موضوع: بیان برهان مسامته و برهان موازات برای اثبات تناهی ابعاد/ الفصل الحادی عشر/ النمط الاول: فی تجوهر الاجسام/ شرح اشارات و تنبیهات.

خلاصه و تکمیل مباحث جلسه قبل: در ابتدایی که وارد بحث شدیم گفتیم که سه برهان بر تناهی ابعاد ذکر می شود.

اولین برهان، برهان سُلَّمی است که ذکر شد و برهان دوم، برهان مسامته است و سومین برهان نیز برهان تطبیق است و قطب رازی نیز در محاکمات برهان دیگری را ضافه می کنند که مقابل برهان مسامته است و برهان موازات نام دارد.

برهان سلمی را توضیح دادیم و حال نوبت به آن سه برهان دیگر است.

قبل از اینکه وارد سایر براهین شویم دو سؤال که مربوط به جلسه قبل است را مطرح و پاسخ می دهیم.

سؤال: خواجه بر فخر اینچنین اشکال گرفتند که شما ادعا کرده اید که اگر هر یک از زیادات در بُعدی حاصل باشند، لازم می آید که کل نیز در بُعدی حاصل باشد و ما به شما چنین اشکال می کنیم که چگونه حکم هر یک از زیادات را به کل سرایت می دهید و مشخص است که چنین سرایتی صحیح نیست.

حال سؤال می شود که اشکال بر فخر رازی وارد نیست چون فخر رازی این سرایت را اثبات کرده است و آن را با مثالی توضیح دادند. پس نمی توان این اشکال را بر فخر وارد دانست و تخطئه فخر برای این دلیل صحیح نیست.

پاسخ: ادعای فخر این است که اگر کلُّ زیادةٍ حکمی داشت، کل نیز همان حکم را دارد و به عبارت فنی اگر کل افرادی حکمی داشت، کل مجموعی نیز همان حکم را دارد.

حال آیا دلیلی که فخر آورده اند این مدعا را ثابت می کند؟

دلیل فخر ثابت کرد که در بُعد دهم، کل افرادی و کل مجموعی همگی هستند.

در این مثالی که فخر زدند اگر کل افرادی را با هم در نظر بگیریم، کل مجموعی را تشکیل می دهد.

فخر ادعا دارند که حکم کلّ واحد با حکم کلّ یکی است یعنی حکم کل افرادی با حکم کل مجموعی یکی است ولی در وقت استدلال ثابت می کنند که بُعد عاشر که کل و جامع است، مجموع کل واحد را دارد و مجموع کل واحد یعنی کل مجموعی.

پس فخر مدعا را اثبات نکرده است بلکه فقط اثبات کرده است که کل مجموعی شامل کل افرادی است.

سؤال: سؤال دوم این است که اگر فخر شق دوم و سوم را به این صورت بیان می کرد که «اما ان یکون الکل حاصلا فی بُعد او لا یکون و اگر حاصل نباشد، خلاف لازم می آید چون بُعد عاشر اینچنین است و اگر حاصل باشد، دو اشکال پیش می آید که بیان شد» یعنی اگر فخر در ابتدا تشقیق می کردند، اشکال خواجه بر ایشان وارد نمی شد یعنی اگر فخر نمی فرمودند که فرض اول باطل است و فرض دوم متعین است، اشکال خواجه بر ایشان وارد نمی شد.

پاسخ: پاسخ این سؤال نیز واضح است و فخر در ابتدا اینگونه تصویر می کنند که حکم کل واحد (کل افرادی) به مجموع (کل مجموعی) سرایت می کند یا نمی کند.

در قسمی که حکم سرایت نمی کند، همین عدم سرایت را فخر اشکال می دانند پس مشخص است که فخر سرایت را قبول دارند و حال که سرایت می کند دو اشکال دارد.

و خواجه همین جا اشکال می کنند و می فرمایند که اینکه فخر گفته اند که باید سرایت کند صحیح نیست بلکه این سرایت را نیز باید به عنوان اشکال سومی بر قسم دوم مطرح می کردند یعنی علاوه بر آن دو اشکالی که ذکر شد، اصل سرایت نیز مورد اشکال است.

قوله و قد تستبان استحالة ذلك من وجوه أخرى يستعان فيها بالحركة أو لا يستعان و لكن فيما ذكرناه كفاية

الوجه الذي يستعان فيه بالحركة هو المبني على فرض كرة يخرج من مركزها قطر مواز لخط غير متناه يجب أن يسامته بَعد الموازاة لحركة الكرة فيلزم أن يوجد في الخط أول نقطة يسامتها القطر و يستحيل أن يوجد لوجود نقطة يسامتها قبل كل نقطة فيلزم الخلف [1]

مصنف می فرمایند که ما می توانیم تناهی ابعاد را از راه های دیگری و با استفاده از دلائل دیگری نیز اثبات کنیم.

