درس برهان شفا - استاد حشمت پور
94/03/26
بسم الله الرحمن الرحیم
موضوع:
بیان کلام بروسن/ مقدمات برهان باید با مطلوب و نتیجه، مناسبت
داشته باشد/ فصل 9/ مقاله 2/ برهان شفا.
و العرض فی هذا التربیع ان یبین ان دائره مساویه لشکل مستقیم الخطوط کیفکان عدد اضلاعه[1][2]
بحث در این بود که مقدمات برهان علاوه بر داشتن شرائطی که به آنها تصریح شد باید مناسبت با آن علمی که در آن علم اقامه می شوند داشته باشند و از همین جا این حکم آورده شد که قیاسی که بروسن در هندسه اقامه کرده برهان نیست زیرا یکی از مقدماتی که ایشان بکار گرفته مقدمه ی عام است و اختصاص به هندسه ندارد حال اگر بخواهید این قیاس را در هندسه اجرا کنید به توسط این مقدمه ی عام اجرا می شود یعنی واسطه ی عام دخالت می کند و جایی که واسطه ی عام دخالت کند برهان، تشکیل نمی شود. قبلا بیان شده بود در جایی که واسطه باشد « چه واسطه، عام باشد چه واسطه، خاص باشد » نمی توان برهان تشکیل داد پس کلام ایشان در هندسه، برهانی نیست ولی ممکن است در یک علم دیگر برهانی باشد. سپس مصنف بیان کرد این، برهان هندسی نیست ولی یک بیانِ بالعرض و بالواسطه است.
مصنف می خواهد بیان کند که بروسن چه غرضی داشته و چه دلیلی اقامه کرده است یعنی اولا مدعایش چه بوده و ثانیا بر این مدعا چگونه دلیل اقامه کرده است؟
بیان غرض بروسن: بروسن می خواهد مساحت یک دایره را از طریق یک شکل مستقیم الاضلاع حساب کند یعنی می خواهد یک شکل مستقیم الاضلاع درست کند که مساحت دایره با مساحت آن شکل مستقیم الاضلاع یکی باشد سپس مساحت مستقیم الاضلاع را بدست بیاورد و بگوید مساحت دایره هم همین است یعنی نمی خواهد به طور مستقیم به سراغ مساحت دایره برود. برای بروسن مهم نیست که شکل مستقیم الاضلاع چند ضلع داشته باشد. مربع باشد یا مثلث باشد یا .... اگر چه ایشان ابتداءً به مربع بر می گرداند و می خواهد دایره را با مربع مساوی کند ولی در مسیری که می رود برایش مهم نیست که از چه شکلی استفاده کند لذا می بینید که از مثلث استفاده می کند و می گوید ما این دایره را به مثلث های مختلف تقسیم می کنیم. تقسیم مربع به مثلث خیلی آسان است زیرا قطر مربع اگر رسم شود مربع تبدیل به دو مثلث می شود قطر دیگرش را اگر رسم کنید مربع تبدیل به چهار مثلث می شود می توان دوباره این مثلث ها را تقسیم کرد و آن را کوچکتر کرد ولی الان بحث در تقسیم مربع نیست بلکه در تقسیم دایره است. دایره را تقسیم به مثلث های کوچک می کند یعنی نصف قطرها « یعنی شعاع ها » را خیلی نزدیک به هم رسم کنیم دو شعاع، دو ضلع مثلث را تشکیل می دهند که در مرکز دایره با هم برخورد کردند و رأس مثلث را تشکیل دادند. قاعده مثلث، محیط دایره می شود. محیط دایره یک خط مستقیم نیست در حالیکه مثلث هر سه ضلعش مستقیم است. این ضلع واحد از این مثلث، کاملا مستقیم نیست بلکه قوس دایره است. اگر مثلث را بزرگ قرار دهید این قوس دایره هم بزرگ می شود و فاصله اش با خط مستقیم زیاد می شود اما اگر مثلث ها را کوچک فرض کنید قوس دایره کوچکتر می شود وقتی قوس کوچکتر شد به خط مستقیم نزدیک تر می شود. از راهی که گفته شد مساحت مثلث های کوچک بدست می آید سپس مساحت هر یک از این مثلث ها را با یک مربع کوچک مساوی قرار می دهد. مثلا فرض کنید 10 مثلث در این دایره بدست آمد حال 10 مربع درست می کنیم که مساحت هر مربع با مساحت هر مثلث برابر باشد سپس یک مربع بزرگ درست می کنیم که تمام ده مربع اگر مساحتش جمع شود برابر با مساحت بر این مربع بزرگ می شود سپس اعلام می کنیم که مساحت مربع بزرگ با مساحت دایره یکی است.
