زاویه ( ا،ط،ج ) که مشخَّص شد با زاویه ( د،ه،ز ) مساوی است، با مساوی این زاویه یعنی زاویه ( د،ح،ز ) نیز مساوی می‌باشد.

از آنچه گفته شد مشخَّص روشن می‌شود که: زاویه (‌ا،ط،ج ) از مثلث ( ا،ط،ج ) با زاویه ( د،ح،ز ) از مثلث (د،ح،ز) برابر است.

مرحله دوم: زاویه ( ا،ج،ط ) از مثلث ( ا،ط،ج ) در قطعه ای که نصف دایره است واقع شده است و چنین زاویه ای به شهادت مدعای اول شکل ۲۰ ممقاله ۳ اصول [54] زاویه قائمه است.

زاویه ( ‌د،ز،ح ) از مثلث (‌ د،ز،ح ) نیز قائمه است زیرا خط ( ح،ز ) را بر خط ( د،ز ) عمود کردیم پس زاویه ( د،ز،ح ) به عمل قائمه است. در نتیجه زاویه ( ا،ج،ط ) با زاویه ( د،ز،ح ) مساوی است زیرا هر دو قائمه اند.

مرحله سوم: ضلع ( ا،ج ) از مثلث ( ا،ب،ج ) و ضلع ( د،ز ) از مثلث ( د،ح،ز ) به عمل مساوی اند.

مرحله چهارم: در دو مثلث ( ا،ط،ج ) و ( د،ح،ز ) همانگونه که از مطالب مرحله اول مشخَّص شد زاویه های

( ا،ط،ح ) و ( د،ح،ز ) برابراند. و همانگونه که در مطالب مرحله دوم بیان شد زاویه ( ا،ج،ط ) از مثلث اول با

( د،ح،ز ) از مثلث دوم برابراند.

همچنین در مرحله سوم بیان شد ضلع ( ا،ج ) از مثلث اول با ضلع ( د،ز ) از مثلث دوم مساوی هستند. در نتیجه دو مثلث ( ا،ط،ج ) و ( د،ح،ز ) به شکل ۲۶ مقاله ۱ اصول [55] با هم برابراند.

مرحله پنجم: از تساوی دو مثلث مذکور نتیجه گرفته می‌شود: خط ( د،ح ) از مثلث دوم با خط ( ا،ط ) از مثلث اول مساوی است. و گفتیم: خط ( ا،ط ) قطر دایره ای است معلوم و واقع در کره. در نتیجه خط ( د،ح)

مساوی است با قط دایره ای معلوم و واقع در کره و هو المطلوب لذا راهی که برای رسیدن به این مطلوب پیموده ایم صحیح است.

*شکل ک*

مفروض: کره ای داریم معلوم لذا لازم نیست آن را معلوم کنیم[56]

عمل خواسته شده: خطی که مساوی این قطر کره است را تحصیل کنید تا از طریق این خط قطر کره به دست آید.

روش رسیدن به مطلوب در ضمن شش مرحله:

مرحله اول: روی سطح کره دو نقطه را به دلخواه انتخاب می‌کنیم و آن دو را ( ا ) و ( ب ) می‌نامیم.

توجه کنید: خواجه فرمود دو نقطه را به دلخواه انتخاب می‌کنیم. اما برخی می‌گویند: چون در ضمن این روش گفته می‌شود که دایره ای به بُعد ( ا،ب ) رسم می‌کنیم لذا باید دو نقطه را به گونه ای انتخاب کنیم که رسم چنین دایره ای در کره ممکن باشد و رسم چنین دایره ای در صورتی ممکن می‌باشد که دو نقطه مذکور متقاطر نباشند یعنی در دو سر قطر کره واقع نشده باشند لذا قید می‌آوریم و می‌گوییم: روی سطح کره دو نقطه را به دلخوا انتخاب می‌کنیم البته با این شرط که آن دو نقطه متقاطر نباشند.

مرحله دوم: دایره ( ب،ج،د ) را با قطب قرار دادن نقطه ( ا ) و به بُعد ( ا،ب ) ـ و به عبارت دیگر با شعاع قرار دادن ( ا،ب ) ـ رسم می‌کنیم.

مرحله سوم: خط ( ز،ح ) که مساوی قطر دایره ( ‌ب،ج،د ) است را به کمک شکل ۱۹ مقاله ۱ به دست می‌آوریم.