این دلائل به دو قسم تقیسم می شوند.

بعضی مبتنی بر حرکت هستند و بعضی مبتنی بر حرکت نیستند.

آن برهانی که مبتنی بر حرکت است، «برهان مسامته» نام دارد.

برهان مسامته: تصور کنید که خط بی نهایتی را بر روی زمین (مثلا به صورت عمود) قرار می دهیم و آن را بی نهایت ادامه می دهیم.

در برهان سلمی دو خط بی نهایت را اخراج می کردیم ولی در این برهان یک خط بی نهایت را از یک نقطه اخراج می کنیم.

کُره ای را در کنار این خط قرار می دهیم.

از یک کره بی نهایت قطر را می توان استخراج کرد خصوصاً بنابر قول به عدم وجود جزء لایتجزی.

ما یکی از این قطر ها را که از کره خارج می شود و با این خطِ نامتناهی موازی است را انتخاب می کنیم در نتیجه دو خط موازی درست می شود یکی آن خط مفروض ماست که بی نهایت است و دومی قطر کره است.

حال مقداری کره را به سمت خط نامتناهی حرکت می دهیم تا قطری که انتخاب کرده بودیم از حالت موازات با خط نامتناهی خارج شود و در نتیجه این قطر را اگر ادامه دهیم در جایی با خط نامتناهی برخورد می کند که آن را اولین نقطه ای که آن دو خط در آن مسامته و تلاقی کرده اند می نامیم.

علت ابتناء این برهان بر حرکت نیز همین حرکت دادن کُره است.

حال استدلال را شروع کرده و می گوییم:

استدلال: قیاس استثنایی با رفع تالی

مقدمه اول: اگر این خط مفروض نامتناهی باشد، لازم می آید که اولین نقطه تلاقی و مسامته را نداشته باشیم.

مقدمه دوم: لکن تالی باطل است و این دو خط، نقطه مسامته یعنی اولین نقطه تلاقی دارند چون مسامته حادث شده است و هر حادثی نیز اول دارد لذا مسامته نیز اول دارد در نتیجه اولین نقطه تلاقی و اولین نقطه مسامته موجود است.

نتیجه: حال که تالی باطل است، پس مقدم نیز باطل است و خط نامتناهی وجود ندارد چون وجود داشتن خط نامتناهی به اجتماع نقیضین می انجامد چون از طرفی مسامته حادث است و هر حادثی اولی دارد و از طرفی اگر خط نامتناهی وجود داشته باشد، اولین نقطه مسامته وجود نخواهد داشت.

حال فقط باید ملازمه بین مقدم و تالی را اثبات کنیم و بگوییم که چرا اگر این خط نامتناهی باشد، اولین نقطه مسامته را نخواهیم داشت و چگونه است که اگر این خط متناهی باشد می توانیم اولین نقطه مسامته را داشته باشیم.

اثبات ملازمه بین مقدم و تالی:

برای اثبات ملازمه دو توضیح وجود دارد:

بیان اول: بیان اول اینکه وقتی کره را حرکت دادیم و قطری را از حالت موازات خارج کردیم، در این صورت قبل از حرکت، این قطر جایی از فضا را خط کشی می کرد و بَعد از حرکت نیز جای دیگری را خط کشی می کند یعنی قبل از حرکت در جایی بود و بَعد از حرکت در جای دیگری است.

حال هر دو خط را با هم تصور می کنیم. وقتی این دو قطر با هم برخورد می کنند بینشان یک زاویه تشکیل می شود که رأس این زاویه در مرکز کره است.

این زاویه را می توان کوچک کرد یعنی می توان آن ضلع مایل را نزدیک به آن ضلعی کنیم که حالت توازی دارد و در نتیجه زاویه کوچک تر می شود و قبل از اینکه زاویه را کوچک کنیم آن ضلعی که مایل است و موازی نیست، آن خط بی نهایت را در نقطه ای قطع می کند و اگر زاویه را کوچک تر کردیم، در این صورت آن قطر مایل، خط بی نهایت را در نقطه دورتری قطع می کند و چون تا بی نهایت می توانیم این زاویه را کوچک تر کنیم، پس تا بی نهایت نیز می توانیم این نقطه تقاطع را بالاتر ببریم و در نتیجه اولین نقطه تلاقی را نخواهیم داشت.

پس اگر این خط بی نهایت باشد، اولین نقطه تلاقی را نخواهیم داشت چون هر نقطه تلاقی که حادث می شود، باز زاویه را کوچک تر می کنیم و نقطه تلاقی دورتری را حادث می کنیم.

پس اگر خطی تا بی نهایت برود، اولین نقطه تلاقی را نخواهیم داشت.

این بیان اول است.