پس توجه کردید که دایره منحل به مثلث شد و برابر هر مثلثی، یک مربع ساخته شد سپس مجموع مربع ها درون یک مربع برده شد. اگر دقت کنید مثل این است که دایره درون این مربع برده شد. در اینجا دو واسطه انجام شد:
1 ـ تحلیل دایره به مثلث ها.
2 ـ تبدیل مثلث ها به مربع ها.
برای بدست آوردن مساحت مربع، یک ضلع مربع در خودش ضرب می شود وقتی یک ضلع مربع در خودش ضرب شود مساحت دایره هم بدست می آید. پس به این صورت بروسن مساحت دایره را از طریق مربع بدست می آورد. سپس استدلال می کند که این مربع مساحتش با مساحت دایره یکی است.
آنچه که مورد نظر ما می باشد استدلال بروسن است که در استدلالش از یک مقدمه ی عام استفاده می کند که اختصاص به هندسه ندارد لذا قیاسش برهانی نمی شود.
توضیح عبارت
و العرض فی هذا التربیع ان یبین ان دائره مساویه لشکل مستقیم الخطوط کیف کان عددُ اضلاعه
نسخه صحیح « و الغرض فی هذا ... » است.
غرض در این تربیع « تربیع یعنی مربع ساختن، چون بروسن، دایره را مربع می سازد تا از این طریق بتواند مساحت دایره را بدست بیاورد » این است که بروسن بیان کند دایره مساوی است با یک شکل مستقیم الخطوط « یعنی با یک شکلی و سطحی که به وسیله خطوط مستقیم احاطه شده » و این شکل مستقیم الخطوط هر چقدر ضلع که می خواهد داشته باشد « حداقل باید سه ضلع را داشته باشد تا بتواند یک سطح را احاطه کند ».
فانه یمکن ان یحل الی مثلثات مثلا
از اینجا بروسن شروع به عمل کردن می کند تا خواسته اش انجام شود یعنی خواسته اش این است که یک شکل مستقیم الخطوط پیدا کند که از نظر مساحت مساوی با دایره باشد تا بتواند مساحت آن شکل مستقیم الخطوط را بدست بیاورد و بگوید این مساحت، مساحت دایره هم هست. برای این غرض شروع به عمل می کند و این عمل کردن را با عبارت « فانه یمکن ... » بیان می کند.
ترجمه: ممکن است که آن دایره به مثلثاتی منحل شود مثلا « ممکن است به شکل دیگر منحل شود ولی ما این را انتخاب می کنیم که منحل به مثلث شود ».
ثم یمکن ان یوجد لکل مثلثه مربعٌ مساو لها
ضمیر « لها » به « مثلثه » بر می گردد.
شاید « تاء » در « مثلثه » برای وحدت باشد. یعنی برای هر یک از این مثلث هایی که دایره منحل به آنها شد مربعی پیدا می شود که مساوی با این مثلث است.
و لجملتها ایضا مربع واحد مساو
این چند مربع که پیدا شد را تبدیل به یک مربع بزرگ کنید « چون می توان در یک مربع بزرگ چندین مربع کوچک را قرار داد ».
ضمیر « لجملتها » به « مربع هایی » بر می گردد که مساوی با مثلث ها هستند. اشکال ندارد که ضمیر به « کل مثلثات » بر گردد یعنی هر مثلثی برابر با مربعی است.
« ایضا »: همانطور که برای هر مثلثی می توان مربعی بدست آورد.
ترجمه: و برای مجموع مربع ها هم می توان مربع بزرگتری بدست آورد که مساوی همه مربع ها باشد.