مرحله چهارم: حال که خط ( ز،ح ) و (‌ ا،ب ) را داریم به کمک شکل ۲۰ مقاله ۱ اصول مثلث ( ه،ز،ح‌ ) را طوری می‌سازیم که در آن هر کدام از دو ضلع ( ه،ز ) و ( ه،ح ) برابر خط ( ا،ب ) باشند[57] . و ضلع ( ز،ح ) همانگونه که بیان شد با قطر دایره ( ب،ج،د ) برابر است.

مرحله پنجم: به شکل ۱۱ مقاله ۱ اصول بر خط ( ز،ه ) عمود ( ز،ط ) و بر خط ( ه،ح ) عمود ( ح،ط ) را وارد می‌کنیم. روشن است که دو عمود به مقتضای مصادره ای که خواجه آن را مسأله دانسته ـ و ما در شکل قبل توضیح دادیم ـ با هم در نقطه ( ط ) ملاقات می‌کنند و چهار ضلعی ( ه،ز،ط،ح ) ساخته می‌شود.

مرحله ششم: نقطه ( ط ) را به نقطه ( ه ) که قبلا داشتیم وصل می‌کنیم تا خط ( ط،ه ) به وجود آید. این خط مساوی با قطر کره است و قطر کره با تحصیل آن به دست می‌آید.

توجه کنید: مرحوم ملا محمد باقر یزدی ریاضی دان عهد صفویه برای به دست آوردن قطر کره راه دیگری نیز ارائه داده است:

توضیح ذلک: سطح مستوی را انتخاب می‌کنیم و روی آن دو خط عمود که بتوانند جا بجا شوند را احداث می‌کنیم. واضح است که بین دو این عمود و روی سطح مستوی خط مستقیمی فرض می‌شود. حال کره را بین دو خط عمود چنان قرار می‌دهیم که دو خط عمود از دو طرف کره را در بر بگیرند و بر آن مماس باشند در این صورت خط مستقیمی که بین دو عمود اینچنینی فرض می‌شود مساوی قطر کره می‌باشد و قطر کره را تعیین می‌کند.

آماده کردن شکل برای استدلال:

الف: ابتدا سطحی را از خط ( ا،ب ) و از مرکز کره عبور می‌دهیم. این سطح به شکل ۱ مقاله ۱ [58] دایره

( ا،ب،ک،د ) را پدید می‌آورد. این دایره چون از مرکز گذشته است به شکل ۶ مقاله ۱ عظیمه می‌باشد.

ب: در دایره عظیمه ( ا،ب،ک،د) قطر ( ا،ک ) را رسم می‌کنیم. واضح است که قطر این دایره هما قطر کره می‌باشد زیرا این دایره عظیمه است و قطر آن از مرکز کره عبور کرده است.

ج: سه خط ( ا،د ) ، ( د،ک ) و ( ب،د ) را رسم می‌کنیم.

د: بر چهار ضلعی ( ه،ز،ح،ط ) دایره ای به همان روشی که در شکل قبل بیان کردیم محیط می‌کنیم.

اثبات مدعا در ضمن سه مرحله:

