موضوع: ادامه بیان برهان سُلَّمی و اثبات تناهی ابعاد به این صورت که وجود ابعاد نامتناهی یا موجب خلف فرض می شود یا اجتماع نقیضین/ الفصل الحادی عشر/ النمط الاول: فی تجوهر الاجسام/ شرح اشارات و تنبیهات.

خلاصه جلسه قبل: در برهان تناهی ابعاد بعد از اینکه دو امتداد را از نقطه معینی ادامه می دهیم، بعدهایی بین این دو امتداد به صورت افقی تصویر می شوند که هر یک بر دیگری به اندازه واحدی اضافه دارند و ما در آخر به بعدی می رسیم که تمام زیادات بی نهایت را جمع کرده است و اگر به چنین بعدی نرسیم پس به بعدی می رسیم که امکان اضافه کردن به آن وجود ندارد یعنی آخرین بعد است و متناهی است بنابراین رسیده ایم به بعدی که از بین زیادات نامحدود مشتمل است بر زیاداتی محدود و قهرا خود این بعد نیز محدود است.

قوله فيصير البعد بين الامتدادين محدودا في التزايد عند حد لا يتجاوزه في العظم‌

أي إذا كان لإمكان الأبعاد التي تفرض بينهما نهاية وجب أن ينتهي البعد بينهما إلى بعد لا يوجد ما هو أعظم منه [1]

حال مصنف اینگونه نتیجه می گیرند که پس بُعد حاصل بین دو امتداد، محدود و متناهی است به حدی و به عبارت دیگر به جایی می رسیم که تعداد بعد ها اضافه نمی شود یعنی وقتی ما نتوانستیم بعدی را پیدا کنیم که بر تمام زیادات نامتناهی مشتمل باشد، پس رسیده ایم به بعدی که بر زیادات متناهی مشتمل است و در نتیجه خودش نیز متناهی است.

مصنف در متن بَعد نتیجه می گیرند که اگر بُعد به جایی ختم شد پس امتدادین نیز باید به جایی ختم شوند و در نتیجه متناهی باشند چون اگر امتداد ها ادامه پیدا کنند باید بُعد بین آن دو نیز ادامه پیدا کند.

پس اگر زیادات نامتناهی را در بعدی جمع کردیم منجر به اجتماع نقیضین می شود چون از طرفی این بعد باید نامتناهی باشد و از طرفی نیز محصور بین حاصرین و متناهی است و اگر این زیادات نامتناهی در بعدی جمع نشدند بلکه بُعدی موجود شد که مشتمل بر زیادات متناهی بود، در این حالت خود بعد نیز متناهی است و در نتیجه مطلوب ما یعنی تناهی ابعاد حاصل و ثابت می شود.

استدلال تمام شد و فقط تطبیق متن باقی مانده است.

دقت شود که در این استدلال ما دو فرض را مطرح کردیم یک فرض این است که بعدی را به دست آوریم که شامل زیادات نامتناهی باشد که این فرض موجب اجتماع نقیضین است و فرض دیگر اینکه به بعدی برسیم که مشتمل بر زیادات متناهی باشد که در این صورت خود این بعد نیز متناهی خواهد بود که این علاوه بر اینکه مُثبِت مطلوب ماست، خلف فرض نیز هست چون موجب متناهی بودن ابعاد می شود پس هر دو فرض باطل است و یک شق موجب خلف فرض می شود و یک شق موجب حصر نامتناهی بین حاصرین است که منجر به اجتماع نقیضین می شود در نتیجه هر دو تالی یعنی هر دو فرض باطل است و مقدم نیز که نامتناهی بودن ابعاد است باطل می باشد.

قبل از اینکه متن را تطبیق کنیم سوالی را مطرح می کنیم و جواب می دهیم.

سؤال: با این استدلالی که شما طرح کردید، جهان را متناهی نکردید بلکه این بعد را متناهی کردید و متناهی بودن این بعد موجب متناهی بودن کل جهان ماده نمی شود لذا استدلال ناتمام است.

جواب: در همان ابتدا قبل از استدلال اینگونه گفتیم که ما نه در خلاء و نه در ملاء نمی توانیم بعد نامتناهی داشته باشیم و ما در هر جایی از این جهان این دو امتداد را فرض کنیم همین محذور پیش می آید یعنی این دو امتداد را می توان در هر جایی از جهان رسم کرد و اگر واقعا جهان بی نهایت باشد باید این دو امتداد نیز تا بی نهایت بروند پس هر حکمی که برای این دو امتداد ثابت کردیم برای جهان ماده نیز ثابت می شود که با برهان سلَّمی ثابت کردیم که این دو امتداد نمی توانند نامتناهی نباشند و متناهی هستند لذا جهان ماده نیز متناهی است.