فیکون ذلک المربع مساویا للدائره فیکون ضلع ذلک المربع جذر الدائره
این مربع بزرگ که جامع تمام مربع هاست و به عبارت دیگر جامع تمام مثلث ها است برابر با دایره می شود چون دایره، عبارت از همه مثلث ها بود. یعنی هم دایره و هم این مربع هر دو با این مثلث ها مساوی می شوند و دو چیزی که با امر سوم مساوی باشند خود آن دو هم با یکدیگر مساوی اند پس این مربع با این دایره مساوی است. در اینصورت گفته می شود که ضلع این مربع، جذر دایره است. وقتی جذری را در خودش ضرب کنید و به عبارت دیگر آن را مجذور کنید مربع بدست می آید.
نکته: جذر دایره را نمی توان گرفت مگر اینکه دایره را تبدیل به عدد کنید و عدد، عددی باشد که قابل جذر باشد مثلا بگویید مساحت دایره برابر 4 است و جذرش 2 می شود. اما الان تازه می خواهید مساحت دایره را بدست بیاورید معلوم می شود که مساحت دایره را ندارید در اینجا ناچار هستید که ضلع مربع را حساب کنید. این ضلع در عین اینکه جذر مربع است چون مربع، مساوی دایره است جذر دایره هم هست.
نکته: مساحت دایره در زمان بروسن کشف نشده بود عددِ پِی بعداً کشف شده. ایشان می خواسته راهی برای بدست آوردن مساحت دایره ارائه بدهد. بعداً استدلال می کند.
فبین بروسن غرضه ذلک بان قال
بروسن می خواهد غرض خودش را بیان کند. به اینصورت می گوید که در دایره یک شکلی را رسم کنید که خیلی به دایره نزدیک می شود مثلا برای دایره وترهای خیلی کوچک رسم کنید. وقتی وترها در مقعّر دایره کشیده شد یک شکلِ هزار ضلعی مثلا، در دایره محاط می شود که مساوی با مساحت دایره نیست و یک کمی کمتر از مساحت دایره است یک چنین شکلی با همین اضلاع هم در بیرون دایره بکشید مثلا یک شکلِ هزار ضلعی بیرون دایره رسم شود که احاطه بر دایره کند. دایره در وسط این دو تا هزار ضلعی ها می افتد. در اینصورت دایره بزرگتر از هزار ضلعیِ محاط و کوچکتر از هزار ضلعیِ محیط می شود. سپس بروسن می گوید: می توان سطح مستقیم الاضلاعی داشت که بزرگتر باشد از آن هزار ضلعیِ درون دایره، و کوچکتر باشد از آن هزار ضلعیِ بیرون دایره.
سپس گفته می شود آن شکل مثل خود دایره است که می تواند بین هزار ضلعیِ محاط و هزار ضلعیِ محیط واقع شود و مساحت دایره مساوی با آن شکل مستقیم الخطوط است. پس بین دو چیزی که یکی کوچکتر از سومی است و دیگری بزرگتر از سومی است می توان شکلی تصویر کرد که مساوی با امر سوم « یعنی دایره » باشد.
ترجمه: بروسن این غرضی را که دارد بیان می کند به اینکه اینگونه می گوید.
ان الدائره اکبر من کل شکل مستقیم الخطوط کثیر الزوایا هو فیها
این عبارت، صغری را بیان می کند یعنی دایره بزرگتر است از هر شکلِ مستقیم الخطوطی که کثیر الزوایا شد و آن شکل در درون دایره باشد یعنی محاط باشد.
و اصغر من کل شکل مستقیم الخطوط کثیر الزوایا هی فیه
این دایره کوچکتر می شود از هر شکلی که مستقیم الخطوط و کثیر الزوایا باشد ولی دایره در آن شکل باشد یعنی آن شکل، محیط به دایره باشد.
نکته: تا اینجا صغری را بیان کرد اما کبری را حذف می کند و با عبارت بعدی، نتیجه را بیان می کند و از نتیجه، کبری معلوم می شود. کبری این است « و هر شکل مستقیم الخطوطی که کثیر الزوایا باشد و کوچکتر باشد از آن که بیرونِ دایره است و بزرگتر باشد از آن که درون دایره است اینچنین مستقیم الخطوطی مساوی با دایره است. نتیجه گرفته می شود که « فتکون الدائره مساویه لکل شکل مستقیم الخطوط .... خارجا عنها ».