مرحله اول: زاویه ( ا،ک،د ) و ( ه،ط،ح ) با هم مساوی اند. به این بیان: به عمل هر کدام از دو خط ( ه،ز ) و ( ه،ح ) را مساوی خط ( ا،ب ) قرار دادیم. حال با توجه به اینکه دو خط ( ا،ب ) و ( ا،د ) به دلیل اینکه واصل بین قط دایره ( ب،ح،د ) و محیط آن هستند با هم مساوی می‌باشند. به عبارت دیگر می‌گوییم: در دو مثلث ( ا،ب،د ) و ( ه،ز،ح )‌ دو ضلع ( ا،ب ) و ( ا،د ) از مثلث اول با دو ضلع ( ه،ز ) و ( ه،ح ) از مثلث دوم مساوی اند. همچنین ضمیمه می‌کنیم که ضعل سوم مثلث ( ب،د ) نیز به عمل با ضلع سوم مثلث ( ز،ح ) مساوی است[59] . و نتیجه می‌گیریم که دو مثلث ( ا،ب،د ) و ( ه،ز،ح ) به شکل ۸ مقاله ۱ اصول با هم مساوی اند و زاویه های آنها نیز نظیر به نظیر برابر می‌باشند لذا صادق است که بگوییم: زاویه ( ه،ز،ح ) از مثلث دوم برابر است با زاویه ( ا،ب،د ) از مثلث اول. لکن زاویه ( ا،ب،د ) با زاویه ( ا،ک،د ) مساوی است زیرا این دو زاویه در دو قطعه ای واقع شده اند که قاعده آن دو قطعه ، قطعه واحدی یعنی ( ا،د ) است در نتیجه به شکل ۲۰ مقاله ۳ اصول [60] با هم مساوی می‌باشند. همچنین زاویه ( ه،ز،ح ) با زاویه ( ه،ط،ح ) مساوی است زیرا در مقابل قوس های مساوی از دایره ای که بر چهار ضلعی ( ه،ز،ح،ط ) محیط کرده ایم واقع شده اند لذا به شکل ۲۶ مقاله ۳ اصول [61] با هم مساوی می‌باشند. بنابراین در رابطه مذکور به جای زاویه ( ا،ب،د ) مساوی آن را که زاویه ( ا،ک،د ) است و به جای زاویه ( ه،ز،ح )‌ مساوی آن را که زاویه ( ه،ط،ح )‌ است قرار می‌دهیم و رابطه به این صورت دی می‌آید: زاویه ( ه،ط،ح ) مساوی زاویه (‌ ا،ک،د ) است و مطلوب ما نیز همین بود.

مرحله دوم: حال که ثابت شده زاویه ( ا،ک،د ) و زاویه (‌ ه،ط،ح )‌ مساوی اند می‌گوییم: در دو مثلث

( ا،ک،د ) و (‌ه،ط،ح ) اولاً زاویه ( ‌ا،ک،د ) از مثلث اول با زاویه ( ‌ه،ط،ح ) از مثلث دوم مساوی هستند به بیانی که گذشت. ثانیاً زاویه ( ا،د،ک ) ‌از مثلث اول با زاویه ( ه،ح،ط ) از مثلث دوم برابراند زیرا هر دو قائمه هستندبه این بیان که: زاویه اول به مدعای اول شم ۳۰ مقاله ۳ اصول[62] قائمه است و زاویه دوم به عمل قائمه است. ثالثاً ضلع ( ا،د ) از مثلث اول با ضلع ( ه،ح ) از مثلث دوم مساوی است زیرا (‌ ه،ح ) را به اندازه (‌ا،ب ) ساختیم و ( ا،ب )‌ مساوی ( ا،د ) است در نتیجه ( ه،ح )‌ مساوی ( ا،د ) می‌شود. بنابراین دو مثلث مذکور به شکل ۲۶ مقاله ۱ اصول[63] مساوی هستند.

مرحله سوم: از تساوی دو مثلث مذکور نتیجه گرفته می‌شود که خط (‌ ا،ک ) با خط ( ه،ط ) مساوی است و چون خط ( ا،ک ) قطر دایره عظیمه و قطر کره است نتیجه گرفته می‌شود که خط ( ه،ط ) با قطر کره مساوی است و لذا با تحصیل آن قطر کره به دست می‌آید. از این بیان معلوم می‌شود که روش مذکور می‌تواند ما را به قطر کره برساند لذا روش مذکور صحیح است و هو المطلوب.

*شکل کا*

مفروض: کره ای داریم با مرکزیَّت ( ه ) که بر روی سطح آن دو نقطه ( ا ) و ( ب ) را معیَّن کرده ایم. واضح است که چنین دو نقطه ای یکی از دو حالت را دارند.

الف: متقاطر هستند. یعنی بر دو طرف قطر کره واقع شده اند. به عبارت دیگر روی محیط کره به گونه ای واقع شده اند که بین آنها ۱۸۰ درجه فاصله وجود دارد.

ب: یا متقاطر نیستند. یعنی بر دو طرف قطر کره واقع نشده اند.

عمل خواسته شده: از ما خواسته شده است که در کره مذکور دایره عظیمه ای احداث کنیم که از دو نقطه ( ا ) و ( ب ) عبور کند.

روش رسیدن به مطلوب در ضمن چهار مرحله[64] :

مرحله اول: دایره ( ‌ه،ج،د ) را قطب قرار دادن نقطه ( ا ) به بُعد ضلع مربعی که می‌تواند در دایره های عظیمه این کره واقع شود رسم می‌کنیم. به عبارت دیگر دایره ( ه،ج،د‌ ) را به گونه ای رسم می‌کنیم که قطب آن نقطه ( ا ) باشد که برسطح کره واقع است و شعاع آن به اندازه ضلع مربعی باشد که می‌تواند در دایره های عظیمه کره واقع شود.