ترجمه و شرح متن:

مصنف: پس آن بُعد بین آن دو امتداد محدود در تزاید (و در نتیجه محدود در طول) می شود نزد حدی که آن بعد از این خط در بزرگی تجاوز نمی کند (یعنی می توان تعداد بعدها را تا جایی خاص اضافه کرد و چون هر بُعدی از بُعد بَعدی بزرگتر است طولاً پس آخرین بُعد، بُعدی است که طولش محدود است).

شارح: یعنی اگر برای امکان ابعادی که بین دو امتداد فرض می شوند نهایتی باشد، پس واجب است که بُعد بین دو امتداد متناهی شود به بعدی که بعد برگتر از او پیدا نشود.

قوله و هناك ينقطع لا محالة الامتدادان و لا ينفذان بعده

أي إذا انتهى إلى بعد لا يوجد أعظم منه هذا فقد وجب انقطاعهما

در این عبارت مصنف می فرمایند که اگر آن بعد متناهی باشد و در جایی محدود شود، پس آن دو امتداد نیز محدود و متناهی خواهند بود چون اگر آن دو امتداد اضافه شوند باید بعد بزرگتری نیز اضافه شود و این خلاف فرض است.

ترجمه و شرح متن:

مصنف: و در این هنگامی که به آخرین بعد رسیدیم، پس آن دو امتداد نیز متناهی خواهند شد و از آن بعد تجاوز نخواهند کرد.

شارح: یعنی وقتی بعد در جایی محدود و متناهی شد و بعد بزرگتر از آن جایز نبود، پس واجب است که آن دو امتداد نیز در جایی قطع و متناهی شوند.

قوله و إلا أمكنت الزيادة على أكثر ما يمكن و هو ذلك المحدود من جملة غير المحدود و ذلك محال

أي إن لم ينقطع الامتدادان فقد يوجد بعد أعظم مما فرض أنه أعظم الأبعاد و حينئذ يوجد بعد يشتمل على أكثر من الجملة المتناهية التي فرضنا أنه لا يمكن الاشتمال على أكثر منها و هو محال

فقوله و هو ذلك المحدود أي أكثر ما يمكن هو ذلك المحدود بحسب الفرض الأول

در این عبارت مصنف می خواهند اثبات کنند که در صورت اتمام و تناهی بُعد، امتدادها نیز باید تمام و متناهی شوند و این واضح است چون اگر آن دو امتداد ادامه پیدا کنند لازم می آید که بُعد جدیدی بین آنها حادث شود و این خلف فرض است چون فرض این بود که رسیدیم به بُعدی که آخرین بعد است.

ترجمه و شرح متن:

مصنف: و اگر این دو امتداد قطع نشوند و همچنان ادامه پیدا کنند، ممکن است زیاده کردن بر آن بعدی که آخرین بُعدِ ممکن بود یعنی ممکن است که بعد جدیدی را اضافه کنیم که بزرگتر از آخرین بُعد باشد.

پس اگر دو امتداد ادامه پیدا کنند خلف فرض پیش می آید و آن خطی که اکثر ما یمکن یعنی آخرین بعد بود، آخرین بعد نخواهد بود و این خلف فرض است و چون خلف فرض باطل است، آنچه که موجب خلف فرض است نیز باطل است.

و آن «اکثر ما یمکن» آن بعد محدودی است که از جمله زیادات نامحدود بود.

و این محال است یعنی محال است که چیزی بر اکثر ما یمکن اضافه شود و علت محال بودن نیز خلف فرض است.

در اول بحث ما گفتیم که دهانه این دو امتداد علی الدوام به اندازه واحد اضافه و بازتر می شود و ما زیاداتی را در هر بعدی خواهیم داشت و چون تعداد ابعاد نامتناهی هستند تعداد زیادات نیز نامتناهی هستند و حال رسیدیم به خطی که مشتمل است بر تعداد محدودی از زیادات که آن تعداد محدود از جمله آن زیادات نامحدودی هستند که در اول بحث آنها را فرض کردیم یعنی ما در اول بحث زیادات نامتناهی را بنابر عدم تناهی ابعاد فرض کردیم و بعد بنابر قسم دوم از فرض رسیدیم به بعدی که مشتمل است بر تعداد محدودی از زیادات مفروضه اولیه یعنی به بعدی رسیدیم که محدود است.