فتکون مساویه لکل شکل مستقیم الخطوط کثیر الزوایا هو اکبر من کل مستقیم خطوط یقع فیها و اصغر من کل مستقیم خطوط یقع خارجا عنها
پس این دایره مساوی می شود با هر شکل مستقیم الخطوطِ کثیر الزوایایی که آن شکل، اکبر باشد از هر مستقیم الخطوطی که در دایره واقع می شود و اصغر باشد از هر مستقیم الخطوطی که خارج از دایره واقع می شود.
و قد وجد ایضا شکل مستقیم الخطوط مساو للدائره
شکل مستقیم الخطوطی که مساوی با دایره باشد پیدا شد.
« ایضا »: یعنی همانطور که در بیان غرض، قبل از ورود در این قیاس توانستیم شکل مستقیم الخطوطی مساوی با دایره بدست آید ولی آن مستقیم الخطوط مربع بود در اینجا هم می توان شکل مستقیم الخطوطی بدست آورد که مساوی دایره باشد.
سوال: چرا بروسن چنین کاری می کند؟
جواب: یک علت این است که می خواهد مساحت دایره را از طریق مساحت سطح مستقیم الخطوط بدست بیاورد که این را مصنف بیان کرد. علت دیگر این است که می خواهد این مطلب را توضیح بدهد که آیا دایره را می توان با شکل مستقیم الخطوط نمایش داد یا بین اینها تباین برقرار است که نمی توان این را به آن نزدیک کرد و آن را به این نزدیک کرد. آیا می توان یک خط و سطح منحنی را با خط و سطح مستقیم سنجید یا نه؟ این سوال در هندسه مطرح است. بروسن بیان می کند که این مطلب امکان دارد البته این مطلب که بروسن می گوید به صورت تقریبی امکان دارد نه به صورت تحقیقی.
سوال: چگونه بروسن از مقدمه ی عام استفاده کرده است؟
جواب: این مطلب در صفحه بعد در پاراگراف دوم بیان می شود.
و العرض فی هذا التربیع ان یبین ان دائره مساویه لشکل مستقیم الخطوط کیفکان عدد اضلاعه[1][2]
بحث در این بود که مقدمات برهان علاوه بر داشتن شرائطی که به آنها تصریح شد باید مناسبت با آن علمی که در آن علم اقامه می شوند داشته باشند و از همین جا این حکم آورده شد که قیاسی که بروسن در هندسه اقامه کرده برهان نیست زیرا یکی از مقدماتی که ایشان بکار گرفته مقدمه ی عام است و اختصاص به هندسه ندارد حال اگر بخواهید این قیاس را در هندسه اجرا کنید به توسط این مقدمه ی عام اجرا می شود یعنی واسطه ی عام دخالت می کند و جایی که واسطه ی عام دخالت کند برهان، تشکیل نمی شود. قبلا بیان شده بود در جایی که واسطه باشد « چه واسطه، عام باشد چه واسطه، خاص باشد » نمی توان برهان تشکیل داد پس کلام ایشان در هندسه، برهانی نیست ولی ممکن است در یک علم دیگر برهانی باشد. سپس مصنف بیان کرد این، برهان هندسی نیست ولی یک بیانِ بالعرض و بالواسطه است.