مرحله دوم: دایره ( ه،ز،ح ) را با قطب قرار دادن نقطه ( ب ) و به بُعد ضلع مربع مذکور نیز رسم می‌کنیم.

توجه کنید: دو دایره ( ه،ج،د ) و ( ه،ز،ح ) به شهادت شکل ۱۸ مقاله ۱[65] عظیمه اند[66] و لکن از دو نقطه ( ا ) و ( ب ) که در روی سطح کره واقع شده اند عبور نکرده اند لذا دایره های عظیمه ای که مطلوب ما می‌باشند نیستند لذا برا رسیدن به مطلوب عمل را ادامه می‌دهیم.

مرحله سوم: هر یک از نقطه ( ا ) و ( ب ) که روی سطح کره قرار دارند را به نقطه ( ه ) که مرکز کره است وصل می‌کنیم تا دو خط ( ه،ا ) و ( ه،ب ) به دست آید.

مرحله چهارم: دایره ( ا،ز،د ) را با قطب قرار دادن نقطه ( ه ) و به بُعد ( ه،ب ) که مساوی ضلع مربعی است که می‌تواند در دایره های عظیمه کره قرار بگیرد رسم می‌کنیم. این دایره همان دایره مطلوب ما می‌باشد. یعنی دایره عظیمه ای است که از دو نقطه ( ا ) و ( ب ) گذشته است.

دلیل بر صحت روش و منتج بودن آن در ضمن سه مرحله:

مرحله اول: دایره ( ا،ز،د ) عظیمه است زیرا به عمل خطی که از قطب آن یعنی نقطه ( ه ) به محیط آن یعنی نقطه ( ب ) وصل شده است مساوی است با ضلع مربعی که می‌تواند در دایره های عظیمه این کره واقع شود و چنین دایره ای به شکل ۱۸ مقاله ۱ عظیمه است.

مرحله دوم: دایره عظیمه ( ا،ز،د ) از نقطه ( ب ) که روی سطح کره واقع شده است عبورکرده است زیرا آن را به بُعد ( ه،ب ) رسم کرده ایم و چون ( ه،ب ) با ( ا،ب ) مساوی است زیرا هر دو به اندازه ضلع مربعی هستند که می‌تواند در دایره های عظیمه این کره واقع شوند[67] . در نتیجه دایره ( ا،ز،د ) اگر از نقطه ( ب ) عبور کرده است با توجه به تساوی ( ه،ا ) و ( ه،ب ) قهرا از نقطه ( ا ) نیز عبور خواهد کرد. بنابراین دایره

( ‌ا،ز،د ) از دو نقطه ( ا ) و ( ب ) عبور کرده است.

مرحله سوم: از آنچه در مرحله اول گذشت معلوم شد که دایره ( ا،ز،د ) عظیمه است. و از مطالبی که در مرحله دوم بیان شد مشخَّص شد که این عظیمه از دو نقطه ( ا ) و ( ب ) عبور کرده است. لذا نتیجه گرفته می‌شود که این دایره هم عظیمه است و هم از دو نقطه ( ا ) و ( ب ) عبور کرده است و هو المطلوب. لذا می‌گوییم: روش مذکور که ما را به این مطلوب رسانده است روش صحیحی می‌باشند و منتج مطلوب است.

توجه کنید: برای به دست آوردن چنین دایره عظیمه ای که از دو نقطه ( ا ) و ( ب ) که روی سطح کره واقع شده اند عبور کند دو روش دیگر نیز ارائه شده است.

بیان روش اول[68] :

الف: یکی از دو طرف قطر را قطب دایره ای قرار می‌دهیم و آن دایره را به بُعد ضلع مربعی که می‌تواند در دایره های عظیمه این کره واقع شود رسم می‌کنیم.

ب: با به وجود آمدن این دایره هر نقطه ای از آن را که خواستیم قطب دایره دیگری قرار می‌دهیم و آن را با قطب قرار دادن نقطه انتخاب شده و به بُعد ضلع مربع مذکور رسم می‌کنیم. این دایره عظیمه به دست آمده که از دو طرف نام گزاری شده قطر که دو نقطه ( ا ) و ( ب ) باشد عبور کرده است و مطلوب ما همین می‌باشند.