ملازمه بین مقدم و تالی را با بیان دیگری نیز می توان اثبات کرد.

بیان دوم: بیان دوم این است که ما قطری که موازی بود را با حرکت دادن کره مایل کردیم و حرکت نیز قابل تجزیه تا بی نهایت است لذا می توانیم این حرکت را کم کنیم و همینطور حرکت کره را کمتر کنیم و هر چقدر حرکت را کم تر کنیم، میل قطر مایل کمتر می شود و به سمت قطر موازی نزدیک تر می شود و نقطه بالاتری از خط بی نهایت را قطع می کند و در نتیجه اولین نقطه مسامته را نخواهیم داشت.

حال قیاس را دوباره تکرار می کنیم:

استدلال: قیاس استثنایی با رفع تالی

مقدمه اول: اگر این خطی که عمود کرده ایم بر زمین و بی نهایت است را داشته باشیم، پس اولین نقطه مسامته را نخواهیم داشت.

مقدمه دوم: در حالی که اولین نقطه مسامته را داریم چون مسامته حادث است و هر حادثی اولی دارد.

نتیجه: پس چون تالی باطل است، مقدم نیز باطل است و در نتیجه آن خط نمی تواند نامتناهی باشد.

پس اگر این خط متناهی بود، این اشکال پیش نمی آمد.

حال باید ثابت کنیم که چگونه با متناهی بودن خط، این اشکال رفع می شود.

در بحث جزء لایتجزی گفتیم که حرکت و مقدار و هر چیز قابل امتداد را می توانیم تا بی نهایت تقسیم کنیم و گفتیم که گاهی تقسیم خارجی تمام می شود و در این صورت تقسیم وهمی را شروع می کنیم و تقسیم وهمی را نیز ادامه می دهیم تا جایی که توان آن را داشته باشیم و سپس تقسیم عقلی را تا بی نهایت ادامه می دهیم.

حال اگر این خط بی نهایت باشد بَعد از اینکه تقسیم خارجی زاویه را به آخر رساندیم و یا تقسیم حرکت کره را به آخر رساندیم، بَعد با وهممان تقسیم زاویه و حرکت کره را ادامه می دهیم و بَعد از اینکه وهممان خسته شد نیز با عقل و فرض تقسیم را ادامه می دهیم و این تقسیم تمامی نخواهد داشت.

ولی اگر این خط متناهی باشد، دیگر وهم و فرض نمی توانند تقسیم را تا بی نهایت ادامه دهند چون این خط در جایی قطع می شود و در نتیجه اولین نقطه مسامته و تلاقی حاصل می شود.

پس اگر خط عمود بر زمین، بی نهایت باشد می توانیم بَعد از اتمام تقسیم خارجی به سراغ وهمی و عقلی برویم و آنها را تا بی نهایت ادامه دهیم و تقسیم را تا بی نهایت حاصل کنیم ولی اگر خط متناهی باشد، نمی توانیم به سراغ تقسیم وهمی و عقلی برویم و یا اگر به سراغ آنها برویم، نمی توانیم تقسیم را تا بی نهایت ادامه دهیم چون این خط بی نهایت نیست.

ترجمه و شرح متن:

مصنف: و محال بودن عدم تناهی ابعاد از وجوه دیگری نیز بیان می شود که در بعضی از حرکت کمک گرفته می شود و در بعضی کمک گرفته نمی شود ولی در آنچه که ما ذکر کردیم (برهان سُلَّمی) کفایت است و همین قدر برای بحث ما کافی است.

شارح: آن وجهی که در آن از حرکت کمک گرفته می شود این است که فرض کنیم کُره ای را که از مرکز آن کره، قطری می گذرد که موازی با خطی غیر متناهی است و در این صورت واجب است که مُسامِت و مُلاقِی شود این قطر با آن خط بَعد از حرکت دادن کره بَعد از اینکه موازات داشت.

پس واجب است که در خط یافت شود اولین نقطه ای که قطر با آن ملاقی و مسامت است در حالی که محال است که اولین نقطه حاصل شود زیرا ممکن است که قبل از هر نقطه ای، نقطه ی دیگری باشد که در آن نقطه قطر با خط بی نهایت، مسامته داشته است در نتیجه خلف فرض لازم می آید.

برهان موازات: اگر این برهان را عکس کنیم برهان موازات می شود و برهان موازات این است که خط بی نهایتی را داشته باشیم و از کره ای قطری خارج شده باشد که با خط بی نهایت، موازی نباشد بلکه مایل باشد و بَعد با حرکت دادن کره باید خط مایل دیگری حادث شود که به سمت موازات برود (ولی موازی نشود) و در ادامه لازم می آید که به آخرین نقطه مسامات برسیم در حالی که چون خط بی نهایت است به این نقطه نمی رسیم.