مصنف می خواهد بیان کند که بروسن چه غرضی داشته و چه دلیلی اقامه کرده است یعنی اولا مدعایش چه بوده و ثانیا بر این مدعا چگونه دلیل اقامه کرده است؟
بیان غرض بروسن: بروسن می خواهد مساحت یک دایره را از طریق یک شکل مستقیم الاضلاع حساب کند یعنی می خواهد یک شکل مستقیم الاضلاع درست کند که مساحت دایره با مساحت آن شکل مستقیم الاضلاع یکی باشد سپس مساحت مستقیم الاضلاع را بدست بیاورد و بگوید مساحت دایره هم همین است یعنی نمی خواهد به طور مستقیم به سراغ مساحت دایره برود. برای بروسن مهم نیست که شکل مستقیم الاضلاع چند ضلع داشته باشد. مربع باشد یا مثلث باشد یا .... اگر چه ایشان ابتداءً به مربع بر می گرداند و می خواهد دایره را با مربع مساوی کند ولی در مسیری که می رود برایش مهم نیست که از چه شکلی استفاده کند لذا می بینید که از مثلث استفاده می کند و می گوید ما این دایره را به مثلث های مختلف تقسیم می کنیم. تقسیم مربع به مثلث خیلی آسان است زیرا قطر مربع اگر رسم شود مربع تبدیل به دو مثلث می شود قطر دیگرش را اگر رسم کنید مربع تبدیل به چهار مثلث می شود می توان دوباره این مثلث ها را تقسیم کرد و آن را کوچکتر کرد ولی الان بحث در تقسیم مربع نیست بلکه در تقسیم دایره است. دایره را تقسیم به مثلث های کوچک می کند یعنی نصف قطرها « یعنی شعاع ها » را خیلی نزدیک به هم رسم کنیم دو شعاع، دو ضلع مثلث را تشکیل می دهند که در مرکز دایره با هم برخورد کردند و رأس مثلث را تشکیل دادند. قاعده مثلث، محیط دایره می شود. محیط دایره یک خط مستقیم نیست در حالیکه مثلث هر سه ضلعش مستقیم است. این ضلع واحد از این مثلث، کاملا مستقیم نیست بلکه قوس دایره است. اگر مثلث را بزرگ قرار دهید این قوس دایره هم بزرگ می شود و فاصله اش با خط مستقیم زیاد می شود اما اگر مثلث ها را کوچک فرض کنید قوس دایره کوچکتر می شود وقتی قوس کوچکتر شد به خط مستقیم نزدیک تر می شود. از راهی که گفته شد مساحت مثلث های کوچک بدست می آید سپس مساحت هر یک از این مثلث ها را با یک مربع کوچک مساوی قرار می دهد. مثلا فرض کنید 10 مثلث در این دایره بدست آمد حال 10 مربع درست می کنیم که مساحت هر مربع با مساحت هر مثلث برابر باشد سپس یک مربع بزرگ درست می کنیم که تمام ده مربع اگر مساحتش جمع شود برابر با مساحت بر این مربع بزرگ می شود سپس اعلام می کنیم که مساحت مربع بزرگ با مساحت دایره یکی است.
پس توجه کردید که دایره منحل به مثلث شد و برابر هر مثلثی، یک مربع ساخته شد سپس مجموع مربع ها درون یک مربع برده شد. اگر دقت کنید مثل این است که دایره درون این مربع برده شد. در اینجا دو واسطه انجام شد:
1 ـ تحلیل دایره به مثلث ها.
2 ـ تبدیل مثلث ها به مربع ها.
برای بدست آوردن مساحت مربع، یک ضلع مربع در خودش ضرب می شود وقتی یک ضلع مربع در خودش ضرب شود مساحت دایره هم بدست می آید. پس به این صورت بروسن مساحت دایره را از طریق مربع بدست می آورد. سپس استدلال می کند که این مربع مساحتش با مساحت دایره یکی است.
آنچه که مورد نظر ما می باشد استدلال بروسن است که در استدلالش از یک مقدمه ی عام استفاده می کند که اختصاص به هندسه ندارد لذا قیاسش برهانی نمی شود.
توضیح عبارت
و العرض فی هذا التربیع ان یبین ان دائره مساویه لشکل مستقیم الخطوط کیف کان عددُ اضلاعه
نسخه صحیح « و الغرض فی هذا ... » است.
غرض در این تربیع « تربیع یعنی مربع ساختن، چون بروسن، دایره را مربع می سازد تا از این طریق بتواند مساحت دایره را بدست بیاورد » این است که بروسن بیان کند دایره مساوی است با یک شکل مستقیم الخطوط « یعنی با یک شکلی و سطحی که به وسیله خطوط مستقیم احاطه شده » و این شکل مستقیم الخطوط هر چقدر ضلع که می خواهد داشته باشد « حداقل باید سه ضلع را داشته باشد تا بتواند یک سطح را احاطه کند ».