روش دوم[69] :

الف: دو نقطه ( ا ) و ( ب ) که روی سطح کره تعیین شده اند را به نقطه ( ه ) که مرکز کره می‌باشند وصل می‌کنیم تا دو خط ( ه،ا ) و ( ه،ب ) به دست آید.

ب: دایره ای را از این دو خط عبور می‌دهیم و چون این دو خط به شکل ۲ مقاله ۱۱ اصول روس سطح واحدی واقع شده اند دایره از این دو نقطه عبور می‌کند و مرکز کره را مرکز خودش قرار می‌دهد لذا هم دایره عظیمه می‌باشد و هم از دو نقطه تعیین شده روی سطح عبور می‌کند.

*شکل کب*

مفروض:‌کره ای داریم که دایره ای معلومه ( مثلا دایره ا،ب،ج ) در آن واقع شده است.

عمل خواسته شده: از ما خواسته شده است که قطب این دایره را به دست آوریم.

روش رسیدن به این مطلوب:

توجه کنید: دایره ( ا،ب،ج ) که می‌خواهیم قطب آن را به دست آوریم یکی از این دو حالت را دارد. الف: یا غیر عظیمه است ب: یا عظیمه است. که ما باید در هر دو صورت روش به دست آوردن قطب آن را بیان کنیم. اما باید توجه داشت که روش به دست آوردن قطب مرکب است از اعمالی که برخی از آنها مشترک بین هر دو حالت است و برخی دیگر مختّص می‌باشند لذا ما نیز دو بحث مطرح می‌کنیم.

بحث اول: بیان اعمال مشترکه در هر دو حالت.

عمل اول: بر روی دایره ( ا،ب،ج ) نقطه ای را به دلخواه انتخاب می‌کنیم و آن را ( ا ) می‌نامیم.

عمل دوم: روی محیط این دایره در دو طرف نقطه ( ا ) دو قوس مساوی جدا می‌کنیم تا دو قوس (‌ ا،د ) و

( ا،ه ) به وجود آیند. برای این کار اولاً در یک طرف نقطه ( ا ) نقطه ای را به دلخواه انتخاب می‌کنیم و اسم آن را ( د ) می‌گزاریم. البته باید سعی کنیم بین این نقطه که آن را انتخاب می‌کنیم و نقطه ( ا ) به اندازه نصف محیط فاصله نباشد و الا اگرچه در دو طرف ( ا ) دو قوس مساوی پیدا می‌شود و لکن راه برای اعمال بعدی بسته می‌شود. ثانیاً نقطه ( د ) را به نقطه ( ا ) وصل می‌کنیم تا وتر ( ا،د ) به وجود آید. ثالثاً به کمک شکل ۱ مقاله ۴ اصول در طرف دیگر نقطه ( ا ) وتری مساوی وتر ( ا،د ) که وتر ( ا،ه ) باشد رسم می‌کنیم تا نقطه ( ه ) به دست آید و در دو طرف نقطه ( ا ) دو قوس مساوی پیدا شود.

عمل سوم: به کمک شکل ۲۹ مقاله ۳ اصول قوس ( د،ز،ه ) را که قسمتی از محیط دایره ( ا،ب،ج ) است را چنان نصف می‌کنیم که نقطه ( ز ) در وسط آن باشد. به عبارت دیگر قوس ( د،ز،ه ) را به دو قوس ( ز،د ) و ( ز،ه ) که مساوی هم هستند تقسیم می‌کنیم.

بیان اعمال مختصّ به فرض اول: فرض اول غیر عظیمه بودن دایره ( ا،ب،ج ) بود. برای به دست آوردن قطب چنین دایره ای به این صورت عمل می‌کنیم.

الف: به کمک شکل ۲۱ مقاله ۱ دایره ( ا،ز،ط ) که دایره عظیمه کره است را به گونه ای رسم می‌کنیم که از نقطه ( ا ) و ( ز ) که روی محیط دایره ( ا،ب،ج ) قرار دارند عبور کند.