شارح: اگر آن دو امتداد قطع نشوند و همچنان پیش روند، پس همانا بعدی یافت می شود که بزرگتر است از آن بعدی که ما آن را بزرگترین بعد فرض کردیم و در این هنگام که بُعد بزرگتری پیدا شد، بعدی یافت می شود که مشتمل باشد بر بیشتر از آن خطی که مشتمل بود بر زیادات متناهی که بنابر فرض ما آن خط، بزرگترین خط بود و خط بزرگتر از آن بنابر فرض ما ممکن نبود.

پس اگر دهانه این مثلث بازتر شود یعنی آن دو امتداد هنوز ادامه دهند و به حدی منتهی نشوند و متناهی نباشند، لازم می آید که بعد بزرگتری به وجود بیاید در حالی که بنابر فرض ما ممکن نیست که بعد بزرگتری از آن بعد (آن بعدی که بنابر فرض آخرین بعد بود) موجود شود.

در عبارت اول اینطور گفتند که «فقد یوجد بعد اعظم....» و در عبارت دوم گفتند «قد یوجد بعد یشتمل علی اکثر ....» هر دو مطلب یکی است ولی در عبارت اول توجه شده است به خود بُعد بدون توجه به واحد هایی که در این بعد هستند و این بعد را تشکیل داده اند ولی در عبارت دوم توجه شده است به تعداد واحدها و تعداد نیم متر ها (بنابر مثالی که برای توضیح استدلال زدیم واحد عبارت بود از نیم متر و بنابر مثال شارح واحد عبارت بود از نیم زراع) و گفته شده خطی که مشتمل باشد بر نیم متری زائد بر بعد قبل نخواهیم داشت.

پس هر دو عبارت یک مفهوم دارد ولی در یکی توجه شده است به طول خط و در دیگری توجه شده است به تعداد واحد های (نیم مترهای) موجود در خط.

و قول مصنف که گفته است که «هو ذلک المحدود» در این عبارت «هو» به «اکثر ما یمکن» بر می گردد پس عبارت اینچنین می شود که «اکثر ما یمکن هو ذلک المحدود بحسب الفرض الاول».

فرض اول ما این بود که این خط بزرگی که فرضش کردیم آخرین خط باشد ولی الآن فرض جدیدی پیدا شد به این صورت که امتدادها را ادامه دادیم و بعد جدیدی پیدا شد.

در فرض اول «اکثر ما یمکن» همان خط آخری است که گفتیم آخرین خط متناهی است ولی در فرض دوم آن خط، «اکثر ما یمکن» نیست بلکه خط بزرگتری وجود دارد که اضافه ای نسبت به خط قبل دارد.

پس منظور از اکثر ما یمکن آن خطی است که به حسب فرض اول بزرگترین خط بود که خطی محدود و متناهی است.

قال فظهر من جملة ذلك أنه لو لم يصر بعد واحد مشتملا على الزيادات الغير المتناهية لزم انقطاع الامتدادين مع فرضهما غير متناهيين و الشيخ لم يصرح به اعتمادا على فهم المتعلم

فخر رازی در ذیل این عبارت مصنف مطلبی گفته است که مکمِّل گفته مصنف است و فخر می گویند که مطلب مصنف دنباله ای دارد که چون واضح بوده است مصنف آن را بیان نکرده اند ولی ما آن را بیان می کنیم و آن مطلب عبارت است از اینکه:

از گفته های قبل معلوم شد که اگر ما بعدی که مشتمل است بر تمام زیادات نامتناهی نداشته باشیم بلکه به آخرین بعد برسیم، لازم می آید که دو امتداد قطع شوند.

حال فخر اضافه می کنند: در حالی که آن دو امتداد را نامتناهی فرض کرده بودیم و این خلف فرض است.

پس اگر بُعدِ مشتملِ بر جمیعِ زیاداتِ نامتناهی نداشته باشیم، لازم می آید که آخرین بعد، حاصل شده باشد و اگر آخرین بعد حاصل شده باشد، امتداها متناهی می شوند و تناهی امتداها خلف فرض است و خلف فرض باطل است و چون تالی باطل شد مقدم نیز باطل می شود پس باید بعد مشتمل بر جمیع زیادات نامتناهی داشته باشیم و وقتی این بعد را داشتیم اشکال بَعد وارد می شود که حصر نامتناهی بین حاصرین است و این فرض نیز باطل می شود چون موجب اجتماع نقیضین است.

و حال که هر دو تالی باطل شده است پس مقدم که وجود بعد نامتناهی باشد نیز باطل است.