فانه یمکن ان یحل الی مثلثات مثلا
از اینجا بروسن شروع به عمل کردن می کند تا خواسته اش انجام شود یعنی خواسته اش این است که یک شکل مستقیم الخطوط پیدا کند که از نظر مساحت مساوی با دایره باشد تا بتواند مساحت آن شکل مستقیم الخطوط را بدست بیاورد و بگوید این مساحت، مساحت دایره هم هست. برای این غرض شروع به عمل می کند و این عمل کردن را با عبارت « فانه یمکن ... » بیان می کند.
ترجمه: ممکن است که آن دایره به مثلثاتی منحل شود مثلا « ممکن است به شکل دیگر منحل شود ولی ما این را انتخاب می کنیم که منحل به مثلث شود ».
ثم یمکن ان یوجد لکل مثلثه مربعٌ مساو لها
ضمیر « لها » به « مثلثه » بر می گردد.
شاید « تاء » در « مثلثه » برای وحدت باشد. یعنی برای هر یک از این مثلث هایی که دایره منحل به آنها شد مربعی پیدا می شود که مساوی با این مثلث است.
و لجملتها ایضا مربع واحد مساو
این چند مربع که پیدا شد را تبدیل به یک مربع بزرگ کنید « چون می توان در یک مربع بزرگ چندین مربع کوچک را قرار داد ».
ضمیر « لجملتها » به « مربع هایی » بر می گردد که مساوی با مثلث ها هستند. اشکال ندارد که ضمیر به « کل مثلثات » بر گردد یعنی هر مثلثی برابر با مربعی است.
« ایضا »: همانطور که برای هر مثلثی می توان مربعی بدست آورد.
ترجمه: و برای مجموع مربع ها هم می توان مربع بزرگتری بدست آورد که مساوی همه مربع ها باشد.
فیکون ذلک المربع مساویا للدائره فیکون ضلع ذلک المربع جذر الدائره
این مربع بزرگ که جامع تمام مربع هاست و به عبارت دیگر جامع تمام مثلث ها است برابر با دایره می شود چون دایره، عبارت از همه مثلث ها بود. یعنی هم دایره و هم این مربع هر دو با این مثلث ها مساوی می شوند و دو چیزی که با امر سوم مساوی باشند خود آن دو هم با یکدیگر مساوی اند پس این مربع با این دایره مساوی است. در اینصورت گفته می شود که ضلع این مربع، جذر دایره است. وقتی جذری را در خودش ضرب کنید و به عبارت دیگر آن را مجذور کنید مربع بدست می آید.
نکته: جذر دایره را نمی توان گرفت مگر اینکه دایره را تبدیل به عدد کنید و عدد، عددی باشد که قابل جذر باشد مثلا بگویید مساحت دایره برابر 4 است و جذرش 2 می شود. اما الان تازه می خواهید مساحت دایره را بدست بیاورید معلوم می شود که مساحت دایره را ندارید در اینجا ناچار هستید که ضلع مربع را حساب کنید. این ضلع در عین اینکه جذر مربع است چون مربع، مساوی دایره است جذر دایره هم هست.
نکته: مساحت دایره در زمان بروسن کشف نشده بود عددِ پِی بعداً کشف شده. ایشان می خواسته راهی برای بدست آوردن مساحت دایره ارائه بدهد. بعداً استدلال می کند.
فبین بروسن غرضه ذلک بان قال
بروسن می خواهد غرض خودش را بیان کند. به اینصورت می گوید که در دایره یک شکلی را رسم کنید که خیلی به دایره نزدیک می شود مثلا برای دایره وترهای خیلی کوچک رسم کنید. وقتی وترها در مقعّر دایره کشیده شد یک شکلِ هزار ضلعی مثلا، در دایره محاط می شود که مساوی با مساحت دایره نیست و یک کمی کمتر از مساحت دایره است یک چنین شکلی با همین اضلاع هم در بیرون دایره بکشید مثلا یک شکلِ هزار ضلعی بیرون دایره رسم شود که احاطه بر دایره کند. دایره در وسط این دو تا هزار ضلعی ها می افتد. در اینصورت دایره بزرگتر از هزار ضلعیِ محاط و کوچکتر از هزار ضلعیِ محیط می شود. سپس بروسن می گوید: می توان سطح مستقیم الاضلاعی داشت که بزرگتر باشد از آن هزار ضلعیِ درون دایره، و کوچکتر باشد از آن هزار ضلعیِ بیرون دایره.