ب: قوس ( ا،ز ) از محیط دایره ( ا،ز،ط ) را به کمک شکل ۲۹ مقاله ۳ اصول نصف می‌کنیم تا نقطه ( ح ) به دست آید . نقطه (‌ ح ) مطلوب ما می‌باشد. یعنی قطب دایره ( ا،ب،ج ) است[70]

اثبات مدعا در فرض غیر عظیمه بودن دایره ( ا،ب،ج ) در ضمن چهار مرحله:

مرحله اول: در عمل سوم از اعمال مشترکه بیان شد که قوس ( ه،ز ) و ( ز،د ) برابراند. و می‌دانیم اگر بر یکی از دو مقدار مساوی مقداری اضافه کنیم و بر مقدار دیگر نیز به همان اندازه که به مقدار اول اضافه کرده ایم اضافه کنیم دو مقداری که حاصل می‌شود نیز مساوی خواهند بود. بنابراین اگر به قوس ( ز،د ) که مساوی قوس ( ه،ز ) است مقدار ( ‌ا،د ) را اضافه کنیم و بر قوس ( ز،ه ) مقدار مساوی ( ا،د ) یعنی ( ا،ه ) را اضافه کنیم دو مجموع که عبارت اند از قوس های ( ا،د،ز ) و ( ا،ه،ز ) با هم برابر خواهند بود. تساوی قوس های ( ا،د،ز ) و ( ا،ه،ز ) نشان می‌دهد که دایره ( ا،ب‌،ج ) در دو نقطه ( ا ) و ( ز ) نصف شده است. به عبارت دیگر معلوم می‌شود دایره ( ا،ز،ط ) که از این دو نقطه عبور کرده است دایره (‌ ا،ب،ج ) را نصف کرده است.

مرحله دوم: حال که معلوم شد دایره ( ا،ز،ط ) دایره ( ‌ا،ب،ج ) را نصف کرده است به شکل ۱۵ مقاله ۱[71] می‌گوییم: دایره ( ا،ز،ط ) دایره ( ا،ب،ج ) را علی قوائم قطع کرده است. یعنی بر آن عمود شده است.

مرحله سوم: حال که معلوم شد دایره ( ا،ز،ط ) دایره ( ا،ب،ج ) را علی قوائم قطع کرده است به شکل ۱۴ مقاله [72] ۱ می‌گوییم: دایره ( ا،ز،ط ) از دو قطب دایره ( ا،ب،ج ) گذشته است لذا باید دو قطب دایره ( ا،ب،ج ) را روی محیط دایره ( ا،ز،ط ) پیدا کنیم.

مرحله چهارم: در حدودی که در صدر این مقاله بیان شد قطب دایره را اینگونه تعریف کردیم: قطب دایره نقطه ای است که فاصله آن تا هر نقطه از محیط دایره که در نظر گرفته شود برابر است با فاصله آن قطب تا نقطه دیگر از محیط. بنابراین اگر قوس ( ا،ز ) از محیط دایره ( ا،ز،ط ) را که گفتیم از قطب دایره ( ا،ب،ج ) عبور کرده است نصف کنیم نقطه ( ح ) که فاصله آن تا هر نقطه از محیط دایره ( ا،ب،ج ) برابر است با فاصله آن تا نقطه دیگر از محیط. در نتیجه قطب دایره ( ا،ب،ج ) می‌باشد و هو المطلوب.

از آنچه گفته شد معلوم می‌شود که روش مذکور برای رسیدن به مطلوب صحیح است و مطلوب ما را نتیجه می‌دهد.

بیان اعمال مختصّ به فرض دوم: فرض دوم عظیمه بودن دایره ( ا،ب،ج ) است که برای به دست آوردن قطب چنین دایره ای به ایین صورت عمل می‌کنیم.

الف: قوس ( ا،ز،د ) را که نصف محیط دایره ( ا،ب،ج ) است را به کمک شکل ۲۹ مقاله ۱ اصول بر نقطه

(‌ ج ) نصف می‌کنیم تا دو قوس ( ج،ا ) و ( ج،ز ) که مساوی و هر کدام ربع محیط هستند به دست می‌آید.

ب: دایره (‌ ا،ز،ط ) را با قطب قرار دادن نقطه ( ج ) و به بُعد ( ج،ا ) رسم می‌کنیم تا با دایره

( ا،ب،ج ) برخورد کند و قوس ( ا،ز ) در محیط آن معیَّن شود.

ج: قوس ( ا،ز ) از محیط دایره ( ا،ز،ط ) را نصف می‌کنیم تا نقطه ( ح ) در وسط این قوس پدید آید. مدعای ما این است که نقطه ( ح ) قطب دایره ( ا،ب،ج ) و همان مطلوب ما می‌باشد.