پس مصنف باید اضافه می کردند که «لکن امتدادان بنابر فرض اولیه ما متناهی نیستند و این خلف فرض است».

ترجمه و شرح متن:

شارح: و فخر رازی گفته است که:

از جمیع مطالبی که گفته شد روشن شد که اگر یک بعد مشتمل نباشد بر زیادات غیرمتناهی لازم می آید که این بعد آخرین بعد باشد و در این صورت لازم می آید که امتداد ها قطع شوند (تا اینجا را مصنف گفته بودند) در حالی که این دو امتداد را به صورت غیر متناهی فرض کرده بودیم.

و شیخ ره به این قسمت اخیر تصریح نکرده اند به خاطر اعتماد و تکیه بر فهم متعلم.

خلاصه استدلال این می شود که اگر ابعاد نامتناهیه داشته باشیم لازمه اش حصر نامتناهی بین دو حاصر است و این محال است چون موجب اجتماع نقیضین می شود.

قوله فتبين أنه يكون هناك إمكان أن يوجد بعد بين الامتدادين الأولين فيه تلك الزيادات الموجودة بغير نهاية فيكون ما لا يتناهى محصورا بين حاصرين هذا محال

و معناه ظاهر

پس حرف مصنف این است که اگر دو امتداد را ادامه ندادیم و به آخرین بعد رسیدیم، لازمه این فرض تناهی بعد و امتدادها است و این خلف فرضی است که از ابتدا آن را در نظر گرفته بودیم چون فرض اولیه این بود که امتداها نامتناهی باشند در حالی که اکنون رسیده ایم به جایی که امتداها متناهی باشند پس باید بعدها و امتدادها نامتناهی باشند و این در صورتی است که بعد مشتمل باشد بر تمام زیادات نامتناهیه ممکنه و در نتیجه خودش نیز باید نامتناهی باشد چون مشتمل بر نامتناهی است و گفتیم که این فرض نیز موجب اجتماع نقیضین و حصر نامتناهی بین حاصرین خواهد شد.

ترجمه و شرح متن:

مصنف: پس روشن شد که در این صورت امکان این وجود دارد که بین آن دو امتداد اولی (که دو ساق مثلث بودند) بعدی یافت شود که تمام زیادات نامتناهیه در آن بعد موجود باشند و در نتیجه بنابر این فرض آن بعدی که مشتمل است بر زیادات نامتناهیه از جهت طول نامتناهی است و محصور بین دو حاصر است و این محال است و یک غیر متناهی نمی تواند محصور باشد چون محصور بودن یعنی متناهی بودن.

شارح: و معنای این متن ظاهر است.

برهان در اینجا به صورت کامل تمام می شود و مطالب بَعدی اشکالات و دفاعیات است و تبیین برهان در اینجا تمام شده است و اکنون خلاصه ای از برهان را ذکر می کنیم:

اگر ابعاد، نامتناهی باشند جایز است که در ملاء یا خلاء دو امتداد را از یک نقطه اخراج کنیم و آن دو را تا بی نهایت امتداد دهیم امتدادی که در هر لحظه فاصله بین آن دو امتداد بیشتر شود و در نتیجه بُعدی که در بین این دو قرار می گیرد هر لحظه بزرگتر می شود و اگر به آخرین بعد موجود در بین این دو امتداد رسیدیم، این فرض موجب قطع دو امتداد می شود و این خلف فرض است لذا محال است و اگر به بعد آخر نرسیدیم بلکه بعد موجود در بین این دو امتداد نامتناهی بود یعنی مشتمل بر تمام زیادات نامتناهی بود در این صورت حصر نامتناهی بین حاصرین پیش می آید و محصور شدن نامتناهی محال است چون موجب اجتماع نقیضین است چون هم باید این بعد نامتناهی باشد چون مشتمل بر تمام زیادات نامتناهیه است و هم باید متناهی باشد چون محصور است.

برهان تناهی ابعاد خیلی برهان سختی است و حتی شیخ بهایی ره نیز در شعری به عنوان مثال برهان تناهی ابعاد را موجب غرور متعلم می دانند.

اشکالاتی بر این برهان مطرح است که یکی از آنها این است که:

در صورتی این استدلال تمام است که تناهی ابعاد را قبلاً پذیرفته باشیم یعنی این برهان مبتنی بر تناهی ابعاد است نه مُنتِج تناهی ابعاد.

در جلسه آینده اشکالات وارده بر برهان تناهی ابعاد را بیان می کنیم.