سپس گفته می شود آن شکل مثل خود دایره است که می تواند بین هزار ضلعیِ محاط و هزار ضلعیِ محیط واقع شود و مساحت دایره مساوی با آن شکل مستقیم الخطوط است. پس بین دو چیزی که یکی کوچکتر از سومی است و دیگری بزرگتر از سومی است می توان شکلی تصویر کرد که مساوی با امر سوم « یعنی دایره » باشد.
ترجمه: بروسن این غرضی را که دارد بیان می کند به اینکه اینگونه می گوید.
ان الدائره اکبر من کل شکل مستقیم الخطوط کثیر الزوایا هو فیها
این عبارت، صغری را بیان می کند یعنی دایره بزرگتر است از هر شکلِ مستقیم الخطوطی که کثیر الزوایا شد و آن شکل در درون دایره باشد یعنی محاط باشد.
و اصغر من کل شکل مستقیم الخطوط کثیر الزوایا هی فیه
این دایره کوچکتر می شود از هر شکلی که مستقیم الخطوط و کثیر الزوایا باشد ولی دایره در آن شکل باشد یعنی آن شکل، محیط به دایره باشد.
نکته: تا اینجا صغری را بیان کرد اما کبری را حذف می کند و با عبارت بعدی، نتیجه را بیان می کند و از نتیجه، کبری معلوم می شود. کبری این است « و هر شکل مستقیم الخطوطی که کثیر الزوایا باشد و کوچکتر باشد از آن که بیرونِ دایره است و بزرگتر باشد از آن که درون دایره است اینچنین مستقیم الخطوطی مساوی با دایره است. نتیجه گرفته می شود که « فتکون الدائره مساویه لکل شکل مستقیم الخطوط .... خارجا عنها ».
فتکون مساویه لکل شکل مستقیم الخطوط کثیر الزوایا هو اکبر من کل مستقیم خطوط یقع فیها و اصغر من کل مستقیم خطوط یقع خارجا عنها
پس این دایره مساوی می شود با هر شکل مستقیم الخطوطِ کثیر الزوایایی که آن شکل، اکبر باشد از هر مستقیم الخطوطی که در دایره واقع می شود و اصغر باشد از هر مستقیم الخطوطی که خارج از دایره واقع می شود.
و قد وجد ایضا شکل مستقیم الخطوط مساو للدائره
شکل مستقیم الخطوطی که مساوی با دایره باشد پیدا شد.
« ایضا »: یعنی همانطور که در بیان غرض، قبل از ورود در این قیاس توانستیم شکل مستقیم الخطوطی مساوی با دایره بدست آید ولی آن مستقیم الخطوط مربع بود در اینجا هم می توان شکل مستقیم الخطوطی بدست آورد که مساوی دایره باشد.
سوال: چرا بروسن چنین کاری می کند؟
جواب: یک علت این است که می خواهد مساحت دایره را از طریق مساحت سطح مستقیم الخطوط بدست بیاورد که این را مصنف بیان کرد. علت دیگر این است که می خواهد این مطلب را توضیح بدهد که آیا دایره را می توان با شکل مستقیم الخطوط نمایش داد یا بین اینها تباین برقرار است که نمی توان این را به آن نزدیک کرد و آن را به این نزدیک کرد. آیا می توان یک خط و سطح منحنی را با خط و سطح مستقیم سنجید یا نه؟ این سوال در هندسه مطرح است. بروسن بیان می کند که این مطلب امکان دارد البته این مطلب که بروسن می گوید به صورت تقریبی امکان دارد نه به صورت تحقیقی.
سوال: چگونه بروسن از مقدمه ی عام استفاده کرده است؟
جواب: این مطلب در صفحه بعد در پاراگراف دوم بیان می شود.