اثبا ت مدعا در فرض عظیمه بودن دایره ( ا،ب،ج ) در ضمن چهار مرحله.

مرحله اول: راجع به دو قوس ( ج،ا ) و ( ج،ز ) دو مطلب بیان می‌کنیم. یکی اینکه این دو با هم مساوی هستند و دیگری اینکه هر یک از این دو با ضلع مربعی که در دایره عظیمه این کره واقع می‌شود برابر اند. این دو مطلب را بیان می‌کنیم تا به کمک مطلب اول قطب بودن نقطه ( ج ) برای دایره ( ا،ز،ط ) و به کمک مطلب دوم عظیمه بودن ( ا،ز،ط ) را اثبات کنیم.

بیان مطلب اول: همانگونه که در شماره ( الف ) در ذیل بخش دوم بیان شد دانستیم که قوس ( ا،ز ) بر نقطه ( ج ) نصف شده است و دو قوس ( ج،ا )‌ و ( ج،ز ) به دست آمد. و واضح است که دو نصف یک شیء با هم برابراند. در نتیجه دو قوس ( ج،ا ) و ( ج،ز ) با هم مساوی اند. از مساوی بودن این دو قوس با توجه به شکل ۲۸ مقاله ۳ اصول[73] تساوی دو وتر ( ‌ج،ا ) و ( ج،ز ) به دست می‌آید. و از تساوی این دو وتر نتیجه گرفته می‌شود که اولاً دایره ( ا،ز،ط ) از نقطه ( ز ) می‌گذرد به این بیان: این دایره همانگونه که بیان شد به بُعد (‌ ج،ا ) رسم می‌شود لذا از نقطه ( ا ) عبور می‌کند و چون ( ‌ج،ز ) با ( ج،ا )‌ مساوی است پس از نقطه

( ز ) نیز عبور می‌کند. ثانیاً نقطه (‌ج ) قطب دایره ( ا،ز،ط ) است و قبلا بیان شد که دایره ( ا،ز،ط ) با قطب قرار دادن نقطه ( ج ) رسم می‌کنیم لذا قطب بودن نقطه ( ج ) برای این دایره مفروض ما است و لکن ما می‌خواهیم آن را مستدَّل کنیم لذا می‌گوییم: در صدر مقاله در ذیل عنوان ( الحدود ) گفتیم: قطب دایره هر نقطه ای است که از آن نقطه به محیط دایره خطوط متساوی رسم می‌شود. در شکل مورد بحث از نقطه

( ج ) درسَمک دایره ( ا،ز،ط ) به دو نقطه از محیط آن یعنی دو نقطه ( ا ) و ( ز ) دو خط مساوی که همان وتر ( ج،ا ) و ( ج،ز )‌ هستند رسم می‌شوند. در نتیجه نقطه ( ج ) قطب دایره ( ا،ز،ط ) می‌باشد.

بیان مطلب دوم: در شماره ( الف ) در ذیل بخش اول بیان شد: محیط دایره ( ‌ا،ب،ج ) در نقطه ( ا ) و ( ز ) نصف شده است. یعنی قوس ( ا،ز ) نصف دایره ( ا،ب،ج ) است. در شماره ( الف ) در ذیل بخش دوم بیان شد: قوس ( ا،ز ) را نصف می‌کنیم تا دو قوس ( ج،ا ) و ( ج،ز ) به دست آید.

از توجه به این دو مطلب معلوم می‌شود که هر کدام از دو قوس ( ج،ا ) و ( ج،ز ) نصفِ نصف، یعنی ربع محیط دایره ( ا،ب،ج ) هستند و وتر هر یک از این دو برابر ضلع مربعی است که می‌تواند در دایره ( ا،ب،ج ) واقع شود. و چون به فرض دایره ( ا،ب،ج ) عظیمه است پس هر کدام از دو وتر مذکور برابر ضلع مربعی هستند که در دایره عظیمه کره واقع می‌شود. از اینجا نتیجه گرفته می‌شود که از نقطه ( ج ) که قطب دایره ( ا،ز،ط ) است به محیط آن دایره یعنی نقطه ( ا‌ ) یا ( ز ) خطی وصل شده است که برابر با ضلع مربعی است که در دایره عظیمه کره که ( ا،ب،ج ) است واقع می‌شود. و دایره ای که از قطب آن به محیط اش چنین خطی رسم شود به شهادت شکل ۱۸ مقاله ۱ [74] دایره عظیمه است در نتیجه دایره ( ا،ز،ط ) عظیمه است.

مرحله دوم: گفتیم دایره ( ا،ب،ج ) که به فرض دایره عظیمه است از یک قطب دایره ( ا،ز،ط ) عبور کرده است. الان می‌گوییم: از قطب دیگر این دایره که نقطه مقال نقطه ( ج )‌ است نیز عبور کرده است.

توضیح ذلک: دایره ( ا،ب،ج ) به فرض و دایره ( ا،ز،ط ) به بیانی که گفته شد عظیمه اند پس اولاً به شکل ۱۲ مقاله ۱ متناصفان هستند ثانیاً به شکل ۶ مقاله ۱ مرکز آنها همان مرکز کره است. لذا هر کدامشان از مرکز دیگری عبور می‌کند. حال که متناصفان هستند و هر کدام از مرکز دیگری عبور می‌کند، اگر خطی مماسّاً بر سطح دایره ( ا،ب،ج ) از نقطه ( ج ) بر مرکز دایره ( ا،ز،ط ) عمود شود و از آن عبور کند از مقابل نقطه ( ج ) که قطب دیگر دایره ( ا،ز،ط ) است عبور می‌کند. از این بیان روشن می‌شود دایره ( ا،ب،ج ) که عظیمه است بر دو قطب دایره ( ا،ز،ط ) عبور می‌کند در نتیجه به شهادت شکل ۱۶ مقاله ۱ [75] دایره ( ا،ز،ط ) را علی قوائم نصف می‌کند. یعنی بر آن عمود می‌شود و در همان حال عمود بودن آن را نصف می‌کند. و جون این قاعده که می‌گوید: هر گاه دایره اوّلی بر دایره دومی عمود باشد دایره دوم نیز بر دایره اول عمود است صادق است ، در نتیجه حال که دایره (‌ ا،ب،ج ) بر دایره ( ا،ز،ط ) عمود است و آن را علی قوائم نصف می‌کند می‌گوییم: دایره ( ا،ز،ط ) نیز دایره ( ا،ب،ج ) عمود می‌باشد و آن را علی قوائم نصف می‌کند.

مرحله سوم: حال که ثابت شد دایره ( ا،ز،ط ) اولاً عظیمه است و ثانیاً دایره ( ‌ا،ب،ج ) را علی قوائم قطع می‌کند به شکل ۱۴ مقاله ۱ [76] رجوع می‌کنیم و می‌گوییم: پس دایره ( ا،ز،ط ) از دو قطب دو دایره ( ا،ب،ج ) مرور کرده است. یعنی دو قطب دایره ( ا،ب،ج ) در روی محیط دایره ( ا،ز،ط ) واقع اند.

مرحله چهارم: حال که معلوم شد دو قطب دایره ( ا،ب،ج ) روی محیط دایره ( ا،ز،ط ) واقع شده اند، با توجه به تعریفی که از قطب دایره داریم[77] حکم می‌کنیم که اگر هر کدام از دو قوس دایره ( ا،ز،ط ) را که با برخورد به دایره ( ا،ب،ج ) معیَّن شده اند نصف ‌کنیم نقطه ای که فاصله آن تا نقطه ای از محیط دایره

( ا،ب،ج ) مساوی فاصله آن تا نقطه دیگر محیط است. یعنی نقطه ای که قطب دایره ( ا،ب،ج ) است به دست می‌آید.

خلاصه: ما قوس ( ا،ز ) از محیط دایره ( ا،ز،ط ) را نصف می‌کنیم و نقطه ( ح ) را به دست آوریم. در نتیجه نقطه ( ح ) روی قوس ( ا،ز ) از محیط دایره ( ا،ز،ط ) و قطب دایره ( ا،ب،ج ) می‌باشد. و ما هم با روشی که اعمال کردیم همین نقطه را به دست آوردیم ( چه در فرضی که دایره ( ا،ب،ج ) عظیمه نبود و چه در فرضی که این دایره عظیمه بود ) لذا روشی که برای به دست آوردن قطب دایره به کار گرفتیم روشی بود صحیح و منتج مطلوب. ( تمت المقاله الاولی )